椭圆知识点及相关习题

1、椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点F、F的距离之和等于常数(pF+PFI二2aFF|),121212这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若(pF|+|pf|二|ff|)，则动点p的轨迹为线段ff；若(|PF+|PF|b0):说明:a2b2把x换成-x2y2(1)对称性：对于椭圆标准方程一+J=1(ab0):说明:a2b2把x换成-x、或把y换成-y、或把x、y同时换成-x、-y、x2y2原方程都不变，所以椭圆+=1是以x轴、y轴为对称轴a2b2的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。a2

2、b2y2x2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：+-=1(ab0)，其中c2a2b2；a2b2注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有(ab0)和c2=a2-b2；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-c)知识点三：椭圆的简单几何性质x2y2椭圆：+=1(ab0)的简单几何性质a2b222范围：椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。x

3、2y2椭圆+J=1(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a2b2A(-a,0)，A(a,0)，B(0,-b)，B(0,b)1212线段AA，BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA|=2a,BB丄2b。a和1212丨12丨1121b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。离心率：2cc椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=。2aa因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1,则c就越接近a，从而bfa2-c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变

4、为圆，方程为x2+y2a。注意:椭圆三+扫=1的图像中线段的几何特征(如下为圆，方程为x2+y2a。注意:椭圆三+扫=1的图像中线段的几何特征(如下图)：(1)(|PF|+PF=2a)；2PFPF2(|PMI+PM2a2)；c(2)(BF1(3)AF11PM1I二|bfI二a)；(|ofhAF12=IPM2OF|=c)；AB|=|ABI=%a2+b2；I=|AFI=a+c；a-cPFIb0)的区别和联系a2b2a2b2标准方程x2y2+y=1(ab0)a2b2y2x2y+=1(ab0)a2b2图形rt丘0亜xV性质焦占八、八、F(-c,0),F(c,0)12or),ac)焦距FF=2c12FF

5、=2c12范围x5a,ybb,ya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(土a,0),(0,b)(0,a),(b,0)轴长长轴长-2a，短轴长-2b离心率e二-(0eb0)的相同点：形状、大小都相同；参数间a2b2a2b2的关系都有(ab0)和e二(0eb0)，(ac0)，且(a2二b2+c2)。可借助右图理解记忆：显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4.方程Ax2+By2二C(A,B,C均不为零)是表示

6、椭圆的条件Ax2By2x2By2方程Ax2+By2=C可化为一+十=1，即一C+十二1，所以只有A、B、C同ABCCCC号，且A圭B时，方程表示椭圆。当=时，椭圆的焦点在x轴上；当=时，椭圆ABAB的焦点在y轴上。求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x换成-x，方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成-y，方程不变，则曲线

7、关于x轴对称；若把曲线方程中的x、y同时换成-x、-y，方程不变，则曲线关于原点对称。椭圆练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的）1.椭圆2x2+3y2二6的焦距是（）A.2B.2（A.2B.2（再-迈）C.2、迟D.2（詔+迈）2.行、F2是定点，IFF2I=6，动点M满足IMFI+IMF2I=6，则点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.线段D.圆-1），则椭圆方程是（）3.若椭圆的两焦点为2，0）和（2，0)，且椭圆过点（-,A.21+亘=1B.21+F=1C.22+旦=1D.x2+y2=841064810+6-14.方

8、程x2+ky2二2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A.（0,+）B.（0，2）C.（1，+8）D.（0，1）5.6.过椭圆5.6.过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F构成AABF，那么AABF的周长是（222A.2y2B.2C.B0)与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP丄OQ，其中Oa2b2为坐标原点.11求一+的值；a2b222椭圆练习题参考答案11、3或等12、11、3或等12、4,1J13、14、4x2+2521题号12345678910答案ACDDACBBBD15、16、解:(1)当A(2,0)为长轴端点时，a=2,

9、b=116、椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为：(2)当闽2,0)为短轴端点时,b=2,总=4,兰+4椭圆的标准方程为：4解：设P(x,y),根据题意，IPFI=J(x-2)2-y2,d=lx-8l,因为=|，所以k-8=x2y2.化简，得3x2+4y2=48,整理，得石+話=1，所以，点P的轨迹是椭圆。y2x2解:解法一：根据题意，设椭圆的方程为*+希=1，设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2，y2)将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y,得：+_2-5_=1,化简，整理，得：(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,11_a2-45_所以，

10、x1，x2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为，所以x1+x2=60_-12a2=-1，解得，a2=75.于是，因为c=5；2，所以，b2=25，所以椭圆的方程为会+宕=1.解法二：设椭圆：込+丘=1（ab0）,则a2-b2=50a2b2又设A（X,y1）,B（x2，y2）,弦AB中点（x0,y0）x一丄X0=23x一丄X0=232=丄22=1y2=12a2亍3kA-仁-士-囂=3-a2=3b2解，得：a2=75,b2=25，椭圆为：止+丘=17525,y=x+119.解设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由得1122Imx2+ny2=1(m+

11、n)x2+2nx+n1=0,上4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OP丄OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n-1)2n4(m+n一mn)10、.+1=0,.m+n=2又2=()2,将m+n=2,代入得m+nm-nm+n2mn一4由、式得m-丄,n=或m=,n=故椭圆方程为丄+y2=1或x2+y2=12222222220、(1)设P(x,y),P(x,y)，由OP丄OQox1x2+y1y2=011221212/y=1x,y=1x,代入上式得：2xx(x+x)+1=0又将y=1x代入11221212x2y22a2+=13(a2+b2)x2-2a2x+a2