20届高考数学一轮复习讲义(提高版)-专题3.7-正余弦定理(原卷版)doc

1、第七讲 正余弦定理【套路【套路秘笈 】-始于足下始于足下一正弦定理、余弦定理在ABC中，假定角A，B，C所对的边分不是a，b，c，R为ABC外接圆半径，那么定理正弦定理余弦定理内容eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsi

2、n Acos Aeq f(b2c2a2,2bc)；cos Beq f(c2a2b2,2ac)；cos Ceq f(a2b2c2,2ab)应用 前提 1.两角一边求角2.双方 对应角1.三边求角2.双方 一角求边二在ABC中，曾经明白a，b跟 A时，解的状况A为锐角A为钝角或直角图形关联 式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解三.三角形常用面积公式(1)Seq f(1,2)aha(ha表现 边a上的高)；(2)Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)acsin Beq f(1,2)bcsin A；(3)Seq f(1,2)r(abc)(r为三角形内切圆半径)四丈量

3、中的有关多少 个术语术语称号术语意思 图形表现 仰角与俯角在目的视野与程度视野所成的角中，目的视野在程度视野上方的叫做仰角，目的视野在程度视野下方的叫做俯角方位角从某点的指南偏向 线起按顺时针偏向 到目的偏向 线之间的夹角叫做方位角方位角的范畴 是0360偏向 角正北或正南偏向 线与目的偏向 线所成的锐角，平日 表白 为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东：(2)南偏西：坡角与坡比坡面与程度面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与程度长度之比叫坡比【修炼套路】【修炼套路】-为君聊赋昔日诗，尽力 请从昔日始考向一 正余弦公式抉择 【例1】1在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假定a

4、eq r(13)，b3，A60，那么边c .2在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假定c2，b2eq r(3)，C30，那么B .3设ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.假定aeq r(3)，sin Beq f(1,2)，Ceq f(,6)，那么b .【触类旁通】1.曾经明白ABC中，Aeq f(,6)，Beq f(,4)，a1，那么b即是 ()A.2 B.1 C.eq r(3) D.eq r(2)2.在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c.假定aeq r(7)，b2，A60，那么sin B_，c_.考向二 正余弦定理的应用 【例2】1在ABC中，2acos A

5、bcos Cccos B0，那么角A的巨细 为_2曾经明白ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假定cos Ceq f(2r(2),3)，bcos Aacos B2，那么ABC的外接圆面积为 【套路总结】【套路总结】正余弦定理应用 ：边角调换 边的一次方或角的正弦-正弦定理边的二次方或角的余弦-余弦定理【触类旁通】1在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，曾经明白bsin(A+3)=asinB，A6B3C22在ABC中，内角A,B,C的对边分不为a,b,c，假定asinBcosC+csinBcosA=0.5b，A30B60C1203曾经明白a，b，c分不为ABC三个内角A，B，

6、C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(aeq r(3)c)sin A，那么角B的巨细 为_考向三 三角形的面积【例3】曾经明白ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，且a2c2bcos A.(1)求角B的巨细 ；(2)假定b2eq r(3)，ac4，求ABC的面积【套路总结】【套路总结】三角形面积公式的应用 原那么(1)关于面积公式Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)acsin Beq f(1,2)bcsin A，普通是曾经明白哪一个角就应用 哪一个公式(2)与面积有关的咨询 题，普通要用到正弦定理或余弦定理进展边跟 角的转化【触类旁通】1.设ABC中的内角A，

7、B，C所对的边分不为a，b，c，且ab2eq r(3)，c3，Ceq f(2,3)，那么ABC的面积为_2.设ABC的内角A，B，C的对边分不是a，b，c，D为AB的中点，假定bacos Ccsin A且CDeq r(2)，那么ABC面积的最年夜 值是_3.在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假定bcos Aacos B2ccos C.(1)求C的巨细 ；(2)假定b2a，且ABC的面积为2eq r(3)，求c的值考向四 推断 三角形的外形【例4】在ABC中，内角A，B，C所对边分不是a，b，c，假定sin2 eq f(B,2)eq f(ca,2c)，那么ABC的外形必定 是_【

8、套路总结】【套路总结】推断 三角形外形的两种思绪1化边：经过因式剖析 、配方等得出边的响应 关联 ，从而推断 三角形的外形。2化角：经过三角恒等变形，得出内角的关联 ，从而推断 三角形的外形。如今要留意应用 ABC那个 论断 。在推断 三角形外形时必定 要留意解能否独一，并重视 发掘隐含前提 别的 ，在变形进程中要留意角A，B，C的范畴 对三角函数值的妨碍 【触类旁通】1在ABC中，角A，B，C所对的边分不是a，b，c，假定c2acos B，那么ABC的外形为_2在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假定eq f(sin A,sin B)eq f(a,c)，(bca)(bca)3bc

9、，那么ABC的外形为_考向五 三角形个数推断 【例5】在ABC中，曾经明白a2，beq r(6)，A45，那么满意 前提 的三角形有 个【套路总结】【套路总结】1.三角形解的个数的推断 ：曾经明白两角跟 一边，该三角形是断定 的，其解是独一的；曾经明白双方 跟 一边的对角，该三角形存在 不独一性，平日 依照三角函数值的有界性跟 年夜 边对年夜 角定理进展推断 .2.曾经明白三角形的双方 跟 此中 一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需推断 其解的个数，用余弦定理时，可依照一元二次方程根的状况推断 解的个数.【触类旁通】1.在ABC中，假定a18，b24，A45，那么

10、此三角形解的状况为_考向六求解多少 何盘算 咨询 题【例6】 如图，在四边形ABCD中，DABeq f(,3)，ADAB23，BDeq r(7)，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)假定BCDeq f(2,3)，求CD的长【触类旁通】1假定E，F是等腰直角三角形ABC歪 边AB上的三平分 点，那么tanECF .2.如图，在ABC中，Beq f(,3)，AB8，点D在边BC上，且CD2，cosADCeq f(1,7)。(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长。考向七 生涯 实践应用 【例7】1如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的偏向

11、上，行驶600 m后抵达B处，测得此山顶在西偏北75的偏向 上，仰角为30，那么此山的高度CD_m.2海轮“调跟 号从A处以每小时21海里的速率 动身 ，海轮“斗争号在A处北偏东45的偏向 ，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的偏向 以每小时9海里的速率 行驶，那么海轮“调跟 号与海轮“斗争号相遇所需的最短时刻 为_小时.3如图，两座相距60 m的修建物AB，CD的高度分不为20 m，50 m，BD为程度面，那么从修建物AB的顶端A看修建物CD的张角CAD即是 ()A.30 B.45 C.60 D.75【触类旁通】1.一艘海轮从A处动身 ，以每小时40海里的速率 沿南偏东40的偏向 直线

12、飞行，30分钟后抵达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处不雅 看 灯塔，其偏向 是南偏东70，在B处不雅 看 灯塔，其偏向 是北偏东65，那么B，C两点间的间隔 是()A.10eq r(2)海里 B.10eq r(3)海里C.20eq r(3)海里 D.20eq r(2)海里2.一架直升飞机在200 m高度处进展测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分不是30跟 60，那么塔高为()A.eq f(400,3) m B.eq f(400r(3),3) mC.eq f(200r(3),3) m D.eq f(200,3) m3.如图，从气球A上测得正后方的河道 的两岸B，C的俯角分不为75，30，如今气球的高

13、是60 m，那么河道 的宽度BC即是 ()A.240(eq r(3)1)m B.180(eq r(2)1)mC.120(eq r(3)1)m D.30(eq r(3)1)m【应用 套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1在中，那么 ABCD2一船以每小时15km的速率 向东飞行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶4h后，船抵达处，看到那个 灯塔在北偏东，这时船与灯塔的间隔 为 AkmBkmCkmDkm3在ABC中，A60，b1，SABC=3A3B39C2D24在 ABC 中，假定 a2-b-c2A6B4C5在ABC中，曾经明白a-cb-c=ba+cA30B60C1206曾经明白a,b,c分不是A

14、BC的内角A,B,C的对边，bcosA=(2c-a)cosB,c=4,a=2，A12B32C17在中，那么的面积为_8在中，角，所对的边分不为，曾经明白，那么_.9在中，三边长分不为 ,其最年夜 角的余弦值为_, 的面积为_.10在中，曾经明白，假定，那么_11在中，角，的对边分不为，假定，且，那么的取值范畴 为_12在中， ,那么的面积是_13在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，曾经明白m=(cos3A2,sin3A2)14在ABC中，角A,B,C所对的边分不为a,b,c，假定2sin2A+csinC-sinA=215ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，且acosB-

15、b16在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，8-ccosB=bcosC，c=3，a=4，立体内有一点D17在ABC中，内角A，B，C的对边分不为a,b,c，假定sinA-sinCb+c=18在ABC中，角A、B、C所对的边分不为a，b，c，a=2，B=45，假定三角形有两解，那么b的取值范畴 19在ABC中，sin2A=sin2B+sin20在ABC中，曾经明白角A,B,C的对边分不为a,b,c，且a=bcosC+csinB，21在ABC中，AC=3，BC=23，A=2B，那么sin22,。在ABC中，a，b，c分不为角A，B，C所对的边，假定a2bcos C，那么此三角形的外形是 三角形23在ABC中，cos eq f(A,2) eq r(f(1cos B,2)，那么ABC的外形是 三角形24在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c.假定(a2c2b2)tan Beq r(3)ac，那么角B的值为 25.在ABC中，内角A，B，C所对的边分不是a，b，c.假定c2(ab)26，Ceq f(,3)，那么ABC的面积是 26曾经明白ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假定a2b2c2bc，a3，那么ABC的周长的最年夜 值为 27在ABC