与三角形有关的线段培优知识讲解

1、与三角形有关的线段（培优）知识讲解【学习目标】理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法理解并会应用三角形三边间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形要点诠释：（1）三角形的基本元素三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条

2、线段”、“首尾顺次相接”.三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；AABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示2三角形的分类（1）按角分类：直角三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.（2）按边分类：三边都不相等的三角形三角形等腰三角形J底边和腰不相等晡腰三角形等边三角形要点诠释：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，

3、另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高三角形的高的数

4、学语言：如下图，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC边上的高，或AD丄BC于D,或ZADB=ZADC=90.要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：（i）锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；（ii）钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；（iii）直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ABC的中线或AD是ABC的BC边上的中线或BD=CD=BC.要点诠释：（1）三角形的中

5、线是线段；（2）三角形三条中线全在三角形内部；（3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；（4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或ZBAD=ZCAD且点D在BC上.注意：AD是AABC的角平分线ZBAD=ZDAC=2BAC(或ZBAC=2ZBAD=2ZDAC).要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做

6、三角形的内心（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架

7、，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形【典型例题】，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）.【答案】B.【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：BDC与厶BEC、ABDC与厶BAC、ABEC与ABAC三对.【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图.举一反三：【变式】根据下图所示的形、三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是（）.A.6（n-1）B.6nC.6（n+1）D.12n【答案】C.类型二、三角形的三边关系2已知三角形的三边长分别是3,8,x,若x的值为偶数，则x的值有（）A6个B5个C4个D3

8、个【思路点拨】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值【答案】D.【解析】x的取值范围：5xBE；在AE0C中，OE+EOOC,两不等式相加，得AB+AE+OE+EOBE+OC.由图可知，AE+EC=AC,BE=0B+0E.所以AB+AC+0E0B+0C+0E，即OB+OCVAB+AC.（2）因为OB+OCBC，所以OB+OC7.又因为OB+OCVAB+AC，所以OB+OCV11，所以7VOB+OCV11.【总结升华】三角形边的关系经常用来证明线段之间的不等关系.举一反三：【变式】（2015春邗江区校级月考）

9、已知a、b、c为AABC的三边，则化简la+b+cl-la-b-cl-la-b+cl-la+b-cl=.【答案】0.解：la+b+cl-la-b-cl-la-b+cl-la+b-cl，=（a+b+c）-（-a+b+c）-（a-b+c）-（a+b-c），=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c，=0.类型三、三角形中的重要线段在ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把厶ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长.【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD=CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论.【答案与解析】1解：如图(1),设

10、AB=x,AD=CD=x.21若AB+AD=12，即x+一x=12，所以x=8,2即AB=AC=8，贝9CD=4.故BC=15-4=11.此时AB+ACBC所以三边长为8，8，11.1如图(2)，若AB+AD=15，即x+x=15，所以x=10.2即AB=AC=10，则CD=5.故BC=12-5=7.显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7.综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7.【总结升华】2。把4ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论.【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变

11、式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制【答案】解：方案1：如图(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、AF.方案2：如答图(2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3：如答图，取BC中点D、再取AD的中点E,连接AD、DE、BE、CE.方案2：如答图(4),在AB取点D,使DC=2BD,连接AD,再取AD的三等分点E、F,连接CE、CF.类型四、三角形的稳定性种流行的衣帽架，它是用木条四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不

12、仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离.它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了.【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】（2014秋仙桃校级月考）（1）下列图中具有稳定性（填序号）（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性.【答案】解：（1）具有稳定性的是三个.2）如图所示：与三角形有关的线段（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题TOC o 1-5 h z如果三条线段的比是：1:3:4:1:2:3:1:4:6:3:3:6:6:

13、6:10；3:4:5,其中可构成三角形的有（）A1个B2个C3个D4个2一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）A2个B4个C6个D8个3如图，如果把厶ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段人。）是4ABC的（）A.中线B.角平分线C.高D.既是中线，又是角平分线BDC4.如图，AC丄BC,CD丄AB,DE丄BC,则下列说法中错误的是()A-在厶ABC中，AC是BC边上的高B-在厶BCD中，DE是BC边上的高匚在厶ABE中，DE是BE边上的高D-在厶ACD中，AD是CD边上的高(2015春南长区期中)有4根小木棒，长度分别为3cm

14、、5cm、7cm、9cm任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个给出下列图形：TOC o 1-5 h z其中具有稳定性的是()A.B.C.D.如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为2平方4公分，则此方格纸的面积为多少平方公分?()王师傅用4根木条钉成一个四边形木架.如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?()C.2根D.3根9.(2014春渝北区期末)对面积为1的厶ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1B1C1，使得AB=2AB,B1C=2BC,C1A

15、=2CA，顺次连接BC1，得到A1B1C1(如图所示),记其面积为S1.现再分别延长A1B1B&i、C1A1至点A2、B2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接AB2、C2,得到A2B2C2,个三角形的两边长分别为5cm和12cm,第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为如图，在ABC中，D是BC边上的任意一点，AH丄BC于H,图中以AH为高的三角形的个数为确定（填“能”或“不能”）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 1111112在数学活动中，小明为了求+亍+亍的值

16、（结果用n表示），设计了如图所示的几何图形请你利22223242n HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 11111+=.242n13请你观察上图的变化过程，说明四条边形的四条边一定时，其面积14.如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm，使AB固定，转动AD,当ZDAB=时,三、解答题草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H,试问H建在何处,才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由.取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图，再沿着

17、直角边上的中线AD按图所示折叠，则AB与DC相交于点G.试问：AAGC和ABGD的面积哪个大?为什么？B17.已知AD是厶ABC的高，ZBAD=70,ZCAD=20,求ZBAC的度数.ABC是什么三角形.18.(2014春西城区期末)阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC中，AB=AC，BD是ABC的高.P是BC边上一点，PM,PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N.求证：BD=PM+PN.他发现，连接AP,有Saabc=Saabp+Saacp，即ACBD=*ABPM+*ACPN.由AB=AC，可得BD=PM+PN.他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他

18、条件不变时的图形，如图2所示.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM.请回答：请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP.Saabc=Saapc，aCBD=*AC-专AB.AB=AC，BD=PN-PM参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC中，AB=AC=BC，BD是ABC的高.P是ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q如图3,若点P在厶ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：.若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD,PM,PN,PQ之间的数量关系是：.【答案与解析】一、选择题【

19、答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：满足.【答案】B；【解析】5+9=14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以【答案】B；【解析】折叠前后的图形完全相同.【答案】C；【解析】三角形高的定义.【答案】B；【解析】解：可搭出不同的三角形为：3cm、5cm、7cm；3cm、5cm、9cm；3cm、7cm、9cm；5cm、7cm、9cm共4个，其中3cm、5cm、9cm不能组成三角形，故选B【答案】C；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.【答案】B；213【解析】设每个小正方形的边长为a,则有1632-4aX2aF23aX2a2-4aXa2=，解得a2=，而44整个

20、方格纸的面积为16a2=12（平方公分）.【答案】B；二、填空题【答案】361；【解析】解：连接AC,根据A1B=2AB，得到:AB：A1A=1：3,因而若过点B，A1作ABC与厶AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3,贝A1BC的面积是厶ABC的面积的2倍，设厶ABC的面积是a,贝9A1BC的面积是2a，同理可以得到A1B1C的面积是面积的2倍，是4a,贝A1B1B的面积是6a,同理B1C1C和厶A1C1A的面积都是6a,A1B1C1的面积是19a,即厶A1B1C1的面积是AABC的面积的19倍，同理A2B2C2的面积是厶A1B1C1的面积的19倍，AS2=19x1

21、9x1=361.故答案为：361【答案】29cm；【答案】6；1【答案】12n答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，11111+表示组成面积为1的大三角形的n个小三角形的面积22223242n之和，1111因此匕一+22223242n112n【答案】不能；【解析】因为四边形的高不能确定.【答案】90，48cm2；三、解答题【解析】解：维修站应建在四边形两对角线AC、BD的交点H处，理由如下：取不同于H的F点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FBHD+HB,FC+FAHC+HA.所以：FD+FB+

22、FC+FAHD+HB+HC+HA,即HD+HB+HC+HA为最小16.【解析】解：/BD=CD.SS.ABDACDSSSS.ABDADGACASSADGBGD【解析】解：（1）当高AD在厶ABC的内部时（如图）.因为ZBAD=70,ZCAD=20，所以ZBAC=ZBAD+ZCAD=70+20=90.(1)(2)当高AD在厶ABC的外部时（如图）.因为ZBAD=70,ZCAD=20,所以ZBAC=ZBAD-ZCAD=70-20=50.综上可知ZBAC的度数为90或50.（2）如图（1）,当AD在厶ABC的内部时，因为ZBAC=ZBAD+ZCAD=70+20=90,所以ABC是直角三角形.如图（2

23、）,当AD在厶ABC的外部时，因为ZBAC=ZBAD-ZCAD=70-20=50,ZABC=90-ZBAD=90-70=20,所以ZACB=180-ZABC-ZBAC=180-50-20=110.所以ABC为钝角三角形.综上可知，AABC是直角三角形或钝角三角形.【解析】解：（1）证明：连接AP.SAABC=SAAPC_SAAPB，*ACBD=*ACPNABPM.AB=AC,.BD=PN-PM.(2)BD=PM+PN+PQ；如图3,连接AP、BP、CP,SaabC=SAAPC+SAAPB+SABPCACBD=*ACPN+aBPM+bCPQ,AB=AC=BC,BD=PM+PN+PQ；BD=PM+

24、PQ-PN；如图4,连接AP、BP、CP,SABC=SAPB+SBPC-SAAPCACBD=*ABPM+*BCPQ-ACPN,AB=AC=BC,.BD=PM+PQ-PN.与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法理解并会应用三角形三边间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用.【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形要点诠释：（1）三角形的基本元素三角形的边：即组成三角

25、形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；AABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示.三角形的分类（1）按角分类：直角三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形

26、.（2）按边分类：三边都不相等的三角形三角形等腰三角形J底边和腰不相等晡腰三角形等边三角形要点诠释：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围（3）证明线段之间的不

27、等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高三角形的高的数学语言：如下图，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC边上的高，或AD丄BC于D,或ZADB=ZADC=Z90.要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：（i）锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；（ii）钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部;（iii）直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形

28、的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ABC的中线或AD是ABC的BC边上的中线或BD=CD=BC.要点诠释：1）三角形的中线是线段；（2）三角形三条中线全在三角形内部；（3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；（4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或ZBAD=ZCAD且点D在BC上.注意：AD是ABC的角平分线ZBAD=ZDAC=fZBAC（或ZBAC=2Z

29、BAD=2ZDAC）.要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支

30、架都采用三角形结构，也是这个道理（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形【典型例题】类型一、三角形的定义及表示（1）图中共有多少个三角形?并把它们写出来；（2）线段AE是哪些三角形的边？（3）ZB是哪些三角形的角？【思路点拨】在（1）问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在（2）问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得

31、到以AE为边的三角形；（3）问的突破口是ZB定是以B为一个顶点组成的三角形中.【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是厶ABD,AABE,AABC,AADE,AADC,AAEC.线段AE分别为ABE,ADE,ACE的边.ZB分别为ABD,ABE,ABC的角.【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行,做到不重不漏.举一反三：【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形.【答案】3个,分别是EAB,BAC,CAD.类型二、三角形的三边关系2.三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是(2cm-2cm5cm:，A2cm3cm5cm2cm2cm4cmB/2cm.3

32、cm“g，4cm【答案】D.【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边.A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故不能组成三角形.D选项中，2cm+3cm4cm.故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：判断出较长的一边；看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形.高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1)3,4,5；答案(1)能；(2)3,5,9；(3)5,5,8.(2)不能；(3)能.若三角形的两边长

33、分别是2和7,则第三边长c的取值范围是.【答案】5c9【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是丨2-7|c2+7,即5c吉(AB+BC+CD+DA).【答案】证明：在AOAB中OA+OBAB在OAD中有OA+ODAD,在ODC中有OD+OCCD,在OBC中有OB+OCBC,.OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2(AC+BD)AB+BC+CD+DA,即AC+BD*(AB+BC+CD+DA).类型三、三角形中重要线段小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解”

34、小华根据小明的提示作出的图形正确的是()BCD答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部举一反三：【变式】(2015长沙)如图，过ABC的顶点A,作BC边上的高，以下作法正确的是()答案】A如图所示，CDABC的AB边上的中线，ABCD的周长比厶ACD的周长大3cm,BC=8cm,求边AC的长.【思路点拨】根据题意，结合

35、图形，有下列数量关系：AD=BD,厶BCD的周长比厶ACD的周长大3.答案与解析】解：依题意：ABCD的周长比厶ACD的周长大3cm,故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.又CDABC的AB边上的中线，AD=BD，即BC-AC=3.又:BC=8,：AC=5.答：AC的长为5cm.【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD=BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法.举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且S4，则S为ABC阴影类型四、三角形的稳定性如图所示，木工师傅在做完门

36、框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即AB、CD），这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题TOC o 1-5 h z一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）.如图所示的图形中，三角形的个数共有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个（2015春常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5,第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A6B7C8D94为估计池塘两岸A、

37、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能567C.20mD.三角形的角平分线、中线和高都是（A.直线B.线段C.射线下列说法不正确的是（）.A.三角形的中线在三角形的内部C.三角形的高在三角形的内部如图，AM是AABC的中线，那么若用S表示ABM的面积，用S表示ACM的面积，则S和S的大小关系是（）.28m).DBD8以上答案都不对三角形的角平分线在三角形的内部三角形必有一高线在三角形的内部12A.SSB.SVS1212C用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（S!=S2D以上三种情况都有可能).如图，一扇窗户打开后，ABCD三角形的稳定性两点之间线段最短两点确定一条直线垂线段最短二、填空题9.三角形的三边关系是并且大于_如果三角形的两边长分别是3cm和6cm,已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm,小于1011.12.,由这个定理我们可以得到三角形的两边之差如图，AD是厶ABC的角平分线，则Z；CF是厶ABC的高，则Z第三边,所以,三角形的一边第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为则这个三角形的周长为1=2/cm=z=z;BE是厶ABC的中线，则.13.如图，AD、AE分别是ABC的高和中线，已知AD=5cm,CE=6cm,则AABE和厶ABC的面积分别为.(2015春焦作校级期中)人。是4AB