高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计

1、人教版数学必修3.2 函数模型及其应用【课时安排】 第 4 课时【教学对象】 高一学生【教材分析】 数学建模是高中数学新课程的新增内容， 但标准 中没有对数学建模的课时 和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而 3.2 函数模型及其 应用 一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解 决实际问题中的作用， 为以后的数学建摸实践打基础， 还未能使学生真正理解数学建模的真 实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。【学情分析】 高一学生在进入本节课的学习之前， 需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函 数的相关性质。【教学

2、目标】知识与技能（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；（2）掌握框图 2数学建模的过程。过程与方法（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。【教学重点】 框图 2数学建模的过程。【教学难点、关键】 方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。【教学方法】 引导探究、讨论交流。教学手段】 计算机、 PPT、几何画板。教学过程设计】、教学流程设计、教学过程设计教学环节教学内容 教师活动学生活动设计意图（一）实 际问题化 为理想化 问题：预 计时

3、间 2 分钟现有宽为的长方形板材，请将 它设计制成一直的开口的长 条形水槽，使水槽能通过的流 水量最大。教师引导 学生阅读 理解问题，并将 其理想化学生听讲 思考与大学数 学建模相 比，过去 的中学数 学建模缺 少理想化 这一重要 的环节。 本环节意 在恢复数 学建模的 真实面目1、初步理想化 在单位时间内，该水槽能 通过的流水量取决于水流速 度和它的横截面积。我们将问 题理想化，假定水流速度是一 定的。那么，要在单位时间内 获得最大的流水量，就应该将 水槽设计成横截面积最大。于 是，问题化归为： 现有宽为的长方形板材， 请将它设计制成一开口的长 条形水槽，使水槽的横截面积 最大。2、进一步理

4、想化 如果将水槽的横截面设 计成矩形，那么这一实际问题 可以转化为理想化问题： 如下图所示，要建造一个 横截面为矩形 ABCD的 水槽 , 并且 AB ,BC ,CD 的长度之和 等于. 问应当怎样设计水槽的 深度和宽度 , 使水槽的横截面、教学过程设计教学节环 教学内容教活师动活学动生设意计图(二) 将理想 化问题 转化为 数学问 题：预 计时间 3 分钟1、寻找变量以及变量之间的关系 在此问题中，水槽的深度是一个变 量，宽度是另一个变量，横截面积也是一个 变量。设 AB=x，BC=y.矩形 ABCD的面积为 S. 那么，这三个变量之间的关系是 S=xy.变量 S由两个变量 x 和 y 确定

5、. 如果我们 能使面积表达式只由一个变量确定，那么我 们研究的问题就可以简化，这就需要寻找两 个变量 x 和 y 之间的关系。显然 ,2x+y=2a 2、建立数学模型 S=x(a-2x) 将实际问题转化为一个纯数学问题 当 X取何值时，函数 S=x(a-2x )(0 x a/2) 有最大值？教师 引导 讲解学生 听讲 思考展示 将理 想化 问题 转化 为数 学问 题的 数学 化过 程。(三) 求解数 学模型 解释数 学结 果：预 计时间 2 分钟2 2 2因为 S=x(a-2x)=a /8-2(x-a/4) a /8 ，所 以，当 x=a/4 时， S有最大值 0.125a2. 此时， y=a

6、-2x=a/2 .当水槽的横截面设计成矩形时， 只要将深度、 宽度分别设计为 a/4 和 a/2 时，可得到最大 的横截面积，从而可获得最大的流水量。教师 引导 分析 讲解学生 听讲 思考 求解 模型展示 解释 模过 程(四)可将上述数学建模的过程概括为下面的框图教师学生结合1：数学建模过 程：预 计时间2 分钟引导分析讲解听讲思考这一 实际 问题 的解 决过 程，概 括出 数学 建模 的基 本过 程，以 实现 由具 体到 抽象 的升 华。、教学过程设计教学节环教学内容 教活师动学活生动设意计图（五） 最优解 的探 究：预 计时间 7 分钟我们前面的设计是将横截面设计成矩形， 将 深度、宽度分

7、别设计为 a/4 和 a/2 时，可得到 最大的横截面积。如果将水槽的横截面分别按照下图中的 五种方案进行设计，结果又如何呢？教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工学生 动手 探究 各自 的设 计方 案1、让 学生 经历 数学 建模 中的 优化 过程；2、培 养学 生的 探究 意识。具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。 最后派代表报告本小组的 探究结果。方案一： S=1/2x(a-x)sin 1/2x(a-x)=a 2/8-1/2(

8、x-1/2a) 2 22a2/8=0.125a 2。当=90且 x=1/2a 时， Smax=0.125a2、教学过程设计(五)方案二： S=1/2(2/3a+2 a/3 sin )a/3cos教学1、让最优解2)=a 2/9(1+sin )cos 师将生学生的探当=30时， Smax 0.144a 2学生动经历究：预方案三： (四个底角为 67.5 的等腰三角形 )分成手数学计时间7 分钟2S=41/2 a/4 a/8tan67.5 0.151a 2 方案四： （ 五个底角为 72的等腰三角形 ） S=51/2 a/5 a/10tan72 0.154a 2 方案五： r=a, S=1/2r

9、2=a2/2 0.159a 2 通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的 情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，即： 将水槽的横截面设计为半径为的半圆形时，从而 可获得最大的流水量。五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。探 究 各 自 的 设 计 方 案建模 中的 优化 过程；2、培 养学 生的 探究 意识。（六） 什么是 数学建 模：预 计时间 6 分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该 问题的最优解。这就表明，数学建模需要对所得到的 结果进行检验评价

10、，以确认结果是否合理，是否是较 好的结果。如果结果不满意，就需要重新回到 理想化 问题这一环节。于是， 我们就可以概括出一个较为完 善的数学建模过程的框图。框图 2：教师 讲解 概括学 生 听 讲 思 考1、使 学生 获得 科学 的数 学建 模理 论： 数学 建模 与数 学模型的 概 念、 数学 建模 的具 体过 程； 2、体 会数 学以 不变 应万 变的 魅 力； 3、弥 补标 准 中数 学的 建模 理论 的不 足。、教学过程设计根据这个框图，我们就可以来回答什么是 数学建模？数学建模 (Mathematical Modelling) ：就是运用数学化的手段从实际问 题中提炼、抽象出一个数学

11、模型，求出模型的 解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题 得以解决的过程。数学模型就是用数学语言符 号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学 结构表达式。例如，各种函数、方程、不等式、 不等式组等等都是比较常见的数学模型。、教学过程设计教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图1、作为结果，她表示的是一个确定的数值，可以参与运算； 2、作为过程，她表示的是一个变量： 可大可小；可正可负； 可 以是有理数也可以使无理数。 由于数学模型具有高度的抽象性、 概括性和 结构的确定性，所以数学模型能以不变应万 变。不管是中文还是英文， 一个字所能表达 的意义十分有限，但我们的数学模型 却可 以表示无穷无

12、尽的对象流动的世界。又比如说勾股定理，这一模型可以用来 处理数以亿计的实际问题。 从小到斜边长为 一微米的直角三角形到大至斜边长为十万 八千里的直角三角形，只要是直角三角形， 它们居然都满足同样的结构模型：斜边的平方等于两条直角边的平方之 和。我不知道，这个世界上还有什么学科象 数学这样如此简洁，如此概括，如此统一。我只知道： 数学的魅力在于，她能以 稳定的模式驾驭流动的世界！ （七） 牛刀小 试预计 时间14 分 钟如下图，某房地产公司拥有一块 缺角 矩形荒地 ABCD，E 边长和方向如图所示， 欲在这块地上建一座地基为长方形东西走 向的公寓，请划出这块地基， 并求地基的最 大面积。教师 解

13、释 说明 问题， 最后 演示 数学 实验。学生动 手解决 问题1、根据 练习律 和强化 原理， 强化刚 刚获得 的数学 建模理 论；2、培养 学生的 问题解 决能 力。、教学过程设计教学节环教学内容教师动活学生动活设计图意（小八结）与1、小结这节课，我们通过解决一个实际问题，教师讲解点学生内化数学1、小结 意在强课后思带大家走进了数学建模世界。数学建模化，教建模理化数学考：预就是；数学模型就是；数学建师呈现论学建模理计时间模的具体过程。我们还感受到了 问题生思考论，形2 分钟数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾问题 1:准备解成知识驭流动的世界！ 是让学决问题组块；2、课后思考生探究问题 2:2

14、、设计（1）将各方案中的图形沿虚线向上翻发现周让学生四个课折，并观察思考： 周长为 2 的凸多边形，长一定通过动后思考什么时候面积最大？的凸多手实践问题，（2）家庭物理小实验： 先将一条长度固边形发现周目的是定的柔软丝线的两头连接起来，再将此中，正长一定培养学封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的多边形的图形生的数正方形（边长约 5cm）铁丝框上的肥皂的面积中，圆学探究膜上（注意，别弄破肥皂膜！），最后最大。的面积能力、用小钉将曲线内的肥皂膜刺破。你观察最大。动手实到什么现象，说明了什么问题？践能力（3）请你帮助吉东皇后解决问题： 吉东和数学是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非创新意洲，且成为迦太基的创始人和第一位神识。奇的皇后。刚到非洲时，吉东要在靠海问题 3：岸线的地方购买 一张兽皮 的土地：她是等周把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问问题在题是：怎么围，才会得到最多的土地呢？解决实际问题中的应用。问题 4：是将平（4）用数学家的眼光看世界： 音乐家关面内的 等周问注声