动态圆分析法

1、高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！用“动态圆”分析带电粒子在匀强磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动是历年高考中的一个重要考点,解决此类问题的常规方法为：一定圆心， 二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，解题要点为：已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线， 这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。以上方法简单明了

2、，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型。 模型一、旋转圆模型带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0 180 范围内）的速度射入匀强磁场中， 这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。运动轨迹所在圆的圆心在以入射点为圆心以在匀强磁场中运动半径为半径的“动态圆” 上，解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。 点评 离子以相同速率、不同方向射入磁场

3、，动态圆的圆心在同一个圆周上1.2005 山东卷如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里许多质量为m 带电量为 +q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射人磁场区域不计重力，不计粒子间的相互影响下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB哪个图是正确的1高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！2.2010 新课标卷如图所示，在0 xa、0ya/2 范围内垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射

4、大量质量为m 、电荷量为q的带正电粒子， 它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内， 与 y 轴正方向的夹角分布在0 90 范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2 到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1 ）速度的大小；（ 2 ）速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。 模型二、缩放圆模型如图所示，一束带电粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场， 若初速度v 大小不相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径不相同，不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：圆心都在过入射点且与初速方向垂直的射线上 点评

5、 电子以相同方向不同大小的速率由同一点射入磁场，动态圆半径不同，但其圆心都在过入射点且与初速方向垂直的射线上3.2010 全国II 卷 图中左边有一对平行金属板，两板相距为d ，电压为V; 两板之间有匀强磁场，磁场应2高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 -不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！强度大小为 B0 ，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG(EF 边与金属板垂直 )，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方

6、向射出金属板之间的区域，并经EF 边中点 H 射入磁场区域。不计重力（ 1 ）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界 EF 穿出磁场，求离子甲的质量。（ 2 ）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为 3 a ，求离子乙的4质量。（ 3 ）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一E半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。HGF2013 山东模拟 如图所示， aa 、bb 、cc 、dd 为区域、的竖直边界，三个区域的宽度相同，长度足够大， 区域、 内分别存在垂直纸面向外和向里的匀强磁场，区域存在竖直向下的匀强电

7、场一群速率不同的带正电的某种粒子，从边界aa 上的O 处，沿着与 Oa 成 30 角的方向射入区速率小于t 0；速率为 v0 的粒子在区运动t0某一值的粒子在区内运动时间均为5 后进入区已知区的磁感应强度的大小为 B，区的电场强度大小为2Bv 0 ，不计粒子重力求：(1) 该种粒子的比荷； (2)区域3高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！的宽度 d ；(3) 速率为 v0 的粒子在区内运动的初、末位置间的电势差U； (4) 要使速率为v0的粒子进入区后能返回到区，区的磁感应强度B的大小范围应为多少？5.2011 盐城一模如图所示，在

8、y 轴右侧平面内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T ，坐标原点 o 有一放射源， 可以向 y 轴右侧平面沿各个方向放射比荷为m2.510 7 Kg/C 的正离子， 这些q离子速率分别在从 0 到最大值 vm 2 10 6 m/s 的范围内，不计离子之间的相互作用 （ 1 ）求离子打到 y 轴上的范围（ 2）若在某时刻沿 +x 方向放射各种速率的离子，求经过 5 10 7 s 时这些离子所在位置构3成的曲线方程（3）若从某时刻开始向y 轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过 510 7 s 时已进入磁场的离子可能出现的区域面积3 模型三、平移圆模型4高二物理培优材料蒋暢生活就是

9、这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。如图所示。如图所示， 在 xOy 平面的 y 轴左侧存在沿 y 轴正方向的匀强电场， y 轴右侧区域内存在磁感应强度大小 B1=mv 0 /ql 、方向垂直纸面向外的匀强磁场，区域、区域的

10、宽度均为 L，高度均为 3L。质量为 m 、电荷量为+q 的带电粒子从坐标为（ 2L， 2L）的 A 点以速度v0 沿 +x 方向射出，恰好经过坐标为0 ， -(2 1)L 的 C 点射入区域。 粒子重力忽略不计。 求匀强电场的电场强度大小 E；求粒子离开区域时的位置坐标；要使粒子从区域上边界离开磁场，可在区域内加垂直纸面向内的匀强磁场。试确定磁感应强度B 的大小范围，并说明粒子离开区域时的速度方向。7.2010 浙江有一个放射源水平放射出、和三种射线，垂直射入如图所示磁场。区域和的宽度均为 d ，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小B 相等，方向相反 (粒子运动不考虑相对论效

11、应 )。（ 1 ）若要筛选出速率大于v1 的粒子进入区域，求磁场宽度d 与 B 和 v1的关系。（ 2 ）若 0.0034 T ，1 0.1（c是光速），则可得d；粒子的速率为0.001，计算和射线离开区域时的Bvcc距离；并给出去除和射线的方法。（3 ）当 d 满足第 (1) 小题所给关系时，请给出速率在v1 v v2 区间的粒子离开区域时的位置和方向。（ 4）请设计一种方案， 能使离开区5高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 -不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！域的粒子束在右侧聚焦且水平出射。已知：电子质量m e9.1 10 31 kg ，粒子质量 m 6.7 10

12、27 kg ，电子电荷量 q 1.6 1019C，。加强性练习题8. 2013 湖南六校联考 如图，OAC 的三个顶点的坐标分别为O(0,0) 、 A(L，0) 、C(0,3 L)，在OAC区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场在t 0时刻，同时从三角形的OA 边各处以沿 y 轴正向的相同速度将质量均为m 、电荷量均为 q 的带正电粒子射入磁场，已知在t t0 时刻从 OC 边射出磁场的粒子的速度方向垂直于y 轴不计粒子重力和空气阻力及粒子间相互作用 (1) 求磁场的磁感应强度B 的大小； (2)若从 OA 边两个不同位置射入磁场的粒子， 先后从 OC 边上的同一点 P(P点图中未标出 )射

13、出磁场，求这两个粒子在磁场中运动的时间t 1与 t2之间应满足的关系； (3) 从 OC 边上的同一点 P 射出磁场的这两个粒子经过P 点的时间间隔与P 点位置有关， 若该时间间隔最大值为4 t0，求粒子进3入磁场时的速度大小9.2014 南通三模如图所示，在xoy 平面 yO 的区域内有沿y 轴负方向的匀强电场，在yO 的区域内有垂直于xoy 平面向里的匀强磁场.一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子从坐标为( 2l , l )的 P 点以初速度v0 沿 x 轴负方向开始运动，恰能从坐标原点O 进入磁场，不计带电粒子所受的重力.（ 1）若带电粒子此后每隔相同的时间以相同的速度再次通过O 点，则

14、磁感应强度B1大小为多少 ?（ 2 ）若带电粒子离开P 点后只能通过O 点两次，则磁6高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！感应强度B2 大小为多少 ? （ 3 ）若带电粒子从P 点正下方任意一点以相同的初速度v0 开始运动，在电场中运动一段时间后同时撤去电场和磁场，粒子均能通过O 点，求撤去电场和磁场时刻粒子的位置所在曲线的方程？用“动态圆”分析带电粒子在匀强磁场中的运动问题参考解答答案： A2. 【解析】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：，解得：。从 O 点以半径 R（ R a）作“动

15、态圆”，如图所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的运动时间为t，依题意，所以OCA。设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为，由几何关系得：，再加上，解得：，【解析】（1 ）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有qvB0qE07高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！式中， v 是离子运动的速度，E0 是平行金属板之间的匀强电场的强度，有E0VdV由式得： vB0 d在正三角形磁场区域，离子甲做

16、匀速圆周运动。设离子甲质量为m ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有：qvBm v2rEK式中， r是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹/I为半圆，圆心为O ：这半圆刚好与EG 边相切于 K，与 EF 边交于OI/ 点。在EOK 中， OK 垂直于 EG。HG12由几何关系得arr23由式得 r33aF2联立式得 ,离子甲的质量为 mqaBB0 d3V32（ 2）同理，有洛仑兹力公式和牛顿第二定律有qvBm v2r式中， m 和 r 分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心O 必在 E、H 两点之间，又几何关系有r 2(a3 a)2( ar )22( a3 a

17、)( ar )cos60 041 a242由式得 r4qaBB0 d联立式得，离子乙的质量为m4V（ 3）对于最轻的离子，其质量为m/ 2，由式知，它在磁场中做半径为r/2 的匀速圆周运动。因而与EH 的交点为 O ，有 OH(33) a2当这些离子中的离子质量逐渐增大到m 时，离子到达磁场边界上的点的位置从O点沿 HE 边变到 I/点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从K 点沿 EG边趋向于 I 点。K 点到 G点的距离为 KG32a所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF 边上从 O到 I/点。 EG 边上从 K 到 I 。4. 【解析】 (1) 速率小于某一值的粒子

18、在区域中运动时间均为t 0，这些粒子不能从bb 离开区域，其轨迹如图 a 所示 (图中只画出某一速率粒子的轨迹)粒子运动轨迹的圆心角为1 300 8高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！t 0 TT由牛顿第二定律得qvB T得粒子的比荷设速率为 v 0 的粒子在区域内运动轨迹所对圆心角为2，2 1 60 由几何知识可知，穿出bb 时速度方向与 bb 垂直，轨迹如图 b 所示，设轨迹半径为R0， d R0sin 2R0 区域的宽度d 设速率为 v 0 的粒子离开区域时的速度大小为v1 ，方向与边界 cc的夹角为3水平方向有d v0 t竖

19、直方向有vyat atan3?v1 2v 0 ?3 30 ?9高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！由动能定理得qU mvmv?U?(4) 速率为 v0 的粒子在区域内做圆周运动，当区内的磁感应强度为B1 时，粒子恰好不能从区域的边界 dd 飞出，设其轨迹半径为r，则 r(1 cos3) d?r ，解得 B1 B?5. 【解析】（ 1 ）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R由牛顿第二定律得：解得：m由几何关系知，离子打到y 轴上的范围为0 到2m （ 2 ）离子在磁场中运动的周期为T，则s时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为则这些离

20、子构成的曲线如图1 所示，并令某一离子在此时刻的坐标为（x， y ）则 x=rsin ，y=r （ 1-cos ）代入数据并化简得：（）（ 3 ）将第（ 2 ）问中图 2 中的 OA 段从沿 y 轴方向顺时针方向旋转，在x 轴上找一点C，以 R 为半径作圆弧，相交于 B，则两圆弧及y 轴所围成的面积即为在t=0 向 y 轴右侧各个方向不断放射各种速度的离子在10高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！时已进入磁场的离子所在区域由几何关系可求得此面积为：则：6. ：带电粒子在匀强电场中做类平抛运动.分分分 设带电粒子经C 点时的竖直分速度

21、为vy :、速度为v分，方向与轴正向成45 斜向上2 分粒子进入区域做匀速圆周运动，解得：2 分由几何关系知，离开区域时的位置坐标：2 分 根据几何关系知，带电粒子从区域上边界离开磁场的半径满足分11高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！得2 分根据几何关系知，带电粒子离开磁场时速度方向与轴正方向夹角分【解析】此题是缩放圆和平移圆的结合应用。根据洛伦兹力提供向心力，粒子顺时针旋转，当速度逐渐增大，轨迹半径在区域不断变大，当与交界处相切时，速度再增大则进入区域，由于两区域仅磁场方向相反，所以轨迹在两区域交界处外切，可通过圆的平移得到粒子

22、运动轨迹，如图所示。（ 1）根据带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用后做圆周运动的规律：由临界条件得d 、 B 和 v 1 的关系为：（ 2 ）由式可得粒子的回旋半径：由式得：，竖直方向的距离为：。可见通过区域的磁场难以将射线与射线分离可用薄纸挡去射线，须用厚铅板挡掉射线。3 ）在上述磁场条件下， 要求速率在 v1 v v2 区间的粒子离开区域时的位置和方向，先求出速度为 v2 的粒子所对应的圆周运动半径：12高二物理培优材料蒋暢生活就是这样 - 不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！，该粒子从区域磁场射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得从区域射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得，与速度为v1 对应的粒子垂直方向偏离的距离为：。速率在v1 v v2 区间射出的粒子束宽为Y1Y2，方向水平向右。（ 4 ）由对称性可以设计出如图所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。8 【解析】(1) 粒子在 t0 时间内，速度方向改变了90，故周期 T 4t0 由 T2 mmqB得B2 qt 0(2) 在同一点射出磁场的两粒子轨迹如图，轨迹所对应的圆心角分别为 1 和 2，由几何关系有1 180 2T故 t 1 t 2 2 t0 2(3) 由圆周运动知识可知，两粒子在磁场中运动的时间差t 与2 1 成正比，由得 2 12