微分衡算方程

1、第一章微分衡算方程1-1连续介质流体及其研究方法1,连续介质假定（连续粘性流模型）.（1）传递介质由无数质点连续组成，质点的特性（P , U , t , c A ）是连续的，（2）宏观看，流场特征尺度L质点尺度, 质点可看成几何点，（3）微观看，质点包含无数分子，质点尺寸 分子平均自由程九, 质点的特性是大量分子的统计平均值，Knudsen 准数 Kn 三九Kn = 10 自由分子流（只有分子与壁面的作用占主导地位）（分子间碰撞机会消失，粘性、导热性失去意义）不符合连续介质的特殊情况（见 P9-10）,如：（D高真空（真空容器、管道、分子蒸储、冷冻干燥），儿 很大，L很小 （2）微孔扩散（膜分

2、离、催化剂）.2,压缩性：对低速粘性流，流体质点运动（惯性力）和分子运动（粘性力）构成决 定流体运动形态矛盾.体现这对矛盾力量对比的准数是雷诺数 Re.当气体流速增加时，气体主流动能将影响分子的运动，即 变化已不可忽略，需要考虑压缩性的影响Mach 数Ma三流速U当地声速J & 0.3不可压缩流体模型（液体、低速气体）1 / 13Ma =0.3可压缩性流体3,牛顿型流体du71符合牛顿粘性定律，如一维形式为 %x = -N 丁非牛顿型流体，是“流变学 dy（Rheology） ”的范% 本课程暂不讲述.（见P3-P4）4描述流体的两种观点：（P37）Euler观点（空间点法）（类似电磁场的方法

3、）Lagrange 观点（质点法、跟踪法）（类似刚体力学中的方法）观点 与 方法固7E仝间位直（x,y,z）, 固定被研究流体的体积， 但质量可随时间变化.分析该固定位置处流体状况的 变化，并由此获得整个流场流体 运动的规律.场论的方法（速度场、压力场、 密度场、温度场）选择某一固定质量的流体微兀， 追随它一 起运动.位置不固定，体积可能变化 .根据该运动流体微元的变化情况，来获得整个流场流体运动的规律.流体运动的 几何表小流线是速度场的几何表示是向 一时刻/、同质点所组成的曲线， 它给出同一时刻/、同流体质点 的运动速度方向.轨迹是同一流体质点位置随时间变化的 运动规律的几何表示，它给出同一

4、质点在不同时刻的速度方1司.曲线方程(P66 例 1 2)dx dy dzUx Uy Uzdxdedx =uy dedx=Uz de其中e是自变量， 积分原消去，得到 轨迹方程.5,稳态与非稳态-与时间6无关或有关 （定常与非定常）f = f x, y, z,=fQ,x,y, z).06,2 / 13系统控制体具有特性固定不变的物质的集合流体在流动过程中所通过的一个空间范围可以有限，也可以无限小.可是固定不动的，也可是运动的 .数学复习尸一 r1 - r1 Hamilton 算子 V =一i +一 j+一k：:x jy ：:zDivergence 散度A:空+空+空x .:y jzGradie

5、nt梯度Rotation旋度i十汨-十里 czijkd3ex3czAxAyAz2_2_2kA =IB.注二 xLaplace7,随体导数(P39)对流体场中的物理量（矢量A或标量B）.f 二 f (一x, y, z).u流体= Uxi+Uyj+Uzk对f求全微分，得dfc9d?.dx二dy巨dz/：y二 z用d,去除上式，则得到f的变化率（对时间的全导数）df f=-Tduc-Qdx 汗 dy ；:f dz ；:f11 十 11 d - ：:x式中,dxdudy，dudz，d1为观察者的运动速度分量.如果,观察者随流体随波逐流,即观察者在流体中的运动速度与流体流动的速度完全一致时，则 Uxdx

6、dzdidu,这种随流体流动的导数称3 / 13为随体导数.这时，用Du代替duDf开开开开- U x u y u zD 1： xxy；z随体导数=局部导数+对流导数随流体的变化率=由于场的非稳态引起的变化率+由于场的不均匀性引起的变化率（即由于流体运动）实例，见P14.作业：写出密度P在直角坐标系中的随体导数表达式，写出温度t在柱座标系中的随体导数表达式1-2微分质量衡算方程根据的基本物理定律衡算的物理量微分衡算方程 （变化方程）质量守恒定律（物质/、火定律）质量衡算单组分的连续性方程多组分的传质方程能量守恒定律（热力学第一定律）能（热）量衡算能（热）量方程动量守恒定律（牛顿第二运动定律）动

7、量衡算（力的衡算）运动方程（动量方程）（Navier-stokes 方程）（1）单组分体系的连续性方程依据-质量守恒定律流出控制体的质量速率流入控制体的质量速率+控制体内质量的累 积速率=0应用Euler观点取直角坐标系中固定不动的平行六面体，为衡算的微分控制体dv=dxdydz 在（x,y,z）处，P = P（x, y, z,B ） , Ux = Ux（x, y, z,H ）等，由左边进入的质量通量：Pux 1kgm2s由右边流出的质量通量：（Pux）相=（Pux） + 皿dx/g】 xxx & J. / m s复习题：Taylor（台劳）幕级数f x 二 f x0 ： =x :-x = x

8、 -x04 / 13 TOC o 1-5 h z f (X0)f(X0)2f(xo)3=f Xo . X . X . X1!2!3!取一次近似式，即f （x dX） = f （x） , J dX:X对微分控制体进行质量衡算一一（质量流率kg/ =一一一 2、湎积m ）（流出一流入）+累积=0 （因为没有生成）x方向（流出一流入）y方向（流出一流入）z方向（流出一流入）：ux 、 Ux dx d yd z :uxd y d z fx|i；.： i Uy:uy dy d zd x :uyd zd xyl：uz udz dxdy = zdxdy；z微分控制体内质量累积：闱v = dxdydz COc

9、t）设川x)十d(Puy)十说Puz)lexcycycPdxdydz + dxdydz = 0两边同除以（dxdydz）, （dvwO）得连续性方程如下直角坐标系二=o X x cy cy（写成）矢量形式（写成）散度形式cP -：-u )=0COcP -d i v: u = 0 c0（写成）随体导数形式对2种特殊情况:（1）对稳态流动（可压缩流体与不可压缩流体） 的连续性方程:p u ）= 0（2）对不可压缩流体（稳态与非稳态）的 连续性方程：5 / 13连续性方程的物理意义：取一个单位质量的流体微元，则v=u 比容（单位质量流体的体积 m3/kg）故 = 1对时间求导数，即为随体导数，得:D

10、P+uD-71 D 1 D-或 二7 D 1 D1相对密度变化率相对体积变化率（体积形变速率）因止匕v u =也+%+也=1型，此式表明的物理意义 ex二y:z D 二速度向量的散度=三个方向上的线性形变速率=体积膨胀速率对不可压缩流体， u=0,即表明：不可压缩流体的速度场是无源场(见 P21)P67例13,习题16补充习题：化工流体力学P390建立数学模型的简化运动方程法两种方法、“薄壳”流体动量平衡法例P79习题16应用圆筒形薄壳作微分衡算，导出流体在圆管内作轴对称流动时二维 方向）连续性方程.（两种方法）r,zz方向r方向方法（一）表面左面面积右面面积内面面积外面面积2 二 rdr2

11、二 rdr2 二 rdz2” (r+dr) dz用（rate）流率kg/s作为Taylor级数中的f（r）6 / 13左面流率 ：ur(2 二 rdz)=f(r)右面流率 f(r+dr)=f(r)+f_ d r:r方法(二)用(flux)通量kg/m2.s作为 Taylor 级数中的 f(r),即 P ur=f(r)内面流速；u2二rdz外面流速:ur+ :：ur dr 2 二（r+dr）dz例作业:p79,习题1-7,为球座标系中r方向一维热传导dv=4 二 r2dr内表面积4二r2外表面积4二（r+dr）2通用的微分衡算方程设n代表流体的一种强度属性n B（3根据衡算原则：（积累）+ （输

12、出）=（输入）+ （产出）即积累=总净输入+产出积累七dxdydz B s1产出(GenerationGdxdydz B sGBm3s单位体积中单位时间产生（消耗）的量分子传递的净输入总净输入-对流传递的净输入分子传递:（分子扩散）分子传递通量 =十几；十二。BAym s h 1dzdxx方向 分子传递速率：% （dydz1x +:dydz） y方向 分子传递速率:7 / 13z方向 分子传递速率：！; （dxdy）1z 三 dxdyB dxdydz j三个方向的对流传递方式总净输入=-*L）+：:ydxdydz三个方向以分子传递方式的总净输入=笠+虫+生1ex cy c2对流传递:对流传递通

13、量：un=(Uxn ) +(UyR j +(Uz kx方向 y方向 z方向由以上各式，得出：通用的微分衡算方程fUx 二：Uy 二? U-十十| x 二 y :z矢量形式：=-V Rn $ T + G/3】s m3: ，(un )=兀9 U U Rn )十U Rn在C0D 二DuD 二Df=一几百 uA$+G TOC o 1-5 h z ,.- ,、,，、，:1,D：,二对不可压缩流体为： +u ,（ U ）= W 丁 + G”Di非稳态项+对流项=扩散项+生成项（源项）对不可压缩流体通用的微分衡算方程DL=-vr+ g% 】D【m s1-2质量微分衡算方程（1）双组分体系（只考虑浓度差引起的

14、扩散）8 / 13n= Pa,得 *=Da/a- AG =RAKmolA31m s若用mote标准，二二C a ,- - _ Dab C am DCa . 2行 - DAB CA RADf非稳态项+对流项=扩散项+源项（2）单组分体系或均相混合物流体当作一个整体的流动（即连续性方程）这时，n = P,=0 （二没有浓度差），G = 0 TOC o 1-5 h z 尸TTI由v (Un )-V T+G cQ得十)=0,即更+ p“G=0, aecQ对不可压缩流体，即u =0.1-3能（热）量微分衡算方程对不可压缩流体，进行热量衡算，当P, Cp,为常数时， PCpt +31CJIDtDu当只考虑

15、温度差引起的热传导（分子传递）时,-kt源项G=q %3， 内热源反应生成热电热源（31题）核热源 （32题）逸散热（粘性摩擦热源）Cp受二八2t q p Di即 已=21+氏不可压缩流体能量（传热）方程9 / 13Dtftftftft二-Ux 一 Uy 一Uz 一D t1 . x . x 二 y 二 z在固体或静止流体中，=u=0, .对流项4ft+ Uz = 0 ,:y；z热传导方程2tq,Cp1-4动量微分衡算方程强度属性二=二ukg m丫 /s3, m（动量浓度）通过分子扩散传递的动量是“应力 T （动量通量）”G （源项）为某种力场（重力场、电场、磁场）对流体产生的动量质量M加速度（

16、惯性力）表面力（合力）质量力（体积力，只考虑重力 G = Pg)见 P26 P27表面应力矢量-TxxxyT xzyxyyyzzyT zz11 zxy-z平面x-z平面x-y平面xy-：Ux .：:y-Uyyzzy：Uy . Uz广义牛顿粘性定律：zxz二.zx = J-：Ux；zxx=-p2:x2J10 / 13代入得:Du，:g J p ui 2u 白七 七 u不可压缩流的N-S方程（运动方程） 叫= g_1qp+uV2UDi ：惯性力 重力净压力 粘性力-Du 一. jux：:ux:二：- 一x ux xD -；x：:uxuy xuZ：ux II 2-.pFWx + Pgx-.:z；x惯

17、性力粘性力 重力压力流体流动过程是各种力综合作用的结果，这些力的作用并不是孤立的而是相互制 约的.在工程上，将这些力分别与惯性力作比较，并用无因次数群表示其相对大小 各种力与有关物理量之间的关系是惯性力=质量父加速度KVPuoC Pu2L2 t粘性力=必工9 重力=Mg工L3 :g还有：表面力 =L。浮力=：P1 Vg = :gL3相比，得惯性力L2U2：:uL uL TOC o 1-5 h z =一 粘性力LU工V三Fr （弗劳德数）惯性力L2U2：u2=;=重力L二gLg惯性力L2U2：；u2L:u2三We（韦伯数）=表面应力 L。 二二L浮力 惯性力R工浮力_（L2U 2P）APgL3

18、）_ L3gPp _ gL3触产_ gL3吃T粘性力26粘性力 LU 2u22r1 5初始条件和边界条件（P47-P49）1,初始条件（IC）-对非稳态传递过程、才有I.C.11 / 13即给出时的P, ux, Uy, uz, t,p,CA等值.2,边界条件（B.C.）动传热传质传（1）在固体壁向（no-slip 粘附条件）（连续粘性流的特性）u =us(一为 0)t =tsCa=Cas（2）无穷远处（如，边界层外）u =ugt =噎CA = Caqq（3）在对称点处（或极大值处）cuc=0讨=0 （绝热处） cy冬=0 （无传质处） cy（4）对流边界 条件h(ts -toO ) k丁 dy y=0,dCAkc (t AS t AC ) D ABdy y田液一液界