高中数学人教A版高中选修 圆锥曲线与方程《双曲线及其标准方程》教学设计

1、双曲线及其标准方程教学设计兴文二中 毛梅设计理念教材解读：本节课的教学内容是数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：探求轨迹（双曲线）；学习双曲线概念；推导双曲线标准方程；学习标准方程的简单求法，在学习过程中应注意双曲线与椭圆的区别与联系。教学目标：四层四翼：能理解并掌握双曲线

2、的定义，了解双曲线的焦点、焦距；能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。能根据已知条件求双曲线的标准方程。过程与方法：经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。学科核心素养：经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度教学重点和难点：教学重点：双曲线的定义。双曲线的标准方程。教学难点由双曲线的标准方程确定焦点位

3、置。根据条件求双曲线的标准方程。学生情况分析知识结构：双曲线是圆锥曲线中的一部分，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。认知结构：高二学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。授课班级学生特点：学生的知识技能基础较弱，根据班级的整体水平以及对新课标的解读。内容分析：本节内容主要分为：复习引入：复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中之和改为之差，轨迹是什么？”。通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“双曲线及其标准

4、方程”。课程讲解：双曲线的定义：在这一环节采用启发式教学法探究双曲线的定义，学生要理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于0小于两定点距离”的条件。双曲线的标准方程：在这一环节进一步体会解析几何中求曲线方程的一般方法。知识应用：在这一环节通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否突破难点：即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方程。课堂小结：在这一环节要求学生回顾本节课主要内容，考查学生对课堂目标的掌握情况，同时展示学习目标，帮助每个学生反思是否完成学习目标。教学方法和评价本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生主要通过自主探究和小

5、组协作的方法完成学习。教学资源：投影仪和黑板。教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习引入【知识复习】复习提问“椭圆的定义是什么？”举手回答椭圆的定义复习椭圆的定义并引入新课题【新课引入】1.设问：“若将椭圆定义中的之和改为之差，结果如何？理解问题，产生探究兴趣由和变差，快速引入新课2.轨迹探究：（1）解释拉链探究轨迹原理：拉链在拉开和合拢过程中，两边长度相等，现将拉链的一边的端点固定，另一边选择一点固定。引发学生思考：拉链咬合处到固定的两点的长度有什么关系？拉链在拉开和合拢过程中咬合处到两个固定点的距离如何变化？思考发现：到一个定点距离比另一个定点距离长多余的那一部分；距离在变大或者变小

6、，但距离之差不变。理解拉链画双曲线的原理。设计的需要学生思考的两个问题是拉链画双曲线轨迹中两个很关键的点， 通过这两个思考问题，理解借助拉链画出来的轨迹上的点满足到定点的距离之差是常数，从而能够顺利的理解后面的双曲线的定义。（2）动画演示双曲线轨迹，说明点的轨迹是左右两支曲线，取名双曲线观看轨迹的形成过程及结果使用动画既能形象直观的展示轨迹形成过程，帮助学生顺利理解双曲线上点的特点，同时节省了时间。3.引入课题并板书“双曲线及标准方程”目标展示课件展示学习目标了解学习目标学生了解学习目标，目标做指引，学习更高效新课讲解【双曲线的定义探究】1.提问：你能否给双曲线下个定义？双曲线下定义学生在下定

7、义时会错误的给出“距离之差是常数”，设计让学生先试误，对知识记忆深刻。2.分析：右支是到定点F1、F2距离之差为2a的点的集合，左支是距离之差为-2a的点的集合，两支则为距离之差的绝对值为2a定值的点的集合。理解双曲线定义中常数是“差的绝对值”。通过对错误的更正，学生对定义中“差的绝对值”理解更深刻。3.双曲线定义（1）给出双曲线的初步定义“平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值是常数的点的集合叫双曲线”。（2）提问：类比椭圆定义，椭圆中要求常数大于F1F2之间距离，双曲线定义中的常数有没有条件限制？（3）提问：等于F1F2的轨迹是什么？（4）思考：若常数为0，轨迹是什么？（5）课件展示双

8、曲线的完整定义，同时给出焦点和焦距的定义。思考并回答：常数要小于F1F2；并解释原因：三角形中两边之差小于第三边。思考回答：两条射线思考回答线段F1F2的中垂线理解掌握：双曲线定义及焦点焦距概念根据建构主义的学习观，学生对知识理解后才能自主建构为自己的知识。设计的这几个思考问题能帮助学生理解双曲线定义中常数的条件。对于条件限制，由学生先猜想，再分析不满足条件时点的轨迹，证明猜想，培养学生严谨的数学思维。【双曲线标准方程探究】回忆求曲线方程的一般步骤2.双曲线焦点在x轴的标准方程的探究（1）建系：提问：双曲线如何建系？分析F1、F2点的坐标（-c，0）（c，0）（2）设点：设M（x，y）为双曲线

9、上任意一点（3）列式：首先给出定义式 ，由定义带入点坐标列式。化简：分析和椭圆列式的异同点，点拨化简思，给出化简结果。双曲线方程与标准方程的比较：提出问题：比较双曲线与椭圆A.标准方程有何异同点；，b，c的关系有何异同点？双曲线焦点在y轴的标准方程：给出方程，要求类学生和其他感兴趣的同学课下证明。焦点在x轴和在y轴的两类双曲线方程比较：课件给出双曲线的两类方程，板书同时提问：如何通过双曲线的方程判断焦点的位置。巩固练习 课件展示练习1：求双曲线的焦点坐标回答：一般步骤：建系、设点、列式、化简回答：“以F1F2所在直线为x轴，以F1F2中垂线为y轴建立直角坐标系”的建系过程。和椭圆列式比较，发现

10、异同点，回忆椭圆方程的化简思路，感兴趣的同学课后推导。回答标准方程的：相同点：形式一样不同点：两式运算一减一加，a2始终对应系数为正的一式a,b,c关系：相同点：都有一数平方等于另两数平方和关系不同点：双曲线中c2=a2+b2，c值最大，a、b大小关系不确定；椭圆中a2=b2+c2，a值最大，b、c大小关系不确定通过双曲线的建系说明进一步体会对称建系的原则根据建构主义学习观，采用先行组织者策略，将新知识与所学知识建立联系，学生能够更顺利的学习新知识，同时建立清晰的知识网络关系。通过练习检测是否突破难点：由双曲线方程判断焦点位置习题练习【例题讲解】例1已知双曲线的焦点为F1(-2,0)、F2(2

11、,0),双曲线过点(3,)，求双曲线的标准方程。分析解题过程并板书示范规范解答过程。思考并分析解题过程。观看规范书写。通过规范书写示范，帮助学生养成良好的规范解题习惯。【习题练习】1.练习2：已知双曲线的焦点为(0,-4),(0,4),双曲线上任意一点P到焦点的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。2.高考链接： 已知双曲线与椭圆 的焦点相同，双曲线任意一点P到焦点的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。一学生上黑板完成，其他学生练习本上完成练习高考题检测学生是否掌握用定义求双曲线方程的方法。通过练习加深学生对双曲线定义的理解。黑板演示具有将问题暴露或者良好示范性的效果。将课堂练习提升到高考高度课堂小结本节课你收获了什么？学习目标照应学生回顾本节所学知识学生对照学习目标，反思达成程度反思收获能够帮助学生梳理总结本节所学内容对照学习目标，反思完成度，以便查漏补缺。作业布置个人作业：课本P43习题2-3 A组第1,2,3题。合作作业：从定义、标准方程、焦点坐标及