数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练

1、数的整除（能被7、 9、 11、 13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a 除以整数b（b 0，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说 ）a 能被 b 整除（也可以说b 能整除a）。2、如果整数a 能被整数b（b 0整除，则称）a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数。3、整除的数，其数字和一定是9 的倍数4、能被11 整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11 整除。5、一个三位以上的整数能否被7（ 11 或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（ 11 或13）整除。例题精讲1、判断 47382能否

2、被 3 或 9 整除？分析： 能被 3 或 9 整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3 或 9 的倍数。47382各个数位的数字相加和是24， 24是 3的倍数但不是9的倍数。解： 47382能被 3整除，不能被9整除2、判断42559， 7295871 能否被 11 整除？分析： 一个三位以上的整数能否被11 整除， 只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11 整除。解： 42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7， 18-7=11 是 11 的倍数，所以 42559 能被 11 整除； 7295871 奇数位的数字和为7+9+8+1=25，

3、偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11 是 11 的倍数，所以7295871 也能被 11 整除。3、 32335 能否被 7 整除？分析： 一个三位以上的整数能否被7（ 11 或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（ 11 或 13）整除。解：335-32=303， 303不能被 7 整除，所以32335不能被7整除。专题特训1、把 516 至少连续写几次，所组成的数能被9 整除？2、四位数36AB 能同时被2、 3、 4、 5、 9 整除，则A= B= ？3、 173是一个四位数，在这个 中先后填入3 个数，所得到

4、的3 个四位数依次能被9、 11、 6 整除，先后填入的3 个数分别是几？4、九位数8765 4321能被21 整除， 中应填几？5、用17 七个数字组成不重复数字且能被11 整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992 口口能被105 整除，那么它的最后两位数是多少?8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23 56是 88 的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、 42 28是 99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？1、解：能被9 整除

5、的数的特点是各数位的数字和能被9 整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9 整除。 TOC o 1-5 h z 2、解：由能被2 和 5 整除可判断B=0。能被3 和 9 整除可得A 可能是0、 9，由能被 4 整除可得A 只能为0，所以A=0， B=0。3、解：能被9 整除， 中应填7，能被11 整除， 中应填 8，能被 6 整除， 中应填 44、解：21=3 7，所以8756 4321能被3 和 7 同时整除，根据特征判断可得中应填0。5、解：根据能被11 整除的数的特征，最大的七位数应为7645231，最小的七位数为1235476，二者的

6、差为7645231-1235476=64097556、解：这个数能被63 整除即能被7 和 9 同时整除，符合条件的数为22365。7、解：因为105=3 7 5，所以这个六位数同时满足能被3、 7、 5 整除的数的特征即可。根据整除特征可得末位只能为0 或 5。如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口 +0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口可以为0， 3， 6， 9，验证均不是200-199=1， 230-199=31，260-199=61， 290-199=91，有 9l 是 7 的倍数，即199290是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为90。8、解：三个连续的两位数其和必是

7、3的倍数 ,已知其和是11 的倍数,而 3与 11互质 ,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3 个 ,它们是33、 66、 99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99 时,三个数是32,33,34。9、 解： 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8 的倍数,又是11 的倍数.根据8 的倍数 ,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是0 或 11 的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相

8、同的,因此这个六位数有两种可能又 230560 88=2620238568 88=2711所以,本题的答案是2620或 2711。10、解：因为99=9 11,所以42 28既是9 的倍数 ,又是 11 的倍数 .根据是 9 的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9 的倍数 .42 28这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2 或 11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11 的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0 或 11 的倍数，所以填入空格的两个数应该相

9、差3 或相差 8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是 8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和 4.填入空格时要注意7填在偶位上 ,4填在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又 427284 99=4316，所以所得的商是 4316。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16 整除， 16 能被 8 整除，那么48 一定能被8 整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么21 1

10、5 及 21-15 都能被 3 整除。性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被7 整除，且9与 7 互质，那么126 能被9 7 63 整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。例 1. 在 853 后面补上3 个数字组成一个六位数，使这个六位数能同时被3,4,5整除。这样的六位数中最大的是多少？解题思路：因为 3,4,5两两互质，所以853末两位可以是20,40,60,80,00，再根据能被3 整除的数的特征，8+5+3+9+8+0=33，这个数最大是853980。解：这样的六

11、位数中最大的是853980。做练习题。例 2判断34101 能不能被7 或 11 或 13 整除。解题思路：根据能被7,11,13整除的数的特征，用末三位101 减去末三位前面的数34， 即 101-34=67， 看这个差能不能被7、 11、 13 整除就可以判断出34101能不能被7、 11、 13 整除。解： 101-34=6767 不能被 7 整除， 所以 34101 不能被 7 整除。 67 不能被 11 整除， 所以 34101不能被 11 整除。 67 不能被 13 整除，所以34101 不能被 13 整除。例 3由4， 5， 6 三张数字卡片能组成多少个能被2 整除的三位数？解题

12、思路：卡片6 可以看成9，所以能被2 整除的有564， 654， 594， 954，456， 546。解： 6 个。总结：我们要牢记能被n 个特殊数整除的特征，归纳出一般性的规律。（ 1）一个数的个位数字如果是0， 2， 4， 6， 8 中的一个，那么这个数就能被 2 整除。（ 2）一个数的个位数字如果是0 或 5，那么这个数就能被5 整除。 TOC o 1-5 h z （ 3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3整除。（ 4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。一个数的末三位数如果能被8（或125） 整除， 那么这个数就能被8

13、（或125）整除。（ 6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9 整除，那么这个数就能被9整除。练习： 1. 用 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被 5 整除的有几个？能被2 整除的有几个？能被10 整除的有几个？2.42 28是99 的倍数，这个数除以99 所得的商是多少？五位数能被 72 整除，问：A与 B各代表什么数字？七位数175 62的末位数字是_的时候，不管千位上是0 到 9 中的哪一个数字，这个七位数都不是11 的倍数。学校买了72 只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是 67.9 元，你知道每只小足球多少钱吗？某个七位数

14、1993能同时被2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少？比一比 . 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如 52中间插入4 后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有多少个？. 解：有 9 个能被 5 整除；有13 个能被 2 整除；有5 个能被 10 整除。2讲析：能被99 整除的数，一定能被9 和 11 整除。设千位上和个位上分别填上数字a、 b， 则： 各位上数字之和为16+（ a+b） 。要使原数能被9 整除，必须使16+（ a+b） 是 9 的倍数，即（a+b）之和只能取2或 1

15、1。又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8） ，要使原数能被11 整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11 的倍数。经验证，（ b-a-8）是 11 的倍数不合。所以a-b=3。又 a+b=2或11，可求得a=7， b=4。从而很容易求出商为427284 99=4316。 解：已知能被 72 整除。 因为72 89 ， 8 和 9 是互质数，所以既能被 8 整除，又能被9 整除。根据能被8 整除的数的特征，要求能被 8整除，由此可确定B 6。再根据能被9 整除的数的特征，的各位数字之和为A329BA3f296A20，在这个范围内只有27 能被 9 整除，

16、所以A 7。.讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和 b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是3+（ b-a） 或 （ a-b） -3。要使原数是11 的倍数，只需3+（ b-a） 或 （ a-b） -3是11 的倍数。则有b-a=8，或者a-b=3。当b-a=8时，b 可取9、8；当a-b=3时，b 可取6、5、4、3、2、1、0。所以，当这个七位数的末位数字取7 时， 不管千位上数字是几，这个七位数都不是 11 的倍数。.解：367.92/72=5.11（元）.讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数是2520。而1993000 2520=790余 2200。于是再加

17、上（2520-2200） =320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、 2、 0。比一比.讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9 倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0 或 5。 TOC o 1-5 h z 又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。结合被 9 整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、 35、 25 和 15共 4 个。能被 7 整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2 倍 ,如果差是7 的倍数 ,则原数能被7 整除。如果数字仍然太大不能直接观

18、察出来，就重复此过程。（截尾、倍大、相减、验差能被 8 整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8 整除， 则这个数能被 8 整除能被9 整除的数的特征若一个整数的数字和能被9 整除，则这个整数能被9 整除能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，则这个数能被11 整除。 11 的倍数检验法也可用上述检查7 的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2 而是1能被12 整除的数的特征若一个整数能被3 和 4 整除，则这个数能被12 整除能被13 整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4 倍，如果和是13 的倍数，则原数能被13 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断1284322 能不能被13 整除。128432+2 4=12844012844+0 4=12844 1284+4 4=1300， 截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止能被 17 整除的数的特征1、 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的5 倍， 如果差是17 的倍数， 则原数能被17 整除。 如果差太大或心算不易看出是否17 的倍数， 就需要继续上述截