一元二次方程讲义-绝对经典实用

1、初中数学:.第2页共61页.:初中数学:.第2页共61页.:一元二次方程讲义绝对经典实用一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax2+bx+c=0(a0)的一般形式,我们把这样的方程叫一元二次方程。其中aX2,c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。如：2x2-4x+1=0满足一般形式ax2+bx+c=0(a主0)，2x2，一4x,1分别是二次项、一次项和常数项，2，-4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取

2、值范围。一元二次方程求根方法直接开平方法形如x2=m(m0)的方程都可以用开平方的方法写成=而，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。配方法通过配方将原方程转化为(x+n)2=m(m0)的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上初中数学:.第4页共61页初中数学:.第4页共61页初申数学：:第3页共61页:：一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。（3）公式法求根公式：方程ax?+bx+c=O（aO）的求根公式-bVb24ac2a(b2-4ac0)步骤：1）把方程整理为一般形

3、式：ax2+bx+c“（0）b、Co2）计算式子b4ac的值。3）当b2-4ac0时，把a、b和b2-4ac的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零,另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到/b、2b2-4ac=右，显然只有当心时，才能直接开平方得：b,lb2-4acXH=2。V时-也就是说，一元二次方程宀加+*0（心0）只有当系数、b、c满足条件“b2-4

4、acn0时才有实数根这里b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）设一元二次方程为ax2+bx+c=0（a工0），其根的判别式为：A=b2-4ac则-b；b24acx=o）有两个不相等的实数根1,22a=-_b_2a.系数a、c确定,它的根的情况（是否有实数根）由A=b2一4ac确定.x=x0）有两个相等的实数根120）没有实数根.，b,c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；为完全平方式，同时-b炒-4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根.A0o方程ax2+bx+c=0(a丰A=0o方程ax2+bx+c=0（a

5、丰0；有两个相等的实数根时，A=0；没有实数根时，A0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；当a0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x，1x是方程x2+px+q=0的两个根，则x+x=-p，xx=q212127、韦达定理的逆定理以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是12x2一（x+x）x+xx=01212a，x1x2=a，那么x/一般地，如果有两个数x，x满足-亠12x必定是ax2+bx+c=0（a丰028、韦达定理与根的符号关系在4=b2-4ac三0的条件下，我们有如下结论：当c0时，方程的两根必一正一负.若-a，贝y此方程的正根不小于负根的绝对值；若-a0，则此方程

6、的正根小于负根的绝对值当c0时，方程的两根同正或同负若-a0，贝u此方程的两根均为正根；贝此方程的两根均为负根一般的结论是：X，X是（a丰0），且m为实1212，当0时，一般地：（x一m）（x一m）m9x0（x一m）+（x一m）0oxm9x121212日（x一m）（x一m）0（x一m）+（x一m）0oxm9x特殊地：2当m一0时，上述就转化为ax2:bx+c=0（a丰0）有两异两正根、两负根的条件其他有用结论2若有理系数一元二次方程有一根a+枉，则必有一根a一枉（a,b为有理数）.若ac0，方程ax2+bx+c=0（a丰0）不一定有实数根.若a+b+c=0,则ax2+bx+c=0（a丰0）必有

7、一根x=1若a一b+c=0,则ax2+bx+c=0（a丰0）必有一根x=T9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值;已知方程的两根，求作方程;结合根的判别式，讨论根的符号特征;初中数学:.第 页共61页.:初中数学:.第 页共61页.:逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的A一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程ax2+bx+c0（a丰0）的实根情况，可以用判别

8、式a-b2一4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程。2+bx+c-0（a丰0）有整数根，那么必然同时满足以下条件:（1）a-b2-4ac为完全平方数；-b+爲24ac-2ak或-b-烁-4ac-2ak，其中k为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a、b、c均为有理数）11、一元二次方程的应用求代数式的值；可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整

9、式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答板块一一兀二次方程的定义夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。2y2=y一7(2)、:2+1一2x2+x=0(3)(x+5)(x-5)=0(4)(5y+1)(2y一1)二y2-55)(m2+1)x2+n-mx=0(x是未知数)是一元二次方程，求例2已知关于x的方程（2）1x（a-2）x2-ax=x2-1的取值范围例3若一元二次方程（2）3（15）40的常数项为（m一2）x2+3（m2+15）x+m2一4=0零，则的值为m能力提升例4关于X的方程一

10、旦一山=1是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程240是关于的一元二次方程，求、2xa-xb-x2+4=0 xab的值.b例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是（Cm0且m*1Am1Bm0Dm为任何实数培优训练例7为何值时，关于的方程（伤归（3）4是一元二mx（m一72）xmm一（m+3）x=4m次方程.例8已知方程2b0是关于的一元二次方程，求、2xa+b-xa-b一ab=0 xab的值.b例9关于x的方程（m+3）m2-7+（m-3）x+2=0是一元x二次方程，则m的值为解：该方程为一元二次方程，m7=2,2解得m=3；当m=-3时m+3=0，则

11、方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3例10（2000兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）Am#1Bm*2Cm-1或m*2Dm-1且m2课后练习（m一02）xM2（m+3）x=4m是一元二次1、为何值时，关于的方程mx方程.2、已知关于的方程(2)=1是一元二次方程，求的x(a2)x2ax=x21a取值范围初中数学:.第 页共61页.:初中数学:.第 页共61页.:初中数学:.第12页共61页.：3、已知关于的方程取值范围.（x一a）2=（ax一2）2是一元二次方程，求a的a4、若310是关于的一元二次方程，求、b的值.5、若一元二次方程（m一2

12、）x2+3（m2+15）x+m2一4=0的常数项为零，则的值为m板块二一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（2012鄂尔多斯）若a是方程2x-x-3=0的一个解,2则6a-3a的值为（）2A.3B.-3C.9D.-9解：若a是方程2x-x-3=0的一个根，则有22a-a-3=0,2变形得，2a-a=3,2故6a-3a=3x3=9故选C2（2011哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程xrmx+8=0的一个解则m的值是（A.6B.5C.2D.-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0,解得m=6.故选A例3用直接开平方法解下列方程3x29=0(2)(x+2)2-3=0(3)2(3x+1)2=1

13、8X2一6x+9=(5一2x)2(6)3(x-1)2=込72(3x+1)25例4先配方，再开平方解下列方程1)x2一4x-4=02y2一y一1二03)2x2=3一7x3）x2+2x-5二0例5用公式法解下列方程1)X23x+2=02)2x一1=2x23)（X+1）2=-3x(x5)(x7)=1x2-x-1=0 x(6x+1)+4x-3=2(2x+1)例6用因式分解法解下列方程2x2-3x-3=02x2-45x-450=03)-12-2迈t+2=0(4)(2-3)x2-2(.3-1)x-6=09(x-2)2-16(x+1)2=0(5)x2+3a2=4ax-2a+1能力提升例72011乌鲁木齐)关

14、于x的一元二次方程a-1)xx+lal-1的一个根是则实数a的值为A2+=00，A-1B0C1D-1或1例8关于x的一元二次方程a-1xaxa()2+：0,则a值为(C)A1B0C-1例9方程x2+ax+b与有相同的根则=0与X2+cx+d=0(a爭c)a,a=1=0的一个根是D1d-b需答：V方程Qi赵司与十狂口心乎c)有相同的根S口同时茄足右程I立十si十ti=Cl和Sul十d=Dfa尹c),ft-f-act-l-b=0，/.0时，原方程化为*一X2=0,解得X=2,x=1（不合题意，舍去），12（2）当XiABCkl-Bk丰0例3已知，,为正数，若二次方程abc一一数根，那么方程b0的根

15、的情况是（a2X2+b2x+c2=0A有两个不相等的正实数根两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根一定有实数根ax2+bx+c0有两个实=0）B有D不kM确定的大小关系是（）BA二MCAvMD不能解：把x代入方程ax+bx+c=0中得ax+bx=-c,02020V（2ax+b）=4ax+4abx+b,0220202e.（2ax+b）=4a（ax+bx）+b=-4ac+b=,0202022M=故选B例16（新思维）关于x的方程x21=a仅有两个不同的实x1巳D00Ba4C2a4课后练习1、一元二次方程x22x一1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数

16、根D.没有实数根2、若关于z的一元二次方程x2.2x+m=0没有实数根，贝恢数m的取值范围是（）Dm-1Am-1Cml3、关于x的方程x2+px+q二0的两根同为负数，则（）A且B且p0q0p0q0C且D且p0p0q04、不解方程，判断下列各方程根的情况（1）X2+1=0（2）4X2-4X+1=02X2-7X-3=05、k为何值时，方程（-Z一2（k_7）X+2k+2二0的两个根相等?6、k为何值时,方程x2+（”5）x+k2二0有两个不相等的实根?初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第32页共61页.:7、已知。,b，判断关于的方程2b0的根的情况，并给出

17、必要的说明8、已知关于的方程2（1）50有两个不相等的实数2+2（m+1）x+m2+5=011一mI+m2一4m+4根，化简：9、已知关于的方程（）210有两个不相等的实数x（m2一m）x2一2mx+1=0根求的取值范围；mm32a2-3a-2a2+1+34若为整数，且3，是上述方程的一个根,mm3a求代数式c.2a2+1的值.10、在等腰AABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别为、b、，已知3，方和是关于的方程2210的两个实数根,求的周长.2AAB（其中,ajbc11、如果关于的方程()(b)(b)()()()0 x(x+a八x+b丿+(x+b)(x+c丿+(x+c)(x+a丿0b，均为正数

18、)有两个相等的实数根证明：以，门bc为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征.12、k为何值时，方程2x2+2k2(4k+1)x没有实根?板块二一元二次方程的应用夯实基础例1解方程兴-弓例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在

19、长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长=1例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同.该公司2006年盈利多少万元？若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第 页共61页.：例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植

20、区域的面积是288m2?前地離菜种植区城”*r*g”-11、B-=”严*|紡（託轉巧皆窗/世崩5冷护,:”r寸.10m)故舍去1当沪印寸，长方形花圃的长为狹7沪4苻台题意；-.肛的长詢5m.莅圃的面頼再(24-3x)x=-3(x-4)知当AB长为山，竟为1缶时，有最大面穆，为期平方米.故花圃的面想能达到48m2,此时，肛的长为加例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入因此，博物馆釆取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函

21、数关系在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应ASit限定参观人数是多少？门票价值应是多少兀?第12融)(AJ7WK)6000MOOMX)34XX)SOflOKMX)解答：解；设每周誉舰人数与票价之间的一次函数关系式拘产咕+b1,B|10k+b=T000!ECIO,TOOO)(15,4500代入产險+b中俘仁心115k+b=4500fk=-50012000.-.y=-5CQK+12Q0Q根据确保每周4万元的门票收入，得-y=oooa即*(-500+12000)=40000XMg牧十別二Cl解得叶別U2=4杷h一=如，七=4分别代X-SOOk-F12000中得y.=2000?y-

22、=10000因为控制螯观人数，所以取沪如，7-2000普：每周应限定参观人數是刘血人，门票怕格应是加元/人.培优训练二、列方程解应用题1.从一块长为80cm,宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？2.某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？=1例1若方程x2一4x+c=0为，c=板块二夯实基础初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第 页共61页.：例2已知方程x2+3x-5=0的两根为叫、X,则x2+x2=12X、X12b,x+x=-xx=1

23、2a12a利用韦达定理解决问题已知m与n是方程填空：+m+n=，mn=计算i+i的值.mn么，2x2-6x+3=0的两根。例4(2011厦门)已知关于x的方程x2_2x_2n二0有两个不相等的实数根求n的取值范围；若nV5,且方程的两个实数根都是整数，求n的(1(2)值.(20H孝感)已知关于x的方程X2_2“_x+k2=o有例5两个实数根xx12,=xx_i,求k的值.12(1)求k的取值范围若|例6（2011十堰）请阅读下列材料：问题：已知方程宀x亠0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y,则尸2x所以xy.2把x上代入已知方程，得（丄）2+2_1=0

24、222化简，得y+2y-40故所求方程为y+2y-40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：已知方程x2+X_2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。己知关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数.例7(2011南充)关于的一元二次方程x2+2x+k+1二0的实数解是和X.X12,(1)求k的取值范围；(2)如果x+x_xxv_1且k为整数，求k的值.1212初中数学:.第46页共61页.:初中数学:.第4

25、6页共61页.:例8(2010淄博)已知关于x的方程X2_2(k_3)x+k2-4k-1二0(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；若这个方程有一个根为1,求k的值;(3)若以方程X2_2(k_3)x+k2_4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym的图象上，求满足条件y=一x的m的最小值.能力提升初中数学:.第47页共61页初中数学:.第47页共61页例1已知：关于x的一元二次方程kx2+(2k3)x+k3=0有两个不相等实数根(kx)，1212若一次函数y=(3k1)x+b与反比例函数y=bx的图像都经过点(xz，kx2),求一次函数与反比例函数的解析式(昌平)已知：关于

26、x的一元二次方程22x+2-k=0若原方程有实数根，求k的取值范围；设原方程的两个实数根分别为x,当k取哪些整数时，x,x均为整数；12利用图象，估算关于k的方程例2(1)(2)+x-k一-32T0的解.1O-24初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第 页共61页.：例3(顺义)已知：关于x的一元二次方程x2一(2m+1)x+m2+m一2=0*求证：不论税取何值，方程总有两个不相等的实数根；若方程的两个实数根xx满足上兀*m+2，求的值.12112m-1例4海淀09一模)已知:关于x的一元一次方程kx=x+2的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc(cH0)的图象与兀轴一个交点的横坐

27、标为1.(1)若方程的根为正整数，求整数k的值；(2)求代数式akc求证：关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0必有两个不相等的实数根.例5知关于X的一元二次方程x2+2ax+b2=0，a0,b0若方程有实数根，试确定a,b之间的大小关系;0,有a2-b20,（a+b）（a-b）若a：b=2：3，且2，求a,b的值；解：a0,b0，:.a+b0,a-b0.ab*2分2）a=2k,b=f3k*初中数学:.第 页共61页.:初中数学:.第 页共61页.:初中数学:.第 页共61页.:解关于X的一元二次方程x2+4kx+3k2=0，得x=-k或-3k.由2x-x=2得k=2*12由2x一x=2得k

28、=-2（不合题125当k3k时，x=一k,x=-3k12当3kk时，x=-3k,x=-k12意，舍去)的两根都是培优训练例1设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4整数，求满足条件的所有实数k的值。例2、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.例3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，求m的值例4、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值例5、已知关于x的方程x2+(a-6)x+a=0的两根都是整数

29、，求a的值例6、求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整数例7、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，原方程的根也是整数解：(1)证明：A=z(m+3)24(m+1)m2+6m+94m4m2+2m+5(m+1)2+4*J0,(m+1)2w(1)4(m+1)2+4无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根2分(2)解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,得m3土(m+1)2+4.初中数学:.第 页共61页.：初中数学:.第 页共61页.：3分要使原方程的

30、根是整数，必须使得(m+1)2*4是完全平方数.设(m+1)2+4a2人则(a+m+1)(am1)4*a+m+1和am1的奇偶性相同,口Ja+m+12,am12.解/trr+m+1二-2,m1二-2.a2,m1.a2,.m1.意.将m=1代入x_-m-3J(m+1)2+4，得x_2符x2,x012当m=1时,原方程的根是整例8知关若方程方程个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程2(4k)】。的整数根(a为正整数)y2+(a4k)y+a+10a解：(1)二4k24(k1)(k+3)4k24k28k+12-8k+121分I方程有两个不相等的实数根，卩-1

31、丰0,艮卩|A0.k1主0,8k+120.的取值范围是(2)当方程有两个相等的实数根时=8k+12=0方程才有可能q均为整数)，q4分关于y的方程为y2+(a-6)y+a+1=0-A=(a6)24(a+1)=a212a+364a4=a216a+32数，当(a8)2-32是完全平方数时,十(其中m为整数)，32=pq(p、即(a8)2：2二32(a8+m)(a8:)二32不妨设a8+m二p,a8m二q.两式相加，得p+q+16a二I32可或或2：!或奇*性f(冋I)(4)x(8)，:+：7或或或一(不合题意舍去)或2.y=92当17时,a=175分当14时,a=146分当2时，7分方程的两根为y=11土7,y=方程的两根为y=8土2,y2方程的两根为y=4土2,y2即y=3,1例9(011西城二模)阅读下列材料：若关于兀的一元二次方程ax2+bx+c=0G0