正态分布和线性回归

1、专题：正态分布和线性回归基础知识回顾正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函期=二-燃2, x e(-8, +疽的图象2no其中：n是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值旦为正态分布的平均值2是 正态分布的标准差.这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布.正态分布由参 数旦Q唯一确定，记相 N(四q2) ,E(& )=旦,D(& ) = Q 2.函数f(x)图象被称为正态曲线.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线其对称轴为乂=口，并在x=p时取 .最大值(2)从x=p点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近轴，但永不与x轴相 交因此说曲线在正负两个方向都是以轴为

2、渐近线的(3)当廉勺值一定时。越大曲线越矮 胖”，总体分布越分散；。越小，曲线越“高”总体分布越集中.把如N(0,1)即p=0/o=1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体其密度函正值数为f (x)=碧 -丁，x(-8, +8)，相应的曲线称为标准 态曲线.正值4 .利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取 的概率对于标准正态总体N(0,1),(x )是总体取值小于x的概率，即：中(x ) = P(x 0，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示 总体取值小于工的概率.标准正态曲线关于7轴对称。因为当x 0时，中(x ) = P(x x );而当

3、x0 0时，根据正态曲线的性质可得二(x0) = 1 -(-：)，并且可以求得在任一区间1 x2)内取值的概率 P(xi x x2) = 0(x2) -0(xi)，显然(0) = 0.5.对于任一正态总俺n3，b2)，都可以通过!=使之标准俯-N(0,1)，那么bP(& v x) = P(n 1 ) = o( 1)，求得其在某一区间内取值的概率bb例如：&中1,4)那么设门=，则门 N(0,1)有 PG 3) = P(n 1)=(1)=0.8413. 2(1)=0.8413、(2)=0.9772 (3)=0.9987二例题下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值口和标准差。.f(x) =

4、 -e-；，(-8x+8 ).2兀f(x) = e4 ,(-8x+8 )22兀2f(x)= =e-2(x+1)2 , ( -8x +8 )2兀正态总体的函数表示式是f(x) =e-2(x+1)2 , (-8x +8) ( 1 )求f(x)的最大值；侦2兀利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴.3利用标准正态分布表(1)=0.8413、(2)=0.9772(3)=0.9987求标准正态总体在下面 区间取值的概率.(0,1)；(1,3);(-1,2).4利用标准正态分布表(0(1)=0.8413、(1.84)=0.9671),求正态总体在下面区间取值的概 率.在 N(1,4)T，求 F(

5、3)在 n3，b 2)下，求 P(p-1.84oXC),则。等于()(A)0(B)p(C)中(D)。正态总体的概率密度函数沏=二e-1 x (-气+8),则总体的平均数和标准差分别是优兀(A)0 和 8(B)0 和 4(C)0 和 2(D)0 和&填空题 TOC o 1-5 h z 若随机变量ZN(1,0.25测2Z的概率密度函数为.期望为2,方差为2兀的正态分布的密度函数是.已知正态总体落在区间0.2,+8)的概率是0.5则相应的正态曲线)在x=时达到最 高点.已知 ZN(0,1),PZ1.96)=e(1.96)=0.9750则 e(-1.96)=.(5)某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4

6、)则不属于区间(-4,4)这个尺寸范围的零件约占总数的(6)某次抽样调查结果表明考生的成绩百分制)近似服从正态分布平均成绩为72 分,96分以上 的考生占考生总数的2.3%,则考生成绩在60至84分之间的概率 为.(1)=0.8413、职2)=0.977、(3)=0.9987参考答案1(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5;2.(1)x=-1 时fma(尤)=名,(2)对称轴为x=-1.3.(1)0.3413(2)0.1574(3)0.8185(1)F(3)=0.8413(2) P0-1.84oX0, -8x8)其中n是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；为正态分布的均值；。是正

7、态分 布的标准差正态分布一般记为心,b 2).2 .正S分布n(日, 2)是由均值网标准差唯一决定的分布例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值口和标准差。.f(x) = _e土 ,(-8x+8 )2兀f(x) = 。-4 ,(-8x+8 )2解：(1)0,1(2)1,2正态曲线的性质：正态分布由参数队。唯一确定，如果随机变量 N(M,o2)，根 据定义有：pE& ,。=/。正态曲线具有以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交。(2 )曲线关于直线x =对称。(3 )曲线在x=M时位于最高点。当x即时，曲线上升；当x冲时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以x轴为

8、渐近线，向它无限靠近。当口一定时，曲线的形状由。确定。越大，曲线越矮胖”表示总体越分散；。越 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教 学.4 .标准正态曲线当p=0.o=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x) = -e，(-8x+8).；2兀其相应的曲线称为标准正态曲线.标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题标准正态总体的概率问通对于标准正态总体N (0,1),(x )是总体取值小于:的概率，即中(x ) - P(x 0

9、，图中阴影部分的面积表示为概率3(x x0).只要有标准正态分布表即可查表解决从图中不难发现当x0 0时，中(x0) = 1-Q(-x0)；而当x0 = 0时，(0) =0.5 例2设X N3,b2)，且总体密度曲线的函数表达式为：f (f (x)=土e - b(1)求 M，a;,xuR。(2)求 P (I x -11淫)的值。分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出和。利用一般正态总体N(四q 2)与标准正态总体N(0,1)概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来 解决。解：(1 )由于 f =二 e-b =e-*，2 m、2兀.： 2根据一般正态分布的函数表达形式，可

10、知日1,。=争，故XN(1,2)。(2 ) P(I x 11 * 2) = P(1 、2 x 1 + 气.2)=F (1+ 技)F (1 2)=中(+；-1)中(I：-1)=O (1)0 (1) = 2 (1) 1 = 2 x 0.8413 1=0.6826。点评：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已 解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分 布与标准正态分布间的内在关联。.相关关系:当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称 为相关关系.相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的

11、关系不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量 与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变 量的关系.回归分析一元线性回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回 归分析，通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关 系是回归分析的前提。散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可 先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分

12、析。求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方 程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。11.散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点融点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律12.回归直线设所求的直线方程为* = bx +小，其中a、b是待定系数.片十咛-刃y b = -t=iy， -a4(x - x)2ii=1a = y - bxxy nxyTyJx 2 - nx2ii=1-i y - i yx = _ x / y = _ yn i=in i=1相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析13相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量与x的一组观测值， 把y (x x)(y y) r = i=i:y（ xi - x ）2 y（ y - y ）2i =1i =1叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关(Ex2 -nx2)(y y2 -ny2)i=1i=1程度.14相关系数的性质： 0.7