立体几何与空间向量5课件

1、立体几何与空间向量5课件立体几何与空间向量5课件课前自主学案 课前自主学案 知识梳理 1空间向量及其加法、数乘运算(1)空间中具有大小和方向的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量空间向量的加减与数乘运算和平面向量类同(2)共线向量若表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量共线向量定理：若b0，则ab 存在实数，使ab.推论：若l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，则对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式ta(*)，其中a叫做直线l的方向向量，(*)式叫做空间直线的向量参数式知识梳理 1空间向量及其加法、数乘运算(3)共面向

2、量：平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量基本定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在实数x，y，使pxayb.(对应学生用书P162)推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 ，或对空间任意一点O，有 ，这被称为平面MAB的向量表示式(4)空间向量基本定理及其推论定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间中任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对于空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 .(5)两个向量的数量积(3)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量(

3、4)空间定义：ab|a|b|cosa，b其中，a，b为向量a，b的夹角，通常0a，b . 性质：若a，b 是两个非零向量，则：ae |a|cosa，e(其中e为单位向量)abab0.a2aa运算律：(a)bab.abba.a(bc)abbc.2向量的坐标运算设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab(x1x2，y1y2，z1z2)；ab (x1x2，y1y2，z1z2)；abx1x2y1y2z1z2 ；abx1x2，y1y2，z1z2 (R)；abx1x2y1y2z1z20.定义：ab|a|b|cosa，b其中，a，b夹角和距离公式：夹角空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，

4、y2， z2)的距离公式为dAB .若表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称向量a垂直于平面，记作a.若a，则称a为平面的法向量基础自测 1已知a(2,4,5), b(3，x，y)，若ab，则()Ax6, y15Bx3, y Cx3, y15 Dx6，y 答案：D夹角和距离公式：夹角z2)的距离公式为dAB .若表示向2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 (x，y，zR)，则xyz1是四点P，A，B，C共面的() A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案：C3设向量a(3, 5, 4), b(2, 1, 8)，若1a2 b(1，2R)与z轴

5、垂直，|1a2 b | ，则1_，2_.答案：214在空间四边形ABCD中， a2c， 5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则_.答案：3a3b5c2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 课堂互动探究 课堂互动探究 空间向量的线性运算 如下图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQQA141，设 a， b， c，用基底a，b，c 表示以下向量：解析：如题图所示，连接AC、AD1.空间向量的线性运算 如下图所示，在平行六面体ABCDA1B变式探究 1如右图所示，平行六面体ABCDA1B1

6、C1D1，M分 变式探究 1如右图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D所成的比为 ，N分 所成的比为2，设 a， b， c，试用a，b，c表示向量 .解析：连结AN，则 ，由已知， N分 所成的比为2， 故 于是 所成的比为 ，N分 所成的比为2，设 空间向量基本定理的应用已知非零向量e1，e2不共线，如果 e1e2， 2e18e2， 3e13e2，求证A、B、C、D共面证明：令(e1e2)(2e18e2)(3e13e2)0则(23)e1(83)e20.e1，e2不共线， 易知 是其中一组解， 空间向量基本定理的应用已知非零向量e1，e2不共线，如果 则A、B、C、D共面变式探究 2已知A、

7、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 (1)判断 三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内(2)由(1)知 共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内则变式探究 2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任空间向量的坐标运算 已知O为原点，向量解析：设 ， 解此方程组，得 .空间向量的坐标运算 已知O为原点，向量解析：设 变式探究 3. 已知点A、B的坐标分别为(2,3,5)、(1，1，7)，则向量 的相反向量的坐标是()A(3,4,12) B(3，4，12)C(1,2 ，2) D(1，2,2)解析：向量 的相反向量为 (2,3,5)(1

8、，1，7)(3,4,12) 答案：A空间向量性质的应用已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a ，b ， 变式探究 3. 已知点A、B的坐标分别为(2,3,5)、(1)若|c|3，且c ，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值； (4)若(ab)( ab)与z轴垂直，求，的应满足的关系分析：本题考查空间向量坐标运算法则的应用，根据a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab(x1x2，y1y2，z1z2)，abx1x2y1y2z1z2，|a| = 等来求解该题，这是需要熟练掌握的知识点，因为这是利

9、用向量解决立体向量的基础解析：(1)c ，cm m(2，1,2)(2m，m,2m)，所以|c| 3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2)(1)若|c|3，且c ，求向量c；(4)若(2) a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，即向量a与向量b的夹角的余弦值为 .(3)法一：kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280， k2或k ，即kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或 .(2) a(1,1,0)，b(1,0,2)，即向量a 法二：由(2)知|a| ，|

10、b| ，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k .(4)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)，(ab)(ab)与z轴垂直(ab)(ab)(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直点评：证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的 法二：由(2)知|a| ，|b| 变式探究 4(2009年上海联考)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长AB2，AB1BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如右图所示的空间直角坐标系(1)求正三棱柱的侧棱长(2)若M为BC1

11、的中点，试用基向量 表示向量 ；(3)求异面直线AM与BC所成角解析：(1)设侧棱长为b，则A(0，1,0), B1( ,0，b)，B( ，0,0), C1(0,1，b)变式探究 4(2009年上海联考)已知正三棱柱ABCA1 (3)设异面直线AM与BC所成角为， , ， (3)设异面直线AM与BC所成角为，温馨提示 温馨提示 1空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时， 如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将收到事半而功倍的效果比如： (1)定义式：ab cosab，或cosab ，用于求两个向量的数量积或夹角；(2

12、)abab0，用于证明两个向量的垂直关系；(3) aa，用于求距离等等2若表示向量a1，a2，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1a2a3an0.3应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算1空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质4特别注意：(1)向量的乘法公式成立： a2b2 ； a22abb2 .但是(1)向量的数量积不满足结合律即 ；(2)消去律不成立即由abac不能得到bc；(3)由ab0不能得到a0或b0等等 5要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、

13、夹角公式通过解题利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证ab(b0)ab；(2)证明线线垂直，转化为证abab 0，若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， 4特别注意：(1)向量的乘法公式成立： 则转化为计算x1x2y1y2z1z20；(3)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cos 即可；(4)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为aa|a|2，或利用空间两点间的距离公式则转化为计算x1x2y1y2z1z20；(3)在计算异 题型展示台 题型展示台

14、 已知 (10，5,10)， (11，2,10)， (2，14，5)，证明：由OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱，并求出该正方体的其它几个顶点的坐标(O为坐标原点)解析： (10，5,10)(11，2,10)110101000； (11，2,10)(2，14，5) 2228500；(2，14，5)(10，5,10)2070500.OA，OB，OC两两垂直已知 (10，5,10)， (11，2OAOBOC，从而OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱已知O(0,0,0)，A(10，5,10)，B(11，2,10)，C(2，14，5)，其它几个顶点分别设为D，E，F，G.则OAOBOC，从而OA，OB，OC可以组成一个正方体的正方体的其它几个顶点的坐标分别为D(1，7,20)，E(13，16,5)，F(8，19,5)，G(3，21,15)(对应学生用书P164)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以向量 ，为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量 垂直，且|a| ，求向量a的坐标解析：(1) (2，1,3)， (1，3,2)，正方体的其它几个顶点的坐标分别为D(1