浙江专版2022学年高中数学第一章三角函数1.5第二课时函数y＝Asinωx＋φ的性质学案新人教A版必修4

1、（浙江专版）2021学年高中数学第一章三角函数1.5第二课时函数yAsin(x)的性质学案新人教A版必修4PAGE PAGE 30第二课时函数yAsin(x)的性质预习课本P5455，思考并完成以下问题(1)在简谐运动中，yAsin(x)的初相、振幅、周期分别为多少？ (2)函数yAsin(x)有哪些性质？ eq avs4al(新知初探)1函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义点睛当A0或0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相.如函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的初相不是eq f(,4).2.函数yAsin(x)(A0

2、，0)的有关性质名称性质定义域R值域A，A周期性Teq f(2,)对称性中心eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,)，0)(kZ)对称轴xeq f(k,)eq f(2,2)(kZ)奇偶性当k(kZ)时是奇函数当keq f(,2)(kZ)时是偶函数单调性由2keq f(,2)x2keq f(,2)，kZ，解得单调递增区间由2keq f(,2)x2keq f(3,2)，kZ，解得单调递减区间eq avs4al(小试身手)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yeq r(2)sin(x)(0)的值域为eq r(2)，eq r(2) ()(2)函数yAsin(x)，

3、xR的最大值为A.()(3)函数y3sin(2x5)的初相为5.()答案：(1)(2)(3)2函数yeq f(1,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xf(,6)的周期、振幅、初相分别是()A3，eq f(1,3)，eq f(,6)B6，eq f(1,3)，eq f(,6)C3，3，eq f(,6) D6，3，eq f(,6)答案：B3函数yAsin(x)1(A0，0)的最大值为5，则A()A5 B5C4 D4答案：C4函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象的对称轴方程是_答案：xkeq f(3,4)，kZ函数yAsin(x)

4、中参数的物理意义典例指出下列函数的振幅A、周期T、初相.(1)y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)，xR；(2)y6sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，xR.解(1)A2，Teq f(2,f(1,2)4，eq f(,6).(2)将原解析式变形，得y6sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)6sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)，则有A6，Teq f(2,2)，eq f(2,3).首先把函数解析式化为yAsin(x)(其中A0，0)的形式，再求振幅、周期、初相应注意A0，0.活学活

5、用已知简谐运动f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)x)eq blc(rc)(avs4alco1(|f(,2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6，eq f(,6)BT6，eq f(,3)CT6，eq f(,6) DT6，eq f(,3)解析：选ATeq f(2,)eq f(2,f(,3)6，图象过(0,1)点，sin eq f(1,2).eq f(,2)eq f(,2)，eq f(,6).由图象确定函数的解析式典例如图是函数yAsin(x) eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，|f(,2)的图象的一部分，求此函

6、数的解析式解法一逐一定参法由图象知A3，Teq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，eq f(2,T)2，y3sin(2x)点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)在函数图象上，03sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2).eq f(,6)2k，得eq f(,3)k(kZ)|0，0)的图象的一部分，试求该函数的解析式解：由图可得：Aeq r(3)，T2|MN|.从而eq f(2,T)2，故yeq r(3)sin(2x)，将Meq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)代入得sineq blc(rc)(avs4

7、alco1(f(2,3)0，取eq f(2,3)，得yeq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3).三角函数图象的对称性典例在函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(2,3)的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是_解析设4xeq f(2,3)k(kZ)，得xeq f(k,4)eq f(,6)(kZ)函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(2,3)图象的对称中心坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,4)f(,6)，0)(kZ)取k1得eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)

8、，0)满足条件答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，0)一题多变1变条件，变设问将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程解：由4xeq f(2,3)keq f(,2)，得xeq f(k,4)eq f(,24)，取k0时，xeq f(,24)满足题意2变条件将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？解：由4xeq f(2,3)keq f(,2)，得xeq f(1,4)keq f(,24)，取k0时，xeq f(,24).则所求对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,24)，0).三角函数对称轴、对称中心的求法对

9、称轴对称中心yAsin(x)令xkeq f(,2)(kZ)令xk(kZ)求对称中心横坐标yAcos(x)令xk(kZ)令xkeq f(,2)(kZ)求对称中心横坐标yAtan(x)无令xeq f(k,2)(kZ)求对称中心横坐标层级一学业水平达标1简谐运动y4sineq blc(rc)(avs4alco1(5xf(,3)的相位与初相是()A5xeq f(,3)，eq f(,3)B5xeq f(,3)，4C5xeq f(,3)，eq f(,3) D4，eq f(,3)解析：选C相位是5xeq f(,3)，当x0时的相位为初相即eq f(,3).2最大值为eq f(1,2)，最小正周期为eq f(

10、2,3)，初相为eq f(,6)的函数表达式是()Ayeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,6) Byeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,6)Cyeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6) Dyeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)解析：选D由最小正周期为eq f(2,3)，排除A、B；由初相为eq f(,6)，排除C.3函数yeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的图象的一条对称轴

11、是()Axeq f(,2) Bxeq f(,2)Cxeq f(,6) Dxeq f(,6)解析：选C由xeq f(,3)keq f(,2)，kZ，解得xkeq f(5,6)，kZ，令k1，得xeq f(,6).4下列函数中，图象的一部分如图所示的是()Aysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)Bysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)Cycoseq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)Dycoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)解析：选D设yAsin(x)，显然A1，又图象过点eq blc(rc)(avs4alc

12、o1(f(,6)，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，1)，所以eq blcrc (avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,6)0，,f(,12)f(,2).)解得2，eq f(,3).所以函数解析式为ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).5已知函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线xeq f(,8)对称 B关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)对称

13、C关于直线xeq f(,4)对称 D关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)，0)对称解析：选A依题意得Teq f(2,)，2，故f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,8)f(,4)sineq f(,2)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,4)f(,4)sineq f(3,4)eq f(r(2),2)，因此该函数的图象关于直线xeq f(,8)对称，不

14、关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)和点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)，0)对称，也不关于直线xeq f(,4)对称故选A.6y2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)的振幅为_，周期为_，初相_.解析：y2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)2sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(3xf(,3)2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(2,3)，A2，3，eq f(2,3)，Teq f(2,)eq f(2,3).答案：2eq f(2,3

15、)eq f(2,3)7.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则_.解析：由题意设函数周期为T，则eq f(T,4)eq f(2,3)eq f(,3)eq f(,3)，Teq f(4,3).eq f(2,T)eq f(3,2).答案：eq f(3,2)8函数f(x)Asineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)(A0，0)在一个周期内，当xeq f(,12)时，函数f(x)取得最大值2，当xeq f(7,12)时，函数f(x)取得最小值2，则函数解析式为_解析：由题意可知A2.eq f(T,2)eq f(7,12)eq f(,12)eq f(,2)，T，eq f(2

16、,)，即2.f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3).答案：f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)9求函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)图象的对称轴、对称中心解：令2xeq f(,3)keq f(,2)(kZ)，得xeq f(k,2)eq f(,12)(kZ)令2xeq f(,3)k，得xeq f(k,2)eq f(,6)(kZ)即对称轴为直线xeq f(k,2)eq f(,12)(kZ)，对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,6)，0)(kZ)10如图为函数f(

17、x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，|f(,2)的一个周期内的图象(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相解：(1)由图，知A2，T7(1)8，eq f(2,T)eq f(2,8)eq f(,4)，f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x).将点(1,0)代入，得02sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).|eq f(,2)，eq f(,4)，f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(,4).(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为eq f

18、(2,f(,4)8，频率为eq f(1,8)，振幅为2，初相为eq f(,4).层级二应试能力达标1设f(x)Asin(x)B(A0，0)的定义域为R，周期为eq f(2,3)，初相为eq f(,6)，值域为1,3，则函数f(x)的解析式为()Ay2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)1By2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)1Cy2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)1Dy2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)1解析：选AAB1，AB3，A2，B1，Teq f(2,)eq f(2,3)，

19、3，又eq f(,6)，故f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,6)1.2函数f(x)cos(x)(0，0,2)的部分图象如图，则f(2 017)()A1B1Ceq f(1,2) Deq f(1,2)解析：选B由题图可知，eq f(T,4)2，所以T8，所以eq f(,4).由点(1,1)在函数图象上可得f(1)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，所以eq f(,4)2k(kZ)，所以2keq f(,4)(kZ)，又0,2)，所以eq f(7,4).故f(x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(7,4)，f(2

20、 017)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(2 017,4)f(7,4)cos 506cos(2532)1.3已知函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，xR，若f(x)1，则x的取值范围为()Aeq blcrc(avs4alco1(xkf(,3)xk，kZ)Beq blcrc(avs4alco1(x2kf(,3)x2k，kZ)Ceq blcrc(avs4alco1(xkf(,6)xkf(5,6)，kZ)Deq blcrc(avs4alco1(x2kf(,6)x2kf(5,6)，kZ)解析：选Bf(x)1，即2sineq blc(rc)(a

21、vs4alco1(xf(,6)1，sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)eq f(1,2)，eq f(,6)2kxeq f(,6)eq f(5,6)2k，kZ.解得eq f(,3)2kx2k，kZ.4设函数f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，|f(,2)的图象关于直线xeq f(2,3)对称，它的周期是，则()Af(x)的图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)Bf(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(5,12)，f(2,3)上是减函数Cf(x)的一个对称中心是eq blc(rc)(avs4alc

22、o1(f(5,12)，0)Df(x)的最大值是A解析：选C周期T，eq f(2,)，2.又f(x)的图象关于直线xeq f(2,3)对称，2eq f(2,3)eq f(,2)k，kZ，又|eq f(,2)，eq f(,6).f(x)Asineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).f(x)图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(A,2).又当xeq f(5,12)时，2xeq f(,6)，即f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)0，eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)，0)是f(x)的一个对称中心5在函数y2sineq

23、 blc(rc)(avs4alco1(4xf(2,3)的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是_解析：当y0时，sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(2,3)0，4xeq f(2,3)k，kZ，xeq f(k,4)eq f(,6)，kZ，取k0，则xeq f(,6)，取k1，则xeq f(,12)，离原点最近的交点坐标eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，0).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，0)6若函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为xeq f(

24、,6)，则实数的值为_解析：令xeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，得函数图象的对称轴方程为xeq f(k,)eq f(,4)，kZ.根据题意得k0，所以eq f(,4)eq f(,6)，解得eq f(3,2).答案：eq f(3,2)7已知函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)1(0，0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq f(,2).(1)求f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq f(,6)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间解：(1)f(x)为偶函数，eq f(,6)keq f(,2)(kZ)，keq f(2,3)(kZ)又0，eq f(2,3)，f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)12cos x1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为eq f(,2)，Teq f(2,)2eq f(,2)，2，f(x)2cos 2x1，f eq blc(rc)(avs4a