年高考数学一轮复习 6.5 数列的应用精品课件 理 新人教A

1、6.5 数列的应用 2021/8/8 星期日1 一、等差、等比数列的性质 1.若an,bn皆为等差数列，则kan+b,an+bn分别是 和 数列. 2.若an为等差数列，m,n,p,qN*，且m+n=p+q，则ap+aq am+an;若2m=p+q,则2am ap+aq.等差 等差 = = 考点分析2021/8/8 星期日2 3.若an为等差数列，公差为d，则am,am+n,am+2n,am+3n,为 数列，公差为 . 4.若an为等差数列，Sn,S2n,S3n为其前n项，2n项，3n项的和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为 数列. 5.若an, bn为等比数列，则 ， an ,bn ,

2、 kan (k0)都为 数列. 6.若an为等比数列，m,n,p,qN*，且m+n=p+q，则aman apaq,若2m=p+q，则 apaq. 7.若an为等比数列（公比q-1），Sn为其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为 数列. 等差 nd 等差 等比 = = 等比 2021/8/8 星期日3 二、数列综合应用题的解题步骤 1.审题弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题. 2.分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等. 3.求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个

3、问题的解答. 8.若an为等比数列，则am,am+t,am+2t,am+3t,为 数列.等比 2021/8/8 星期日4 具体解题步骤如下框图:2021/8/8 星期日5 三、数列应用题常见模型 1.银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr). 2.银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=a(1+r)x. 3.产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x. 4.分期付款模型 a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则2021/8/8 星期日6已知a

4、n为等比数列，a3=2,a2+a4= .求an的通项公式.【分析】根据等比数列的定义及通项公式求解.考点一 等差、等比数列性质的应用 题型分析2021/8/8 星期日7【解析】解法一：设等比数列an的公比为q,则q0,a2= ,a4=a3q=2q, +2q= ,解得q= 或3.当q= 时，a1=18,an=18（ ）n-1= =233-n.当q=3时，a1= ,an= 3n-1=23n-3.2021/8/8 星期日8解法二：由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4= ,则a2,a4为方程x2- x+4=0的两根, a2= a2=6 a4=6或 a4= .当a2= 时,q=3,an=a3qn-3

5、=23n-3.当a2=6时,q= ,a2=233-n.an=23n-3或an=233-n.解得2021/8/8 星期日9 【评析】等比数列性质an=amqn-m,aman=apaq(p+q=m+n,m,n,p,qN*)是常用公式,注意应用.2021/8/8 星期日10对应演练（11届惠州第一次调研考）若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn,Tn,已知 求 的值.2021/8/8 星期日11解法一:解法二: 可令Sn=7nkn=7kn2,Tn=kn(n+3),a5=S5-S4=7k52-7k42=63k,b5=T5-T4=k5(5+3)-k4(4+3)=12k,2021/8/8 星期日12

6、解法三: 即a1= b1, 又即10a1+5d1=28b1+14d2 , 即2a1+2d1=7b1+7d2, 由解得b1= a1,d1=2a1,d2= a1,又2021/8/8 星期日13设数列an，bn满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列an+1-an（nN*）是等差数列，bn-2是等比数列，求an和bn的通项公式. 【分析】由题意，先求出an+1-an，用累加法求an的通项公式，同理求bn.考点二 等差数列、等比数列的综合应用 2021/8/8 星期日14【解析】由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1，d=-1-（-2）=1，an+1-an=(a2-a1)+(n-1

7、)d=-2+(n-1)1=n-3,an-an-1=n-4(n2),an-1-an-2=(n-1)-4,a3-a2=3-4,a2-a1=2-4.以上各式左右分别相加得an-a1=2+3+(n-1)+n-4(n-1)= -1-4n+4.2021/8/8 星期日15an= (n2-7n+18)(n2).当n=1时，也适合上式.an= （n2-7n+18）.又b1-2=4，b2-2=2，q= .bn-2=4( ) n-1.bn=2+ (nN*).2021/8/8 星期日16 【评析】首先利用迭加法求出等差数列的通项公式，再求等比数列的通项公式. 由于题目已告诉 bn-2 是等比数列，故可由b1-2=4

8、与b2-2=2求得公比q= ，否则不成立.2021/8/8 星期日17对应演练一个等差数列an（公差d不为零)中的部分项构成公比为q的等比数列 ,已知k1=2,k2=4,k3=12.(1)求数列kn的通项公式;(2)求数列kn的前n项和Sn.2021/8/8 星期日18(1) 解法一: 是数列an的第kn项,又是 的第n项, =a1+(kn-1)d= qn-1=a2qn-1.kn+1-kn是以k2-k1为首项,公比为4的等比数列,kn+1-kn=(k2-k1)4n-1=24n-1.递推可得kn-kn-1=24n-2,k2-k1=240,上述n-1个等式累加可得kn= 4n-1+ .2021/8

9、/8 星期日19解法二:由a2,a4,a12成等比数列,得 =a2a12,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+11d).6a1d+2d2=0.d=0或d=-3a1.由d=-3a1知 =q=4.下同解法一.(2)由kn= 4n-1+ ,可得Sn= .2021/8/8 星期日20已知f（x）=logax(a0，且a1),设f（a1），f（a2），f（an）（nN*）是首项为4，公差为2的等差数列.（1）若a为常数，求证：an成等比数列；（2）设bn =an f（an） ，若bn的前n项和是Sn ，当 a= ，求Sn. 【分析】利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.考点三

10、 数列与函数的综合问题 2021/8/8 星期日21【解析】（1）f（an）=4+（n-1）2=2n+2,即logaan=2n+2,可得an=a2n+2. 为定值. an为等比数列.2021/8/8 星期日22（2）bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a= 时，bn=（2n+2）（ ）2n+2=（n+1）2n+2.Sn=223+324+425+（n+1）2n+2， 2Sn=224+325+426+n2n+2+（n+1）2n+3. -得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+ =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n

11、+3.Sn=n2n+3.2021/8/8 星期日23 【评析】数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识常常相互结合出题，解这类题目，常用的方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.2021/8/8 星期日24对应演练已知二次函数f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中nN*.（1）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an， 求证数列an为等差数列.（2）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列 dn，求数列dn前n项的和Sn.（3）对于（1）中的数列an ， 求数列cn中的最大项与最小项.2021/8/8 星期日25证明:二次函数 f(x)=x2-2

12、(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)图象的顶点的横坐标为10-3n, an=10-3n(nN*). an+1-an=10-3(n+1)-(10-3n)=-3, 数列an是等差数列.2021/8/8 星期日26 (2)二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)的图象的顶点到y轴的距离为|10-3n|, dn=|10-3n|(nN*),数列dn的前3项为一个首项为7，公差为-3的等差数列,第4项开始为一个首项为2，公差为3的等差数列,数列dn前n项的和 7n+ (-3)，n3, 12+2(n-3)+ ,n4 , ，n3, ,n4. Sn= 即Sn=

13、2021/8/8 星期日27(3)cn= ，数列cn的图象是以（ ，1）为中心，以x= 、y=1为渐近线的双曲线上的一些点.显然，n=2时cn的值最小，其值c2=-1；n=3时cn的值最大，其值c3=3.2021/8/8 星期日28若,是方程x2- x+m2=0(m0)的两实根，而且,-,成等比数列.（1）求m的值；（2）数列an的通项公式为an= ，且Sn是它的前n项和，求证：log2mSn0)的两实根， =（- ）2-4m20. - m ，且+= ,=m2. 又,-,成等比数列， （-）2=. (+)2-5=0. 5m2=10,m= .2021/8/8 星期日30（2）证明：Sn=a1+a

14、2+an= m= ,log2m=log2 = , logm2= =1.要证log2mSn logm2,只要证 Sn1即可.nN*,0 .- - 0. 1- 1.故 Sn1，得证.2021/8/8 星期日31 【评析】在第一问中不能忽视0这个条件；在第二问中求出Sn=1- 后，要根据单调性确定出Sn的变化范围，从而加以比较.这是一道数列与方程相结合的综合性题目.2021/8/8 星期日32已知数列an是公比大于1的等比数列，且 =a15，Sn=a1+a2+an，求满足SnTn的最小正整数n.对应演练2021/8/8 星期日33设an的公比为q，依题意得（a1q9）2=a1q14，a1q4=1，即

15、a1= ，q1,0a11,an0,又Sn= ，而Tn= Sn，SnTn0, ，qn-1 =q8.又q1,n-18,n9.满足SnTn的最小正整数n=10.2021/8/8 星期日34考点五 数列与解析几何的综合问题 已知点M(1,2),An(2,an),Bn( )为直角坐标平面上的点(nN*).(1)若点M,An,Bn在同一直线上,求数列an的通项公式;(2)设dn= ,Dn为dn的前n项和,求证: Dn .【分析】 (1)由 ,求an. (2)用裂项相消法求出Dn.2021/8/8 星期日35【解析】 (1)M,An,Bn三点共线, ,an=2n-1.(2)证明:dk= k=1,2,3,n,

16、 Dk= 显然,Dn是一递增数列, Dn .2021/8/8 星期日36 【评析】利用解析几何有关的性质、公式建立数列的递推关系或通项和的关系，然后利用数列的知识解决问题.2021/8/8 星期日37对应演练已知曲线C：y=x2（x0）,过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2,再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3,依次作下去,记点An的横坐标为an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,求证:anSn12021/8/8 星期日38（1）曲线C在点An（a

17、n， ）处的切线ln的斜率是2an，切线ln的方程是y- =2an（x-an），由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1，令y=0，得an+1= an，数列an是首项为1，公比为 的等比数列，an= .（2） Sn= ,anSn=4 ( ),令t= ，则0t ,anSn=4t（1-t）=-4(t- )2+1,当t= ,即n=1时,-4(t- )2+1有最大值1,即anSn1.2021/8/8 星期日39考点六 数列模型的应用问题 假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中

18、,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%（参考数据：1.0841.36，1.0851.47，1.0861.59）？2021/8/8 星期日40【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250，d=50，则an=250+（n-1）50=50n+200，Sn=250n+ 50=25n2+225n,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.到

19、2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.【分析】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+ 50=25n2+225n4 750.(2)a10.85bn,bn=4001.08n-1.2021/8/8 星期日41（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08,则bn=400（1.08）n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400（1.08）n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占

20、该年建造住房面积的比例首次大于85%.2021/8/8 星期日42 【评析】 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化 为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.2021/8/8 星期日43对应演练某地区原有木材存量为a，且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.（1）求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于 a,如果b= a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2=0.30)?2021/8/8 星期日44（1）解法一：设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,则a1=a（1+ ）-b= a-b,a2= a1-b= -（ +1）b,a3= a2-b=（ ）3a-（ ）2+ +1 b ,an=( )na- ( )n-1+( )n-2+1 b=( )na-4 ( )n-1 b(nN*).2021/8/8 星期日45解法二：设第n年木材存量为an，则第n-1年存量为 an-1