高中数学总复习之22向量及向量的基本运算

1、高中数学总复习之 22向量及向量的基本运算一、选择题设a、b为不共线向量，AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,则下列关系式中正确的是（）A. AD BCB. AD 2BCC. AD BCD. AD 2BC解析：AD AB BC CD=-8 a-2b=2（-4 a-b）2BC .答案：B给出下列命题： TOC o 1-5 h z 零向量是唯一没有方向的向量；平面内的单位向量有且仅有一个；a与b是共线向量,b与C是平行向量，则a与C是方向相同的向量；相等的向量必是共线向量.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方

2、向，又规定零向量与任一向量平行所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量，故命题是错误的；a对平面内的任一向量 a而言，由于I I 1,|a|即是一个单位向量.由a的任意性，可知命题是错误的；|a|共线向量即平行向量，包括方向相同的或方向相反的非零向量及零向量，故命题也是错误的；由于相等向量是长度相等且方向相同的向量，可知命题正确.答案：A已知O是厶ABC所在平面内一点，D为BC边中点,且 2OA OB OC 0,那么（）A. AOODB. AO2ODC. AO3ODD. 2AOOD解析： O是厶ABC所在平面内一点，D为BC边中点， OBOC 2OD ,且 2OA OB OC 0. 2OA 2O

3、D 0 ,即 AO OD .答案：A4设O为厶ABC的外心,平面上一点P使OP OA OB 0C,则点P是厶ABC的（）A.外心B.内心A.外心B.内心C.垂心D.重心解析：由 OP OA OB OC ,得 AP OB OC ,以OB、OC以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,如右图. O ABC 的外心, OB=OC.四边形OBDC为菱形. OD 丄 BC,且 OD OB OC .OD AP .AP 丄 BC.同理,BP AC,P为垂心.答案：C设平面内有四边形 ABCD和点O,若OA=a,OB =b, OC =c, OD =d,且a+c=b+d,则四边形ABCD 为（）A.菱形B.梯形C

4、.矩形D.平行四边形解析：由 a+c=b+d 得 a-b=d-c ,即 OA OB OD OC ,BA CD ,即四边形ABCD为平行四边形 答案：D过 ABC的重心任意作直线分别交 AB、AC于D、E两点若AD XAB , AE y AC ,xy 0,1则的值为（）X yA.4B.3C.2D.11 1 解析：方法一（特殊位置法）:当直线DE与BC平行时，由相似性质，得Xy ,故3.Xy方法二（利用共线向量基本定理）:如图，设重心为G, AB =a, AC =b,则AG-(ab),. GDADAG (XED AD AEXayb GD /ED,1X -3设重心为G, AB =a, AC =b,则

5、AG-(ab),. GDADAG (XED AD AEXayb GD /ED,1X -3X-)a -b33答案：B向量a和b的夹角的平分线上的单位向量是(A. a+ba b B.-|a b|aC.一|a|解析：与向量a,b同方向的单位向量分别为|b|b|a |a|blba |a|b|,则IaIlbl |a|为a和b夹角平分线上的a,b夹角平分线方向的单位向量向量,它与ba+ab共线,除以它的模ba+aba,b夹角平分线方向的单位向量|b|a |a|b lba |a|b|答案：D)De /e2 或=0已知向量e), R,a=e+ eb=2e)De /e2 或=0A. =0B.e2=0Ce / e

6、2解析：a与向量b共线,则e1+ e=2me1(m R),即 e=(2m-1) e1,e1 / e2 或 =0.答案：D判断下列各命题的真假：(1)向量AB的长度与向量BA的长度相等向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量AB与向量CD是共线向量 则点A、B、C、D必在同一直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段 其中假命题的个数是()A.2B.3C.4D.5解析：真命题；(2)假命题若a与b中有一个为O时,其方向不确定;(3)真命题;(4)假命题,起 点的位置不确定；(5)假命题，共线向量所在

7、直线可以重合，也可以平行；(6)假命题，向量可以用有向线段来表示，并不是有向线段答案：C若OABC若OABC所在平面内一点，且满足IoB OClloB OC 2OA| ,则 ABC 的形状是()B.直角三角形D.B.直角三角形D.等边三角形C.等腰三角形解析：OB OC 2OA OB OA OC OA AB AC ,OB OC CB AB AC . AB AC AB AC |，即以AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等 则这个平行四边形为矩形 AB丄AC，即厶ABC为直角三角形.答案：B二、填空题 TOC o 1-5 h z 11、12 是不共线向量 且 a=-li+3l2，b=4

8、li+2l2，c=-3li+12l2,若 b、C 为一组基底，则 a=I解析： 设 a= b+ c,即卩-1+32= (4h+22)+ (-31+122),即-1+32=(4 -3 )1+(2 + 12 )2.4 1 3 21,2 1 12 23.解得I故a答案：18解得I故a答案：1817, 218277c.27187272.已知OA=a,OB =b,如图,C、D是AB的三等分点，则OC ,OD 解析：如图， TOC o 1-5 h z .1.1 11 2 12OCOAACOA ABOA_ (OBOA)一 OB OA_ b- a.333333同理OD 1a 2b TOC o 1-5 h z

9、332 112答案：a -b -a -b3333已知平面上三点A、B、C满足IABl 3,| CA | 5,1 BCl 4,则AB ? BC BC ? CA CA ? AB 的值等于.解析：由于AB BC CA 0, - - - - - - - (AB BC CA)- | AB- BC - CA - -(AB? BC BC?CA CA? AB)9 16 -5 -(AB? BC BC?CA CA ? AB) 0,即可求值.答案：-54向量 a 与 b 满足 a=-,a+b=3,a-b=3,则 b=.解析：设 OA=a,OB =b,以 QA、QB 为邻边作ILjloADB,则 OD =a+b,BA

10、 =a-b,a+b=a-b,四边形QADB为矩形 OD I 3,OAI -, OB I I AD 9 45 答案：55如图，在厶ABC中,点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,若 AB mAM ,AC nAN ,贝U m+n 的值为.(k 11).(k 11)2 (2k 6)25k2 46k 157.解析：由题意，设OM(OA又0是BC的中点,因此丄)ABmON,则 OA AM (OA AN),1 AC) ,(1 )OAnOA 1(AB2-)AC 0n丄ABmAC),110,2m11 1 1,由此消去入得（7)(10,2n 2 m2n1,化简整理，得m+n=

11、2.4答案：2三、解答题-AC, n(AB AC) AB2m-AC , n1已知 a=(1,2),b=(3,2),且(ka+b)-(a-3b)=ka+b+a-3b,求实数 k 的值. 解法一：由题意，知a、b不共线.由条件 (ka+b)-(a-3b)=ka+b+a-3b,k可得ka+b与a-3b方向相反，当(ka+b) / (a-3b)时,1Tk此时,ka+b=11a+b= (a-3b).33 ka+b与a-3b方向相反. k解法.由题意，知 ka+b=(k+3,2k+2), a-3b=(-8,-4),| ka b| 、(k 3)2 (2k 2)2. 5k2 14k 13,则 |a 3b|.(

12、 8)2( 4)24,5, (ka+ b)-( a-3b)=(k+11,2k+6)代入等式，得.5k246k157.5k214k 13 4 5,化简,得 9k2+6k+ 仁O, k1,代入检验等式成立.32.如图,四边形OADB是以向量OA =a ,OB =b为边的平行四边形.又BM解： BMBC1BA61(OA OB) 1(a b)6 6 OMOBBM CN1 -1CD-OI36BM解： BMBC1BA61(OA OB) 1(a b)6 6 OMOBBM CN1 -1CD-OI36 ONOCCN2MN丄a Ib 1a6 6 61OD21OD6-OD32(OA OB) -(a b),333(ab)-b61b .63.设a,b是两个不共线的非零向