2021-2022学年湖南省常德市德山镇中学高三数学文联考试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省常德市德山镇中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知非零平面向量,“”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：C因为，平方：，展开，合并同类项，得：，所以，。2. 对于任意实数a，b，定义maxa，b=，已知在2，2上的偶函数f（x）满足当0 x2时，f（x）=max2x1，2x若方程f（x）mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A2，eln2）（eln2，2Beln2，0）（0，eln2C2，0）（0，

2、2De，2）（2，e参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】新定义；数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】根据条件先求出当0 x2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在2，2上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可【解答】解：当1x2时，2x12x，此时f（x）=2x1，当0 x1时，2x12x，此时f（x）=2x，即f（x）=，若2x1，则1x2，此时f（x）=2x1，f（x）是偶函数，f（x）=f（x）=2x1，2x1若1x0，则0 x1，此时f（x）=2x，f（x）是偶函数，f（x）=f（x）

3、=2x，1x0作出函数f（x）的图象如图：由f（x）mx+1=0得f（x）=mx1，设g（x）=mx1，则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件当m0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，当直线经过A（1，1）时，此时m1=1，则m=2，此时g（x）=2x1，g（2）=3，即直线g（x）=2x1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，当直线y=mx1与f（x）=2x1相切时，设切点为（k，n），则f（k）=2kln2，且2k1=n，则切线方程为yn=2kln2（xk），即y=（2kln2）xk2kln2+2k1，即2kln2=m，且k2kln2+2k1=

4、1，即2kln2=m，且k2kln2+2k=0，2kln2=m，且kln2+1=0，即kln2=1，解得k=log2e，则m=eln2，此时直线和f（x）只有一个交点，若时两个曲线有两个交点，则eln2m2，根据偶函数的对称性知当m0时，2meln2，综上m的取值范围是2，eln2）（eln2，2，故选：A【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度3. 等比数列的各项都是正数，等差数列满足，则有 （ ） A B C D不能确定大小 参考答案：答案:B 4. 函数的最小正周期是（ ） A B

5、 C D参考答案：C略5. 关于直线与平面，有以下四个命题：若，则 若若 若其中真命题有( ) A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：B6. 已知，则a,b,c的大小关系是（A） （B）（C） （D）参考答案：B，则7. 函数的图象在点处的切线方程是A7B4C0D 4参考答案：A，又由题意知，.8. （5分）（2015?嘉兴二模）函数的图象可由函数y=cos2x的图象（） A 向左平移而得到 B 向右平移而得到 C 向左平移而得到 D 向右平移而得到参考答案：B【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 先根据诱导公式进行化函数为函数y=cos，

6、再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos2x的平移方向与单位解：函数y=sin（2x）=cos=cos（2x）=cos，所以要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象向右边平移个单位即可故选：B【点评】： 本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减利用诱导公式化简函数为同名函数，相同是今天的关键9. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则；若，则；若，则，对于任意，；对于复数，若，则

7、.其中所有真命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：B10. 若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数（R）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（）f（x）=0是常数函数中唯一的“特征函数”；f（x）=2x+1不是“特征函数”；“特征函数”至少有一个零点；f（x）=ex是一个“特征函数”A1B2C3D4参考答案：C考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 利用新定义“特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案解答： 解：对于，设f（x）=C是一个“特征函数”，则（1+）C=0

8、，当=1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“特征函数”，故不正确；对于，f（x）=2x+1，f（x+）+f（x）=2（x+）+1+（2x+1）=0，即2（+1）x=2，当=1时，f（x+）+f（x）=20；1时，f（x+）+f（x）=0有唯一解，不存在常数（R）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，f（x）=2x+1不是“特征函数”，故正确；对于，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）0，f（）?f（0）=f（0）20又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根因此任意的

9、“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故正确对于，假设f（x）=ex是一个“特征函数”，则ex+ex=0对任意实数x成立，则有e+=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“特征函数”，故正确故结论正确的是，故选：C点评： 本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解特征函数的概念是关键，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f(x)=(3a)x与g(x)=logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_参考答案：略12. 已知函数是奇函数，则 参考答案：13. 如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，则 . 参考答案：4由于

10、，而，因此，故，由于切圆于点，易知，由勾股定理可得，因此.14. 已知实数a0，且a1，函数f（x）=loga|x|在（，0）上是减函数，函数的大小关系为 参考答案：g（2）g（3）g（4）【考点】指数函数单调性的应用【分析】由已知中函数f（x）=loga|x|在（，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论【解答】解：函数f（x）=loga|x|在（，0）上是减函数，令u=|x|，则y=logau，由u=|x|在（，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=logau为增函数，即a

11、1又函数为偶函数且函数在0，+）上单调递增，在（，0上单调递减且|2|3|4|g（2）g（3）g（4）故答案为：g（2）g（3）g（4）15. 若等差数列an中，满足a4+a10+a16=18，则S19=参考答案：114【考点】等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6，则S19=19a10=114，故答案为：114【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考

12、查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 若等边ABC的边长为1，平面内一点M满足，则= 参考答案：【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3 解析：=.【思路点拨】用表示所求数量积中的向量，再用数量积公式求解.17. 若对任意恒意义,则实数的范围 _. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=（）求证：平面PAD平面ABCD；（）设Q是棱PC上的点，当PA平面BDQ时，求QB与面ABCD成角的正弦值参考答案：【考点】MI：直

13、线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OPAD，OPOB，再由线面垂直的判定可得OP平面ABCD，进一步得到平面PAD平面ABCD；（）连接AC交BD于G，连接QG，由线面平行的性质可得PAQG，则Q为PC的中点过Q作QH平面ABCD，垂足为H，则QH=然后证明BC平面POB，得BCPB，求解直角三角形可得BQ，则QB与面ABCD成角的正弦值可求【解答】（）证明：取AD中点O，连结OP，OB，PAD是边长为2的正三角形，OB2+OP2=PB2，则OPOB，OBAD=O，OP平面ABCD，又OP?平面PAD，平面PAD平面ABCD；（

14、）解：连接AC交BD于G，连接QG，PA平面BDQ，PAQG，又G为AC的中点，Q为PC的中点过Q作QH平面ABCD，垂足为H，则QH=连接QB，BH，则QBH为QB与面ABCD所成角，PO平面ABCD，OPBC，又OBAD，ADBC，OBBC，POOB=O，BC平面POB，则BCPB在RtPBC中，由PB=，BC=2，可得PC=，则BQ=sinQBH=即QB与面ABCD成角的正弦值为19. （13分）已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. () 试判断翻折后直线AB与平面

15、DEF的位置关系，并说明理由；() 求二面角B-AC-D的大小； () 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.参考答案：解析：() AB平面DEF. 在ABC中， E、F分别是AC、BC上的点，且满足， ABEF. AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF. 3分 ()过D点作DGAC于G，连结BG， ADCD, BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角. ADB=, 即BDAD. BD平面ADC. BDAC. AC平面BGD. BGAC . BGD是二面角B-AC-D的平面角. 5分在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a, .在RtBDG中，. .即二面角B-A

16、C-D的大小为. 8分() ABEF, DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角. 9分 ， .又DC=, ， 11分 . . 解得 . 13分20. 在ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=，c=1，cosB=（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值（2）由cb，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）b=，c=1，

17、cosB=sinB=，由正弦定理可得：sinC=4分（2）cb，C为锐角，由（1）可得：cosC=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=，SABC=bcsinA=12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：,若不建隔热层,每年能源

18、消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值参考答案：解: (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0 x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0 x5时，f(x)0；当50.故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元22. （本小题满分12分）高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第