高三数学专题复习《函数》

1、第 页共6页高三数学专题复习函数一、基础知识定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f ，若对 A中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f : AB 为一个映射。定义 2 单射，若 f: AB是一个映射且对任意 x, yA, x y, 都有 f (x) f ( y)则称之为 单射。定义 3 满射，若 f: A B是映射且对任意 yB，都有一个 xA使得 f( x)= y，则称 f: A B是 A到 B上的满射。定义 4 一一映射，若 f: A B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B到 A由相反的对应法则 f -1构成的映射

2、，记作 f-1: AB。定义 5 函数，映射 f: AB中，若 A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若 xA, yB，且 f ( x)= y(即 x 对应 B中的 y)，则 y 叫做 x的象， x叫 y 的原象。 集合f (x)| xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围，如函数y=3 x -1 的定义域为 x|x0, xR.定义 6 反函数，若函数 f: AB(通常记作 y=f( x) )是一一映射，则它的逆映射 f-1: A-1B叫原函数的反函数， 通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是： 在解析式 y=f

3、 (x)中反 解 x 得 x=f -1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1( x) ，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。11例如：函数 y=的反函数是 y=1- ( x 0).1 x x定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称。定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函数。定义 7 函数的性质。单调性：设函数 f (x) 在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f( x1) f ( x2) ，则称 f ( x)在区间 I 上是增(减)函数，区间 I 称为单调增(减)区间。奇偶性：设函数 y=f ( x)的定义域为 D

4、，且 D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(- x)=- f(x)，则称 f ( x)是奇函数；若对任意的 x D，都有 f(- x)=f (x)，则称 f ( x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。周期性：对于函数 f( x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个 数时， f ( x+T)= f ( x)总成立，则称 f ( x)为周期函数， T称为这个函数的周期，如果周期中存 在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x) 的最小正周期。定义 8 如果实数 ab，则数集 x| axb, xR叫做开区间，记作( a, b)

5、，集合 x|ax b, xR记作闭区间 a, b ，集合 x| axb记作半开半闭区间 (a, b ，集合 x| axa记作开区间( a, +)，集合 x| x a记作半开半闭区间 (- , a.定义 9 函数的图象，点集 ( x,y)| y=f ( x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D为 f(x) 的定义域。通过画图不难得出函数y=f ( x)的图象与其他函数图象之间的关系( a, b0) ；(1)向右平移 a个单位得到 y=f ( x- a)的图象；(2)向左平移 a个单位得到 y=f ( x+a)的图象；(3) 向下平移 b个单位得到 y=f (x)- b 的图象；( 4)

6、与函数 y=f(- x) 的图象关于 y轴对称；( 5) 与函数 y=-f(- x)的图象关于原点成中心对称； ( 6)与函数 y=f -1 (x)的图象关于直线 y=x对称； (7)与函数 y=- f ( x)的图象关于 x 轴对称。1定理 3 复合函数 y=f g( x) 的单调性，记住四个字： “同增异减” 。例如 y=, u=2- x2x11在( -,2 )上是减函数， y= 在( 0， +)上是减函数，所以 y=在( -,2 )上是u 2 x增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。、方法与例题1数形结合法。1例 1 求方程 | x-1|= 的正根的个数 .x1【解】 分别画出 y=| x-1| 和 y= 的图象，由图象可知两者有x唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 求函数 f (x)= x4 3x2 6x 13 x4 x2 1 的最大值。解】 f(x)= (x2 2)2 (x 3)2(x2 1)2 (x 0)2 ，记点 P(x, x-2)，A(3，2)，B(0，1)，则 f ( x)表示动点 P到点 A和 B距离的差。因为| PA|-| PA| AB|= 32 (2 1)210 ,当且仅当 P为 AB延长线与抛物线 y=x2的交点时等号成立。所以 f(x)max= 10.2. 函数性质的应用。2例3 设 x, y R，且满足