分式方程的几种特殊解法

1、WORD格式整理专业资料值得拥有分式方程的几种特殊解法白云中学：孙权兵解分式方程的一般步骤： （ 1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式 方程的解。 但在具体求解时却不能死搬硬套， 尤其是在解某些特殊的 分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适 当的技巧，才能避繁就简， 巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式 方程的几种特殊技巧。一、加减相消法。例 1、解方程：2 1 12 1 2 。x 1 x2 2018 x 2017x2 2018x 2017分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发

2、现方程两边都加上分式 x2 20181x 2017 ，则可以通 过在方程两边都加上分式 x2 20181x 2017 ，就将原方程化简成 x21 1，从而轻松获解。12解：原方程两边都加上 2 1 ，则可得： 2 1 x2 2018 x 2017 x 1去分母，得： 2 x 1解得： x 1 经检验， x 1是原分式方程的解。二、巧用合比性质法。例 2：解方程：x 2 2 x 8 x2 1 x 7分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多 1 的话， 则可以利用合比性质将分子化为 1，从而可以轻易将方程的解求出。22解：由合比性质可得： （x2 2）2（- x2 1）（x 8）（- x

3、7）x2 1 x 7 112x2 1 x 7去分母并化简得： x2 x 6 0 ，即（x 3）（x 2） 0 解得： x 3或 x 2经检验， x 3或 x 2是原分式方程的解。三、巧用等比性质法。例 3、解方程：4 x 4 4x 23x 2 3x 1分析： 该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数， 故可 考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。解：由等比性质可得：4x 4)(4x 2) 4x 2(3x 2) (3x 1) 3x 1化简得： 2x 0 x0经检验， x 0是原分式方程的解。四、分组化简法例 4、解方程： 1 1 1 1 。x 2 x 5 x 3 x 4 分析：此方程若直接通

4、分将会出现高次方程， 并且运算过程十分 复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。解：原方程可化为：1111x 2 x 3 x 4 x 5分别通分并化简，得： (x 4)( x 5) (x 2)( x 3)解得： x 3.5经检验， x 3.5是原分式方程的解。五、倒数法。例 5、解方程：1 x 11 x 1 x 22017 x 1分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解， 过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程解：原方程两边取倒数，得： 20117 xx-11 xx 12移项化简，得：112017 x 1方程两边取倒数，得： 2017 x 1 解得：

5、 x 2018经检验， x 2018 是原分式方程的解。六、列项变形法。例 6、解方程： 1 1 1 1 。x(x 1) ( x 1)( x 2) (x 99)( x 100) 24 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意 到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为 1。凡是这样的 分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差， 使得除首、 末两项之外 的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。 。1 1 1x 99 x 100 24解：原方程可化为： 1x x1 1 x1 1 x1 21 1 1x x 100 24去分母化简得：2x2 100 x 2400 0，即（ x 120

6、）（x 20） 0解得： x 120或 x 20经检验， x 120或 x 20是原分式方程的解。七、换元法。2例 7、解方程： 26x x 9 2 。x2 9 6x分析：注意到 26x 与 x 9 互为倒数，因此可考虑换元法，化繁 x2 9 6x为简，化难为易。2解：令 y 26x ，则 x 9 1 ，故原方程可化为：x 9 6x yy去分母化简得：y2 2y 1 0，即（ y 1）2 0解得： y 16x21x 2 9所以化简得： x2 6x 9 0,即（ x 3）2 0 解得： x 3经检验， x 3是原分式方程的解。八、化为整式部分和分式部分之和的变形法例 8、解方程：x 2 2x 2

7、x12x2 4x 61 x2分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数， 则可把 这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式， 如此即可妙解分 式方程。解：原方程可化为： x 1 x1 1 x 2 x 1 2 112x 1 x 2去分母得： x 2 2x 2解得： x 0经检验， x 0是原分式方程的解。九、巧用特殊方程法。例 9、解方程：3x x 1 5x 1 3x 2分析：对于方程 x 1 a 1 ，我们易知它的根为 x1 a, x2 1 。而x a a本题可化为 x 1 a 1 的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解 xa解：原方程可化为： x3x1 x3x1 2 123xx12

8、或3xx1解得：x经检验， x 2或x 1 是原分式方程的解。5十、设辅助元法。例 10、解方程： 13x x ( x 13 x) 42。x 1 x 1分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分 繁杂。如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令y 13 x ，则可得 xy ( x y) 13，而原方程则可化为 xy (x y) 42 ， x1进一步可构造 xy和 x y 为根的一元二次方程，然后在求出 xy和x y 的 基础上获得原方程的解。解：设 y 13 x ，则可得 xy ( x y) 13 x1又原方程则可化为 xy ( x y) 42 所以由 、 可知：xy和 x

9、 y 可以看作一元二次方程 z2 13z 42 0的两个实数根。解之得： z1 7, z2 6进一步解得：x1 1, x2 6, x3 3 2, x 4 3 2 。所以有：xy7xy 6或xy6 xy 7经检验， x1 1,x2 6,x3 3 2,x4 3 2 是原分式方程的解。一、函数图象法。例 11、解方程： x2 2x 3 0 x分析：原方程可化为 x2 2x 3 ，我们可以将此方程的两边分别看x作二次函数 y x2 2x和反比例函数 y 3 。然后在同一直角坐标系分x别作出它们的图象，两个函数交点的横坐标即是原方程的解。解：原方程可化为： x2 2x 3 。将此方程的两边分别看作二次函 x数 y x2 2x和反比例函数 y 3 。x在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图） ：观察图象， 可以发现两个函数的图象只有一个交点， 且交