高阶线性微分方程的一般理论

1、高阶线性微分方程的一般理论第1页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五2 4.1 高阶线性微分方程的一般理论 4.2 常系数高阶线性方程的解法 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容/Main Contents/CH.4 Higher-Order Linear ODE2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第2页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五3 理解高阶线性方程解的性质和解的结构 熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求/Requirements/ 掌握高阶方程的一般解法CH.4 Higher-Order Linear ODE2022/9/9

2、常微分方程-重庆科技学院-李可人第3页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五 4.1 高阶线性微分方程的 一般理论/General Theory of Higher-Order Linear ODE/第4页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五5 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第5页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五6n 阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。 称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（

3、4.1）为 n 阶非齐次线性微分方程。4.1.1 引言 /Introducation/ n 阶微分方程一般形式：2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第6页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五7方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第7页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五84.1.2 齐线性方程解的性质与结构 定理2 （叠加原理）如果则它们的线性组合 的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（

4、4.2）的k个解，例有解2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第8页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五9证明2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第9页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五10问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第10页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五11函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数 对所有成立，称这些函数是线性相关的

5、，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第11页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五12定义在区间上的 k个可微 k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。 伏朗斯基行列式2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第12页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五13 定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数 （4.6） （4.7）使得依次对 t 微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于2022/9/9常微分方程

6、-重庆科技学院-李可人第13页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五14它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？ 例如： 即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第14页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五15故是线性无关的。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第15页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五16如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得

7、考虑关于的齐次线性代数方程组证明 反证法（4.9）2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第16页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五17其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数 根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即 因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另 也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第17页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五18定理5 n 阶齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(4.

8、2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意 n+1个解都线性相关。证明在 上连续，取则满足条件存在唯一。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第18页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五19线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+ 1个解，2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第19页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五20任意 n+1个解都线性相关。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第20页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五21 定理6（通解结构） 其中

9、是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第21页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五22 4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 性质1 如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第22页

10、，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五23是任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第23页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五24设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键

11、常数变易法为（4.1）的解。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第24页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五25令2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第25页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五26（4.16）代入方程（4.1）2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第26页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五27方程组有唯一的解，设为（4.16）2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第27页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五28特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第28页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五29例1 求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的解解得原方程的通解为 令2022/9/9常微分方程-重庆科技学院-李可人第29页，共31页，2022年，5月20日，1点14分，星期五30例2 求方程于域解 对应的齐线性方程为上的所有解。得 易见有基本解组这里 A、B 为任意常数。设 为方程的解 故得原方程的通解 （为任意