高三数学一轮专题复习 空间角与距离的计算（2）-侧重向量法

1、空间角与距离的计算（2）-侧重向量法目标解析1.利用条件合理建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标；2.会用向量法求空间角与距离； 3.进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.知能储备1.已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（ ）A45 B60 C75 D302.正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（ ）ABCD3.(多选题)如图，在直三棱柱中，点，分别是线段，上的动点(不含端点)，且，则下列说法正确的是（ ）A平面 B四面体的体积是定值C异面直线与所成角的正切值为 D二面角的余弦值为考题导航考向1：合理使用方

2、法求空间角1.如图，在四棱锥中，底面，点为中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）若为棱上的一点，满足，求二面角的余弦值 跟踪训练1如图，在几何体中，平面，是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，则异面直线与所成角 ；平面与平面所成二面角的正弦值 .考向2：合理使用方法求空间距离如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离考向3：向量法解决探索性、开放性问题如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由 跟踪训练2 试在，三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得面AB

3、CD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥中，底ABCD为菱形，若_，且，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值. 反思悟道向量法解决问题的前提是合理建系（必要证明）写出点的坐标，线面角、面面角、点面距求解前提是准确求出法向量；向量法本质是几何问题代数化，准确计算是保障；3. 空间角与距离的计算（2）知能储备1.【答案】A【解析】以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，0，设平面的法向量，又因为平面向量法则平面与平面所成的锐二面角为45故选：2.【答案】C【解析】以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴

4、，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，设平面PEF的法向量，则，取得，设平面与平面所成角为，则故选：C3.【答案】ACD【解析】对于A，在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以，所以平面，所以A正确；对于B，设，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，四面体的体积为，所以四面体的体积不是定值，所以B错误；对于C，因为，所以异面直线与所成角为，在中，所以，所以C正确；对于D，如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，同理可求得平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为，所以D正确，故选：ACD考题导航考向1：【解析

5、】解法一（向量法）证明：（1）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，0，2，2，0，向量，设为平面的法向量，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量（5分），直线与平面所成角的正弦值为（7分）（2）向量，由点在棱上，设，且故由，得，因此，解得即（9分）设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则二面角是锐角，其余弦值为（12分）解法二（几何法）证明：（1）如图，取中点，连接，分别为，的中点，且，又由已知，可得且，四边形为平行四边形，底面，而，从而平面，平面，又，（3分）解：（2）连接，由（1）有平面，得，而，又，为的中点，可得，平面，平面平面直线在平面内的射

6、影为直线，而，可得为锐角，为直线与平面所成的角（5分）依题意，有，而为中点，可得，进而在直角三角形中，直线与平面所成角的正弦值为（7分）（3）如图，在中，过点作交于点底面，底面，又，得平面，在底面内，可得，从而（9分）在平面内，作交于点，于是由于，故，所以，四点共面由，得平面，故所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得，二面角的余弦值为（12分）跟踪训练1【答案】（1）（2）【解析】依题得，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系， 则， ， 的坐标为且 D的坐标为 设异面直线与所成角为，则 异面直线与所成角为(2) 易知平面的一个法向量为设 是平面的一个法向量， 则，即令，解

7、得设平面与平面所成二面角为，平面与平面所成二面角的余弦值为。考向2：【解析】（1）解：取中点为，连接，又，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，1，0，则，设为平面的法向量，则由，得，则设与平面的夹角为，则；（2）假设存在点使得平面，设，由（）知，1，0，1，则有，可得，平面，为平面的法向量，即，解得综上，存在点，即当时，点即为所求 跟踪训练2【解析】若选：由平面ABCD知，又，所以面PAC，所以，所以，这与底面ABCD为菱形矛盾，所以必不选，故选.下面证明：平面ABCD，因为四边形ABCD为菱形，所以.因为，所以平面APC.又因为平面APC，所以.因为，O为AC中点，所以.又，所以平面ABCD，因为面ABCD，以O为坐标原点，以，的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，因为，所以为异面直线PB与CD所成