数列求和方法汇编及典题训练,DOC

1、数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算；熟记一些常用的数列的和的公式.二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识，渗透 运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想.三、情感目标通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的联系和差异，激发 学生的学习兴趣.【教学重点】求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用；【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】直接法

2、：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。等差数列的求和公式：S =(气*叩=na + 虹1) dn 212na (q = 1)等比数列的求和公式S = 1),.a是以17为首项，公差为-4的等差数列(2 )显然a 是递减数列，令a =0，得n =nn4当n 0,当n 6时，当 n 6时，a + a |+ - + |aa 0, q 0所以a广2,q = 2，所以数列a 的通项公式为a(2)解：由(1),_2n + 5（2n + 1）（2n + 3）_2n + 51（2n + 1）（2n + 3） 27 12n【解析】sn =1 + 3a + 5a2 + （2n 一 1）an-1G） aS = a

3、 + 3a 2 + 5a 3 + （2n -1） an（2 ）当aE、尸1 + f，父七+ Y眼3（1 - a）2所以b =n TOC o 1-5 h z _11.(2 n + 1)2n-1(2 n + 3)2 n所以 S = b + b + L + b n 12n_11-3 -(2n + 3)2n .故数列b的前n项和S = 1-、. nn 3 (2n+3)2n【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。题型四、错位相减法求和例题4：已知数列1,3a,5a2,.,(2n -1)an-1(a丰0)，求前n项和。当 a = 1时,S = n 2【点评】1、已知数列各项是等差数列1, 3, 5,2n

4、-1与等比数列a0,a,a2,an-1对应项积，可 用错位相减法求和。2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q = 1或q丰1讨论。3、错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列%的公比q；将两个等式相减;利用等比数列的前n项和的公式求和.变式5已知a = n 2n-1，求数列a的前n项和*.【解析】Sn Tg2。+ 2卜 +.+ （n -1杼n-2 + n2n-1 n*1 +邛2 +n-1 + n一得仅供个人学习参考【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法题型五、倒序相加法求和例题 5：求证：Co+ 3Ci + 5C2 + . + (2n + 1)d = (n +1)2n【解析】令

5、 S = C 0 + 3C 1 + 5C 2 + (2n + 1)C n(1)(2)Cm = C n-m贝V S = (2n + 1)Cn + (2n - 1)C n-i + . . . + 5C 2 + 3C i + C0S = (n + 1)C0 + C1 + C2 + . . + Cn = (n +1) 2n 等式成立【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.变式6：已知函数/(，)=二(1)证明： f (x)+ f(1-x )= 1 ；(8 v ，+ f盅+ f二的值.【解析】：两式相加得:(1 ( 9 3110 72S =9 x f - + f 拓

6、k10 77题型六、并项求和例 6： Sn=1002992+982972 22-12【解析】Sn = 1002992+982972 +2212=(100 + 99)+(98 + 97)(2+1)=5050.【点评】一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an = (1)nf(n)类型， 可采用两项合并求解.题型七、其它求和方法(归纳猜想法，奇偶法等供参考)例7：已知数列睛a =-2 n - (-1) n ,求S。【解析】：a =-2n + 2(-1)n，若n = 2m,则S = S=-2(1 + 2 + 3 + + 2m) + 2邦(-1)k=1若 n = 2m -1,则S

7、 = S2 1 = S2 - a2 =-(2m + 1)2m + 22m - (-1)2m =-(2m + 1)2m + 2(2m -1)【点评】：a =-2n - 2(-1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。 n_f6n - 5 (n为奇数)变式7：已知数列a的通项a, =2(n为奇数)，求其前n项和S”.【解析】：奇数项组成以a1 = 1为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以侦4为首项，公比为4的等比数列; 当n为奇数时，奇数项有山项，偶数项有七1项，n + L1 65)n-1(1+ 6n 5) 4(1-4 2 )(n + 1)(3n - 2)4(2n-1 -1)+ = + ，22S

8、=-2 n21 - 42当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有n项，2n.2(1+ 6n 5) 4(1-4；)_ n(3n-2) 4(2n -1) s+ - +，所以，S =-1 = Ci + 2C 2 x + 3C 3 x 2 + + nC nxn-1 /令 x = 1得 Ci + 2C2 + 3C 3 + nC n = n - 2-1【方法与技巧总结】1数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式，根据通项选择适当的方法;2 .求和过程中注意分类讨论思想的运用；【巩固练习】1 .求下列数列的前n项和S :n5，55，555，5555，|(10n-1)，1111, ,1x 3 2 x 4 3

9、 x 5n(n + 2)1.(1)(2)(3)(4)(5)a = =;nb，且a，n n11111则数列勺前10项的和等于()A . 100B . 85C . 70D . 55.设 m=1X2+2X3+3X4+(n-1) n，则 m 等于()A. n(n2 T)B. 1 n(n+4)C. 1 n(n+5)D. 1 n(n+7) 3222若 S=1-2+3-4+.+ (-1)n-i n，则 S7+S3 +等于()A.1B.n-1C.0D. 217 3350 设a 为等比数列，b 为等差数列，且b =0,c =a +b ,若数列c 是1,1,2,则c 的前10项nn1 n n nnn和为()A.9

10、78B.557C.467D.9796 . 1002-992+982-972+.+22-12 的值是()A.5000B.5050C.10100D.20200一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则。a=, b=, c=. 已知数列an是首项为a1 =，公比0=的等比数列，设bn + 2 = 3logaEN*)，数列匕满足cn=a/ b,(1)求数列bn的通项公式；求数列cn的前n项和Sn.10、设数列a满足。+ 3。2+32。3 +3-1。=，nN *.求数列a的通项公式；设bn=，求数列bn的前n项和Sn.11

11、、已知等差数列a的首项a1 = 1,公差d0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 b 的第二、三、四项.求数列an与bn的通项公式；设数列c 对任意自然数n均有匕+ C + C + + 土 = a成立.nb2 b3bn+1求 c1 + c2 + c +c 003 的值.12、已知数列的前n项和Sn满足:S2an+(-1)n, nN1.求证数列气+1 (-1)n是等比数列；求数列a 的通项公式；n证明：对任意的整数m4，有上+ -1 +. +上 7.a 4 a 5a 813、已知二次函数y = f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x) = 6 x - 2，数列an的前n项和 为S.

12、，点(n, S(n e N*)均在函数y = f (x)的图像上。(I )求数列an的通项公式；(II)设b =二，T是数列b 的前n项和，求使得T m对所有n e N*都成立的最小正整数 n a a nnn 20m；【参考答案】巩固练习答案n个5n个1、解：（1） S = 5 + 55 + 555 + + 55 5 = -（9 + 99 + 999 + + 99 9） TOC o 1-5 h z n95505/=10 +102 +103 + +10 n - n=前（10” -1） - 9 n （2）7 1 = i（i-），n（n + 2） 2 n n + 2.S1 1、J 1、J 1、 J

13、1、】Li 111、=5（1-三）+（3-）+ （&-三）+ + （一-） =5（1+5-J）232 43 5 n n + 222 n +1 n + 27_1_n +1 -n _r_ l an 和+、/京=（新+.E）（；E-、板）f n *1 1 1=三 + = + + 三n V2 + %1 3 + V2n +1 + n=(还-1)+(3 - + +(jn+r -打)= n+1 -1.S = a + 2a2 + 3a3 + + nan,当 a = 1 时，S = 1 + 2 + 3 + n = n(n* ), n2当 a。1 时，S = a + 2a2 + 3a3 + nan,aS = a

14、2 + 2 a 3 + 3a 4 + + nan+1,两式相减得(1 a)S = a + a2 + a3 + + an 一 nan+1 = (12 一 nan+1,.nan+2 一 (n + 1)an+1 + a(1-a )2(5 ). n(n + 2) = n2 + 2n , TOC o 1-5 h z . S =.原式=(12 + 22 + 32 + + n 2) + 2 x (1+2 + 3 + + n) = ( +1)(2 + 7) 设 S = sin21 + sin2 2 + sin2 3 + sin2 89 ,又S = sin2 89 + sin2 88 + sin2 87 + s

15、in21 ,0 8900 0.2S = 89 , S =竺.2和式中第k项为a1 = 1 + + =2.kS =2n=2= 2 = +2n-22、（1）设an的公差为d,则由已知得 即 解得 a1 = 3, d= 1,故 an = 3 (n1)=4n.(2)由(1)知，bn = n qn1,于是 Sn = 1-q0+2-q1 + 3-q2+ qn1, 若qN1,上式两边同乘以q.qSn = 1- q1+2-q2(n1) qn1+n-qn,两式相减得：(1 q)Sn = 1 + q1 + q2 +qn1n qn= n qn.sn= =.若 q= 1,则 Sn= 1+2+3 +n小nqn+1 ?n

16、+1?qn+1.Sn=?q=l?, ,?q#1?.)a1+ d = 7曰解: (a + a + 3d )4 _ 24 ,得 a1=-9,d=2, a” = 2n 11、2一”3、显然a 是递增数列，令n6时，a 6时，11a+a+ +a12na+a+ +a12n6时=S+ (S S=(a + a + + a )=(a + a + + a ) + (a1256a =0，得 n 2a 0,设 S = a + a + ann 12n(-9+2 n 11)n=n (n 10)2+ a + + a )6时4、5、1、5、7、=,当n4n 一 13)=S 2 S = n (n 10) + 501 (1 1

17、1r-10052012-X-10051006 工 1006-(2012-x)解：因为/(x) + /(2012-) =课后作业答案2n 1；2n+1 2 n 6 S = 3解（i）.s=“.s=(s -S ,)n即 2Sn-1S =S .-S由题意SnS尹0式两边同除以S S，得一=2.数列是首项为=1,公差为2的等差数列.= 1 + 2(n1) = 2n1,.S又bn= =?.Tn=b1+b2Hbn8、解（1）设等差数列与的公差为也由已知条件可得解得 故数列an的通项公式为an = 2-n.设数列的前n项和为Sn，Sn=_.记T =1 + + + + ,n则Tn= + + +，一得：T =1

18、 + + +, nT=_.即 T =4 . n.S =4+ n=44 +9、 解 (1)1 +3a2+32a3 +3n_1n=,.当nN2时，1 + 32+323 + + 3n_2n 1 =,一得：3n1n= _ = ,An = .当n=1时，a1 =也适合上式， n =.(2)bn=n3n,.Sn = 1X3 + 2X32+3X33 n3n,则 3S =32+2X33 + 3X34 n3“+1,n.得：2S =3 + 32+33 3nn3n+1 n=n-3n+1=(1 3n)n-3n+1.Sn = (13n) +10、11、3、拓展训练答案1.解：,a彻+n=a彻+an+mn,an+1=an

19、+a1+n=an+1+n,.利用叠加法得到：a = 虹业，.=J = 2(!-上), n 2 an(n +1)n n +1n.Ill + + + . . +a a a1231 1 1 1 1 1 、 “ 1 、 2(1 + + +)2(1 ) a2 2 32008 2009200920084016 2009 *答案：A.解：*a =a n1, b =b n1 n 1n 1a =ci. b 一=。+(。+一1)1 b1 n11n=Q+0+ 一2=5+ 一2=+3则数列%也是等差数列，并且前10项和等于：1旦乂10 = 85 答案：B.”解：因为a=r)2-n.,则依据分组集合即得.n答案;A.为

20、奇)解：对前n项和要分奇偶分别解决，艮|3： Sn= 2-(n为偶)0) 解得 d=2，an = 2n 1，可得 bn = 3n-1(2)当 n= 1 时，C = 3；当 nN2 时，由=a -a，得 c =2 3n1，Dn+1nnnJ3(n = 1), 2 - 3n-1(n 2).故 c1 + c2+c3+ c2003 = 3 + 2X3 + 2X32 2X32002=32003.12、(1)证明由已知得 a =S-S =2a + (-1)n-2a -(-1)n-1(nN2),化简得 a =2a +2(-1)n-1(nW2)：】上式可化为 a+ 2 (-1)n=2 a + 2 (-1)n-1 (nN2), .a=1, .a+2 (-1)1= 1.n 3n-1 311 33(-1)n是以1为首项，公比为2的等比数列. 3(2)解由(1)可知 a + 3 (-1) n= 2； 1 .an= 3 X2nT-2 (T)n=2 2n-2-(T)n，故数列a 的通项公式为 a = 2n-2-(T)n.33nn 3(3)证明由已知得! +上+. + -1二 3一 111一3一 1111112+22 -1F