初一数学秋季讲义 第13讲 平行线的性质及判定

1、知识互联网 知识互联网题型一：平行线的定义、性质题型一：平行线的定义、性质及判定思路导航思路导航定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线用“”表示，等平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补若，则；若，则；若，则平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行若，则；若，则；若，则平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行过直线外一点做，则与重合平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行简单说成

2、：平行于同一条直线的两条直线平行若，则典题精练典题精练 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A同位角相等 B内错角相等 C同旁内角互补 D以上都不对 和是同旁内角，若，则的度数是（ ）A B C或 D. 不能确定 如图，下面推理中，正确的是（ ）A，B， C，D，(北京三帆中学期中) 如图，直线ab，若150，则2（ ）A50B40C150D130(北京101中期中) 如图，直线，为垂足，如果 ，则的度数是（ ）ABCD (北京八中期中) 如图，直线，点在直线上，且，则的度数为_ (北京八十中期中) 如图，和互补，那么图中平行的直线有（ ）ABCD(北京十三分期中) 将一直角三角板与两边平行的纸

3、条如图所示放置，下列结论：；，其中正确的个数（ ）A1B2C3D4(北京十三分期中) 如图，直线，那么的度数是 (北京一六一中期中) 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于 (北京一六一中期中)D； D ；C ；D ；C ；35； D ；D ；56； 52.【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）A：不相交的两条直线是平行线B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补C：三条直线、若，则；同理，若，则D：已知的两边与的两边平行，若，则E：若，则理由是等量代换F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行ABCDEF 如图，,请

4、说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整解：，（ ）， （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行）（ ）（北京市海淀区期末） 填空，完成下列说理过程.如图，平分交于点，如果1390，那么2和4相等吗？说明理由. 解：平分， 3 （ ）= ，且，1290.又1390，23. （ ）24. （北京市朝阳区期末） 如图,已知，求度数解：（ ）， （ ）， （ ）又（ ） （ ） （ ）（ ） （ ）【点评】第题即证明了三角形内角和等于180 依次填：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等 4，角平分线定义，180，同角的余角相等 已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知

5、；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；180；平角定义 如图，已知直线， ，则 的度数为 度AABCDE 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件： . 如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ； ； ； ； ； .能说明的条件有 . 如图，直线分别与直线、相交于点、，已知，平分交直线于点则（ ）ABCD ，（已知），（两直线平行，同旁内角互补）（对顶角相等）（已知），（三角形内角和） （）等（答案不唯一） ； A 已知：如图1，平分，求 已知：如图2，和互余，于求证： (北京八中期中) 图1 图2 CD平分 证明：（已知）（同位角相等，两直线平行）又（已知）（两直线

6、平行，同位角相等）（平角定义）又（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）【备选1】如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果，则的度数是 .如图2，把一张四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，则 .如图3，直线、分别和、相交，若与互余，与的余角互补， 那么 . 图1 图2 图3如右图，已知，则 . 50；150；70；70.【备选2】已知，如图，于，于，求证：. ，（同旁内角互补，两直线平行）【备选3】如图，已知、分别垂直于、，且，求证：. 、分别垂直于、（两直线平行，同位角相等）（垂直的定义）（内错角相等，两直线平行）【备选4】如图，已知，试判断与的大小关系，并对结论进行证明法一

7、：，法二：延长，找的同位角，证出，再找的内错角，证出即可如图，已知：，直线分别交、于点、，、分别平分、. 求证：从本题我能得到的结论是： ，又、分别平分、，从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）对顶角的角平分线；邻补角的平分线；平行线的同位角的平分线；平行线的内错角的平分线；平行线的同旁内角的平分线.ABCDD. 在同一条直线上的是，位置关系是平行的是.题型二题型二：基本模型中平行线的证明思路导航思路导航 模 型示例剖析若，则若，则若，则

8、若，则典题精练典题精练已知：如图,点为其内部任意一点，求证：过点作,（已知）（平行于同一条直线的两直线平行）,（已知）（两直线平行，内错角相等）,（已知）（两直线平行，内错角相等）（等量代换）如图，已知，求的度数过点作且（已知）（平行于同一条直线的两直线平行）且（已知）（两直线平行，内错角相等）且（已知）（两直线平行，同旁内角互补）【拓展】如图所示，已知直线，直线和直线、交于、两点，在、之间有一点，如果点在、之间运动，问、之间有怎样的关系？这种关系是否发生变化？试着证明你的结论. . 关系不变.提示：过点做直线.如图，已知，求的度数如图延长交直线于点，（已知）（对顶角相等）（等量代换），（同旁

9、内角互补，两直线平行）（两直线平行，内错角相等），（已知）（等量代换），（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同旁内角互补），【点评】通过辅助线将相关角联系起来.思维拓展训练（选讲）思维拓展训练（选讲）训练1. 已知的两边，分别与的两边，平行，问与有何关 系？证明你的结论从这道题目中，你能得到怎样的结论？与相等或互补.证明：根据同向与反向平行，可以分四种情况，如下图所示. 若，分别与，同向平行，如图(1)，则； 若，分别与，反向平行，如图(2)，则；若与同向平行，与反向平行，如图(3)，则，； 若与反向平行，与同向平行，如图(4)，得；综上所述，当与两边分别对应平行时，与或者相等，或者互补.

10、从本题我能得到的结论是： 若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 训练2. 如图，,则 AABDC12360训练3.已知：如图，、被所截，平分，平分，且证明：平分，平分（已知），,（角平分线性质）又（已知），（等量代换）即（同旁内角互补，两直线平行）训练4. 已知：如图，于点，于点，证明：平分且（已知）（垂直于同一条直线的两直线平行）（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）又（已知）（等量代换）平分.复习巩固复习巩固题型一 平行线的定义、性质及判定 巩固练习已知如图，与平行吗？为什么？（已知），（内错角相等，两直线平行）（已知），（同位角相等，两直线平行）（平行于同一

11、条直线的两直线平行） 如图1，则的度数是 如图2，直线与直线，相交若，则的度数是 如图3，直线，则的度数为（ ）ABCD图2 图2 ； ； C 已知：如图1，求证： (北京三帆中学期中)证明：，（已知） （ ）又（已知） （ ） （ ）（） 如图2，将求的过程填写完整(北京四中期中)解：， （ ）又（ ） （ ） （ ）又 ；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；;两直线平行，同旁内角互补；110如图，已知，平分，平分， ，求证：平分，平分，即题型二 基本模型中平行线的证

12、明 巩固练习已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：. 如图过点做,又8个金币的故事约克和汤姆结对旅游。约克带了3块饼，汤姆带了5块饼。有一个路人路过，路人饿了。约克和汤姆邀请他一起吃饭。约克、汤姆和路人将8块饼全部吃完。吃完饭后，路人感谢他们的午餐，给了他们8个金币。约克和汤姆为这8个金币的分配展开了争执。汤姆说：“我带了5块饼，理应我得5个金币，你得3个金币。”约克不同意：“既然我们在一起吃这8块饼，理应平分这8个金币。” 约克坚持认为每人各4块金币。 为此，约克找到公正的夏普里。夏普里说：“孩子，汤姆给你3个金币，因为你们是朋友，你应该接受它；如果你要公正的话，那么我告诉你，公正的分法

13、是，你应当得到1个金币，而你的朋友汤姆应当得到7个金币。”约克不理解。8个金币的故事约克和汤姆结对旅游。约克带了3块饼，汤姆带了5块饼。有一个路人路过，路人饿了。约克和汤姆邀请他一起吃饭。约克、汤姆和路人将8块饼全部吃完。吃完饭后，路人感谢他们的午餐，给了他们8个金币。约克和汤姆为这8个金币的分配展开了争执。汤姆说：“我带了5块饼，理应我得5个金币，你得3个金币。”约克不同意：“既然我们在一起吃这8块饼，理应平分这8个金币。” 约克坚持认为每人各4块金币。 为此，约克找到公正的夏普里。夏普里说：“孩子，汤姆给你3个金币，因为你们是朋友，你应该接受它；如果你要公正的话，那么我告诉你，公正的分法是，你应当得到1个金币，而你的朋友汤姆应当得到7个金币。”约克不理解。夏普里说：“是这样的，孩子。你们3人吃了8块饼，你吃了其中的1/3，即8/3块，路人吃了你带的饼中