7.1.1数系的扩充和复数的概念（教案）- 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、第七章 复数7.1.1 数系的扩充和复数的概念教学设计一、教学目标1.在问题情境中了解实数系的扩充过程，体会实际要求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次二、教学重难点1. 教学重点复数的概念理解.2. 教学难点复数相等的理解和虚数、纯虚数的判断.三、教学过程（一）新课导入在初中的时候，我们学习了实系数一元二次方程，

2、当时方程的求解已经很熟练了，但是当，当时得到的结论是无实数解.那同学们想一下，我们能否像引进无理数进而把有理数扩充到实数集那样，通过引进新的数而是实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？（二）探索新知探究一：数系的扩充从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解.（因为在实数范围内，只有时，才有意义；当时，是没有意义的.）老师提问想一想，引导学生说出相对规范的描述，最后在给予补充探究：我们知道，方程在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？答案：回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求

3、密切相关.依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得.老师让学生思考数系扩充的一般原则，并总结归纳【数系扩充时，一般要遵循以下原则：增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质（如运算定律）依然适用；旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；新的数集能够解决旧的数集不能解决的问题】老师提出问题，让学生思考，把新引入的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的

4、新数系由哪些数组成呢？依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.探究二：复数的概念1.相关概念：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.这样，方程在复数集中就有解了.（还有另一个解）复数通常用字母表示，即.以后不作特殊说明时，复数都有，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且.2.由实数的分类启发学生对复数尝试分类，教师总结补充.讨论复数的构成，明确两要素：实部，虚部.复数的分类：复数可以如下分类：注意分清复数分类中的界限：设（1）；（2）是虚数；（3）且.教师提问：

5、实部、虚部一定为实数吗？什么时候两复数相等？学生思考后回答，教师补充.【复数的实部与虚部都是实数；两个复数相等，当且仅当它们实部和虚部分别相等.】由于实数可以表示在数轴上，所以两实数可以比较大小.教师提问：两复数间能比较大小吗？为什么？学生小组讨论后，举手发言，教师提炼总结.【不能比较大小，如和0.若，则，即，不成立.若，则，即，不成立.】思考：复数集与实数集之间有什么关系？显然，实数集是复数集的真子集，即.例1 当实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.在审完题后教师提问：复数分类的依据是什么？学生讨论回答，独立完成例1.教师拓展：0是复数，因为0是实数，所以0也

6、是复数.将0写成的形式为，即其实部和虚部都是0.分析：因为，所以都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的取值.解：（1）当，即时，复数是实数.（2）当，即时，复数是虚数.（3）当，且，即时，复数是纯虚数.（三）课堂练习1.说出下列复数的实部和虚部：.解：的实部分别为；虚部分别为.类题通法：对于复数，以后不作特殊说明都有，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？.解：实数有；虚数有；纯虚数有类题通法：复数，当且仅当时，是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数.3.求满足下列条件的实数的值：（1）；（2）.解：（1）由解得（2）由解得.类题通法：与相等的充要条件是且.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学