2021-2022学年湖南省常德市杉板中学高三数学文联考试题含解析

1、2021-2022学年湖南省常德市杉板中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列的前三项依次为,.则( ) A B C D参考答案：C,成等比数列,解得数列的首项为4,公比为.其通项.选C.2. 设a=sinxdx,则二项式的展开式的常数项是A. 160 B. -160C. 240 D. -240 参考答案：B由，所以，所以二项式为，展开式的通项为，所以当，为常数，此时，选B.3. 定义数列an的“项的倒数的n倍和数”为Tn=，已知Tn=（nN*），则数列an是（）A单调递减的B单调递增

2、的C先增后减的D先减后增的参考答案：A【考点】数列的求和【分析】求出n=1时数列an的首项，再由当n2时，TnTn1，求得数列an的通项公式，再判断单调性，运用分子常数化或作差法，即可得到单调性【解答】解：当n=1时，解得a1=2当n2时，所以，综上有，所以a1a2a3，即数列an是单调递减的（或用）故选A4. （ ）A B C D参考答案：D故选D5. 下列命题中，真命题是（）AB?x（0，），sinxcosxCD?x（0，+），exx+1参考答案：D【考点】2I：特称命题；2H：全称命题【专题】2A ：探究型；35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑【分析】根据三角函数相关概念，可

3、判断A，B，利用配方法，可判断C；构造函数求导，可判断D【解答】解：?，故A是假命题；当x（0，时，sinxcosx，故B是假命题；，故C是假命题；令f（x）=exx1，则f（x）=ex1，当x（0，+）时，f（x）0，则f（x）为增函数，故f（x）f（0）=0，即?x（0，+），exx+1，故选：D6. 已知为第四象限的角，且，则=A. - B. C. - D. 参考答案：A7. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）参考答案：D 由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，得，所以由

4、，的，即，所以，解得离心率，选D. 8. 已知等于.（ ）AB3C0D3参考答案：B9. 等差数列an中，已知a1，a2+a54，an33，则n为（ ）A50B49C48D47参考答案：A略10. 将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为（）A5B8C9D10参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】由题意，函数y=f（t）=aent满足f（5）=a，解出n=ln再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解

5、出k的值，由m=k5即可得到【解答】解：5min后甲桶和乙桶的水量相等，函数y=f（t）=aent，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln?k=ln，即为ln?k=2ln，解之得k=10，经过了k5=5分钟，即m=5故选A【点评】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设满足约束条件，记的最大值为，则 参考答案：12. 设圆C的圆心为双曲线的右焦点，且圆C与此双曲线的渐近线相切

6、，若圆C被直线截得的弦长等于2,则a的值为 参考答案：由题知圆心C(，0)，双曲线的渐近线方程为xay0，圆心C到渐近线的距离d ，即圆C的半径为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即1，解得a.13. 已知向量a=(1，-2)，b=(x，y)，若x，y1，4，则满足的概率为 参考答案：14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_.参考答案：15. 已知，若任取，都存在，使得，则的取值范围为 参考答案：略1

7、6. 平面向量,且与的夹角等于与的夹角,则_.参考答案：(2,+)17. 若，则 参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求 的面积.参考答案：（1）因为函数的最大值是2，所以；它的最小正周期是8，则。（2）由题意得，；直线的方程是，所以原点到直线的距离是，则的面积是。19. 如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上. (）

8、设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（）在ADE中，由余弦定理得： ， ? 又. ? 把?代入?得， 即函数的定义域为.(）如果DE是水管，则，当且仅当，即时“=”成立，故DE/BC,且DE=.如果DE是参观线路，记，则函数在上递减，在上递增故. .即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和。参

9、考答案：解：（1）由已知，得 1分 当2时， 3分 所以 5分 由已知， 设等比数列的公比为，由得，所以 7分 所以 8分 （2）设数列的前项和为， 则， ， 两式相减得 10分 11分 12分 所以21. (本题满分14分) 设函数f (x)ln x在 (0，) 内有极值() 求实数a的取值范围；() 若x1(0，1)，x2(1，)求证：f (x2)f (x1)e2注：e是自然对数的底数参考答案：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、抽象概括等综合解题能力和创新意识。满分14分。()解：或时，由在内有解令，不妨设，则，所以 ， 解得 6分()解:由或，由,或，得在内递增,在内递减,在内递减,在递增由，得，22. （1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）对求导