2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六十四中学高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六十四中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为“为偶数”，事件为“中有偶数，且”，则概率（ ）A B C. D参考答案：A2. 过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A BC2D参考答案：A略3. 已知函数有两个零点，则有 （ ）ABCD参

2、考答案：D4. 如图1，设P为ABC内一点，且，则ABP的面积与ABC的面积之比为 ( ) A. B. C. D.参考答案：A5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线【分析】根据已知中2014年1月至2016年12

3、月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A6. 已知sin cos = ,且，则sin -cos 等于 （ ）A.B. C. D.参考答案：D7. 已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据函数零点定义

4、可知有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在和的解析式，可求得与两段函数相切时的斜率，即可求得的取值范围.【详解】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.8. 在AB

5、C中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，若ABC的面积为，则c=（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.【详解】由题意得，.又，解得，故选:B.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题.9. 集合P=3，4，5，Q=6，7，定义，则的子集个数为( ) A7 B12 C32 D64参考答案：D10. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ) A B. C D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运

6、算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，xn)表示设(a1，a2，a3，a4，an)，(b1，b2，b3，b4，bn)，规定向量与夹角的余弦为cos.已知n维向量，当(1,1,1,1，1)，(1，1,1,1,1，1)时，cos等于_参考答案：由题意易知：，所以cos。12. 已知是互不相同的正数，且，则的取值范围是 ；参考答案：考点：函数图象分段函数，抽象函数与复合函数试题解析：因为由图可知，所以，的取值范围是13. 正三角形ABC的内切圆为圆O，则ABC内的一点落在圆O外部的概率为 .参考答案：略14. 函数y=的定义域为参考答案：（2，1【考点】函数的定义域及其

7、求法【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：0，即0，解得：2x1，故答案为：（2，115. 函数的定义域是_ _ . 参考答案：16. 设 ，则 的最小值是_.参考答案：17. 在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，所以。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数f（x）=|x4|+|x1|（1）解不等式：f（x）5；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围参考答案：【考点】绝对值不等式的解法【分析

8、】（1）由于|x4|+|x1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x4|+|x1|5的解集（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m0恒成立，|x4|+|x1|=2m在R上无解，利用|x4|+|x1|3，即可求实数m的取值范围【解答】解：（1）由于|x4|+|x1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x4|+|x1|5的解集为x|0 x5（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m0恒成立，|x4|+|x1|=2m在R上无解，|

9、x4|+|x1|3，2m3，m19. (本小题满分12分)设x1、x2是函数的两个极值点，且|x1|+| x2|=2.（）求证:; （）求证:.参考答案：(1)f/(x)=ax2+bx-a2 又x1、x2是函数的两个极值点x1、x2是方程ax2+bx-a2=0的两个根,于是2分a0, x1x2=-a0, g(a)在上是增函数 9分当时, g/(a)0, g(a)在上是减函数 11分 12分20. 在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的（1）求曲线与坐标轴的交点坐标，以及曲线的方程；（2）过定点的直线交曲线于、两点

10、，已知曲线上存在不同的两点、关于直线对称问：弦长是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由参考答案：解：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有，化简，得抛物线的方程为：令，得或，令，得或，所以，曲线与坐标轴的交点坐标为和， （3分）由题意可知，曲线为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点， 点到的距离为 （2分）所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为： （3分）（2）设，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为， （1分）则得，所以 （2分），设弦的中点为，则 因为在直线上，所以，即 将代入，得， （4分）设，则 （1分）构造函数，由已知，当，即时，无

11、最大值，所以弦长不存在最大值 （1分）当时，有最大值，即弦长有最大值 （1分）略21. 已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，（1）求公差d的值；（2）若，求数列bn中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范围参考答案：【考点】等差数列的性质；数列的函数特性【专题】计算题【分析】（1）根据 S4=2S2+4，可得 ，解得d的值（2）由条件先求得an的解析式，即可得到bn的解析式，由函数在和上分别是单调减函数，可得b3b2b11，当n4时，1bnb4，故数列bn中的最大项是b4=3，最小项是b3=1（3）由 ，函数在（，1a1）

12、和（1a1，+）上分别是单调减函数，x1a1 时，y1； x1a1时，y1，再根据bnb8，可得 71a18，从而得到a1的取值范围【解答】解：（1）S4=2S2+4，解得d=1，（2），数列an的通项公式为 ，函数在和上分别是单调减函数，b3b2b11，当n4时，1bnb4，数列bn中的最大项是b4=3，最小项是b3=1（3）由 得 ，又函数在（，1a1）和（1a1，+）上分别是单调减函数，且x1a1 时，y1；x1a1时，y1对任意的nN*，都有bnb8，71a18，7a16，a1的取值范围是（7，6）【点评】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，得到71a18，是解题的难点22. 已知圆O和圆C的极坐标方程分别为=2和=4sin，点P为圆O上任意一点（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）=代入=4sin，可得=2，即可求出|PQ|；（