带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧

1、带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题；或带电粒子在空间运动范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称， 且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图 1）；带电粒子如果沿半径方向

2、射入具有圆形边界的匀强磁场， 则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图 2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例 1如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。 先确定圆心， 画出半径和轨迹（如图 4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称

3、。例 2如图 5 所示，在半径为 r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度 v0 从点沿半径方向射入磁场区，并由 N 点射出， O 点为圆心。当 MON 120时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径及在磁场区中的运动时间。解析：分别过 M 、N 点作半径 OM 、ON 的垂线，此两垂线的交点 O 即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图 6 所示。由图中的几何关系可知， 圆弧 MN 所对的轨道圆心角为 60，O、O 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为 R=r/tan30 =又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆

4、法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例 3如图 8所示， S 为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为 v0，质量为 m，电量为 q 的电子（q0），MN 是一块足够大的竖直挡板， 与 S 的水平距离为 L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为 mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕 S 点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转， 这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹， 如图 9

5、 所示，最高点为动态圆与 MN 的相切时的交点 P，最低点为动态圆与 MN 相割，且 SQ 为直径时 Q 为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动， 由洛仑兹力提供向心力，由得：SQ 为直径，则： SQ=2L ，SO=L ，由几何关系得：P 为切点，所以 OPL ，所以粒子能击中的范围为。例 4（2010 全国新课程卷）如图 10 所示，在 0 x A0y 范围内有垂直于 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 090范围内。己知粒子在磁

6、场中做圆周运动的半径介于 到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：1）速度大小 ；（2）速度方向与 y 轴正方向夹角正弦。解析：设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：，解得：。从 O 点以半径R（ Ra）作“动态圆”，如图 11 所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子， 其轨迹是圆心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的运动时间为t，依题意，所以 OCA 。设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：

7、，再加上，解得：，三、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中， 作圆周运动的半径随着速度的变化而变化， 因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例 5如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为 ，已知电子的质量为m，电量为 e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。解析：如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出， 当速率大于这

8、个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为 v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+rcos=d电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：联立解得：，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。例 6（2010 全国 II 卷）如图 15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为 d，电压为U，两板间有匀强磁场， 磁感应强度为 B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。 图中右边有一边长为 a 的正三角形区域 EFG （ EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平行于金属板面、 垂直于磁场的方向射入金

9、属板之间， 沿同一方向射出金属板间的区域， 并经 EF 边中点 H 射入磁场区域。不计重力。1）已知这些离子中的离子甲到达边界 EG后，从边界 EF 穿出磁场，求离子甲的质量；2）已知这些离子中的离子乙从 EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且 GI 长为 3a/4，求离子乙的质量；（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB0=qU/ d，解得离子的速度为： v=U/B0d（为一定数值）。虽然离子速度大小不变，但质量 m改变，结合带电离子在磁场

10、中做匀速圆周运动的半径公式 R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图 16 中的动态圆。（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17 中的半圆，半圆与EG边相切于A 点，与 EF边垂直相交于 B 点，由几何关系可得半径：R 甲 atan15= cos30（）a，从而求得离子甲的质量m甲 =。（2）离子乙的运动轨迹如图18 所示，在EIO2 中，由余弦定理得：，解得 R乙 =a/4 ，从而求得乙离子的质量m乙 =。y 是相同的，与粒子的关于带电粒子在电场的运动问题，高考题中经常出现，下面我们先看一个例题：例：如图所示，质量为 m电荷量为 q 的带电粒子以平行于极板的初速度

11、 v0 射入长 L 板间距离为 d 的平行板电容器间， 两板间电压为 U，求射出时的侧移、偏转角和动能增量解：分解为两个独立的分运动：平行极板的匀速运动（运动时间由此分运动决定），垂直极板的匀加速直线运动，偏角：，得：穿越电场过程的动能增量是：EK qEy（注意，一般来说不等于qU=），从例题可以得出结论有三：结论一、不同带电粒子从静止进入同一电场加速后再垂直进入同一偏转电场，射出时的偏转角度总和位移偏转量q、m无关。例 1如图所示，电子在电势差为 U1 的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为 U2 的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子

12、能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角 变大的是（）AU1 变大、 U2 变大 B U1 变小、 U2 变大CU1 变大、 U2 变小 D U1 变小、 U2 变小解析：电子在加速电场中由动能定理得, 电子在偏转电场中有： 由以上各式得：，可知要使 增大必然 U2 变大， U1 变小，故选 B答案： B结论二、粒子垂直进入电场偏转射出后，速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移中点。（粒子好像是从中点直线射出！）例 2证明：在带电的平行金属板电容器中，只要带电粒子垂直电场方向射入（不一定在正中间），且能从电场中射出如图所示，则粒子射入速度 v0 的方向与射出速度

13、 vt 的方向的交点 O必定在板长 L 的中点证明：粒子从偏转电场中射出时偏距，粒子从偏转电场中射出时的偏向角，作粒子速度的反向延长线，设交于 O点， O点与电场边缘的距离为x，则。可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间的处沿直线射出似的，即证。结论三、粒子垂直飞入电场偏转射出时，速度偏转角正切值（）等于位移偏转角正切值（）的两倍（）。例 3（ 2009 山东）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l ，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连接发射质量为 m、电量为 +q、速度相同、重力不计的带电粒子在 03t 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t 0 时，刻经极板边缘射入磁场。上述 m、q、l 、 l 0、 B 为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（1）求电压 U的大小。（ 2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。解析：（1）时刻进入两极板的带电粒