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1、工程力学及其实验第4章 空间力系工程力学及其实验制作与设计 蔡路政 皮永乐审核 孟庆东第四章 空 间 力 系空间力系:物体所受各力的作用线不在同一平面内的力系主要研究内容 力在空间直角坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间任意力系的平衡方程 重心和形心空间力系的三种形式:空间汇交力系:各力的作用线汇交于一点的力系。 空间平行力系:各力的作用线彼此平行的力系。作用于节点A上的力系 三轮起重机所受的力系 空间任意力系:各力的作用线在空间任意分布的力系。 轮轴所受的力系 FFr亦称空间一般力系 41 力在空间直角坐标轴上的投影 直线投影法有一空间力F,取空间直角坐标系如图力F 在坐标轴上的投影 gba F

2、cosFFcosFFcosFzyx=符号规定:从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴正向一致的就取正号;反之,就取负号。 二次投影法FFFFFFzyxcossinsincossin=力F 在三个轴上的投影分别为 222FFFFzyx+=42 力对轴之矩 力对轴之矩(N m):度量力使物体绕轴的转动效应结论:力对某轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量,其大小等于力对垂直于某轴平面内力对O点(即某轴在该面的投影点)之矩。 力对轴之矩的符号规定:空间力系若有合力FR,则合力对某轴的矩等于各分力对该轴的矩的代数和。 空间力系合力矩定理:例4-1手柄ABCE在平面Axy内的D处作用一个力F,如图57所示,

3、它在垂直于y轴的平面内偏离铅垂线的角度为。如果CDa,杆BC平行于x轴,杆CE平行y轴,AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x、y和z三轴的矩。 解:将F沿坐标轴分解为Fx和Fy力F对轴的矩等于分力Fx和FZ对同一轴的矩的代数和 力对平行自身的轴的矩为零 43 空间任意力系的平衡方程 平衡基本方程空间任意力系平衡的充分必要条件:各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零;各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零即:例4-3 起重绞车如图所示。已知=20, r=10cm, R=20cm,G=10kN。试求重物匀速上升时支座A和B的反力及齿轮所受的力Q(力Q在垂直于轴的平面内与水平方向的切线成角,20)

4、。 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究对象。将力G和Q平移到轴线上,分别作垂直平面、水平平面和侧垂直平面(图a、b、c)的受力图。a)b)c)由(图a、b、 c),列平衡方程。空间平衡力系的平面解法 平面解法:在机械工程中,常把空间的受力图投影到三个坐标平面上,画出三个视图(主视、俯视、侧视图),这样,就得到三个平面力系,分别列出他们的平衡方程,同样可以解出所求的未知量。这种将空间力系的平衡问题转化为三个坐标平面内的平面力系的平衡问题的讨论方法,就称为空间平衡力系。44 重心和形心 重心和形心的概念重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成,每一微小部分上都作用一个

5、指向地球中心的力,这些引力原本应是一空间汇交力系,但由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多,故可认为这些力为一空间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力,并称重力的作用点C为物体的重心。对刚体而言,物体的重心是一个不变的点。形心 物体几何形状的中心点称为形心。 均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上 重心和平面图形形心的确定 重心和形心可以利用相关计算公式确定。但多数情况下可以凭经验判定。 利用相关计算公式确定重心 如图所示,设物体重力作用点的坐标为G(zc,yc,zc), 得物体的重心坐标公式为对于均质物体,若用表示其密度,V表示微体积,则得物体的重心坐标公式为平面图形的形心 均质物体

6、的重心就是其形心。 均质薄平板,若表示其厚度,A表示微体面积,得其形心的坐标公式为 (平面图形的形心坐标的计算式 )记Sy=xiAi= xcA,则Sy称为图形对y轴的静矩 Sx=yiAi= yiAi= ycA,Sx称为图形对x轴的静矩 若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩必为零;反之,若图形对某轴的静矩为零,则该轴必通过图形的形心。 结论 : 悬挂法 外形较复杂的均质薄平板常用此法求重心(或形心)。 先以板上一点A来悬挂此板,其重心必位于点A的铅垂线AB上;再将板悬于另一点D,则重心又必位于点D的铅垂线DE上。交点C即为此平板的重心(形心)。 对称法求重心 对于均质物体,若在几何体上具有对

7、称面、对称轴或对称点,则物 体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。 实验法 对于外形较复杂的物体确定重心可用实验法。 称重法 称出物体的重量G 固定物体,一端支于固定点A,另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离l 读出磅秤上的读数FB G组合图形的形心 有些平面图形可以看成是由几个简单形状的平面图形组成的组合图形,计算时可将组合组合图形分割成几个简单形状图形,并确定每个简单形状的平面图形的形心,就可确定整个平面图形的形心。 例4-5 试求图示平面图形的形心位置(单位:mm)。 解:该题可用两种方法求解 (1)分割法如图所示将该图形分解成两个矩形I和II,它们的形心位置分别为C 1(xl,yl)、C2 (x2,y2)。其面积分别为A1和A2。得x1=10mm , y1=10mm , A1=20 44=880mm2x2=20mm , y2=8mm , A2=16 40=640mm2则有:(2)负面积法 将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩形II。它们的形心位置分别为C 1(xl,y

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