材料力学课件第五章

1、第五章 应力状态分析1.过受力杆件上任一点的横截面上的应力已学过，其他截面上的应力是否存在？如何计算？与横截面的应力有何关系？2.工程实际中的杆件所受力均比较复杂（前面所学的是基本变形），应力如何计算？以往所建立的强度条件是否适用？有待于研究 通常，受力杆件中同一横截面上不同点处的应力不同；同一点处不同方向面上的应力也不同。1.点的应力状态（state of stress at a point）：受力杆中一点处各方向面上应力情况的集合。2.单元体（element）：围绕一点所取的一无限小的长方体。（有时可取五面体或四面体）5-1 应力状态的概念 单元体每个面上正应力、切应力均匀分布； 相对的两

2、个面应力大小相等，正负相同。一点的应力状态可由该点的单元体上的三对面的应力确定。 主平面（principal plane）：单元体中没有切应力的截面。主应力（principal stress）：主平面上的正应力。单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态二向和三向应力状态的统称复杂应力状态：应力状态分类：纯切应力状态：只有切应力，没有正应力平面应力状态空间应力状态弯曲时工字形截面各点应力状态(假设弯矩、剪力均为正)z12345点1：点2：点3：点4：点5：单向应力状态11222333445二向应力状态二向应力状态单

3、向应力状态纯切应力状态 弯曲杆中有拉应力、切应力。低碳钢铸铁45o滑移线横截面断开拉伸试验：45o拉伸（压缩）杆中有切应力FF拉中有切TT低碳钢铸铁45o螺旋面断开横截面断开扭转试验：剪中有拉 45o扭转杆中有拉应力三个重要概念：点的概念面的概念应力状态的概念哪个横截面上的哪个点？哪个点上的哪个方向面？平面应力状态单元体：5-2 平面应力状态分析yxxyxyxyyxyxxyxyxyxyyxyx符号规定：正应力拉为正，压为负切应力顺时针转向为正，逆时针为负方位角x正向逆时针转至外法线方向n为正，反之为负45oxn一、任意方向面上的应力考虑ebf的平衡有（设ef的面积为A）Fin=0Fit=0 x

4、yxyxxyybacdfenyxyxebfntntyyxxebfFin=0=x-y2x+y2+cos2-xsin2Fit=0 x-y2+xcos2=sin2 任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。yyxxebfntxyxyxxyybacdfen=x-y2x+y2+cos2-xsin2求极值x-y2+xcos2=sin2求极值x -y2+x22（ ）max=+( )-1x -y2+x22（ ）min= -二、应力圆=x-y2x+y2+cos2-xsin2x-y2+xcos2=sin2-x-y2x+y2=cos2-xsin2x-y2+xcos2=sin2-x-y2x

5、+y2 ）+x =2222（ ）（ 圆心：x +y2（ ），0半径：x -y2+x22（ ）应力圆也称莫尔圆 在平面应力状态下，一点的应力状态与上面方程所表示的圆对应，圆周上的点与该点的某个方向面一一对应。圆的方程-x-y2x+y2 ）+x =2222（ ）（ 应力圆作法:xyx，已知1.取O 坐标系，按一定的比例量得点D1(x,x)和D2(y,y)。2.连接D1和D2点，与O轴交于点C。3.以点C为圆心、CD1 或CD2为半径作圆，即为该单元体应力圆。圆上与方向面对应的E点。OCD1D2E2xyxyxxyybacdfen圆心COCD1D2E2B2B1OC= (OB1+OB2)12= (x +

6、y)12半径CD1 或CD2CD1= CB1 +B1D122x-y2+x 22（ ）=圆上与方向面对应的E点。OF= EF= OF=OC- CFOCD1D2E2B2B120F=OC+CEcos(20+2)=x-y2x+y2+cos2-xsin2=OC+CB1cos2-B1D1sin2=OC+CD1cos20cos2-CD1sin20sin2=OC+CD1cos(20+2)OCD1D2E2B2B120FEF=CEsin(20+2)=x-y2sin2+xcos2= =B1D1cos2+CB1sin2=CD1sin20cos2+CD1cos20sin2=CD1sin(20+2)OCD1D2E2B2B

7、120F应力圆重点：点面对应转向对应2倍角对应应力圆作法：找确定直径的两点 ，xxD1 （ ）y ，yD2 （ ）30o4MPa10MPa 例 如图所示单元体，试用应力圆确定=-30o截面上的正应力和切应力。 =6.5MPa-30O =-6MPa-30Ox=60MPay=-30MPax =40MPa30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxx 例 如图所示单元体，求60o和-30o截面上的正应力和切应力。解：1.解析法求解x=60MPay=-30MPax =40MPa30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxxO2.应力圆求解E1120oD1x=60MPay=-30MP

8、ax =40MPaD2E2D1D2C60o30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxxxyxy三、主平面和主应力切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。OCD1D2B2B120A1A2由应力圆推求主应力OCD1D2B2B120A1A2D1代表x面， A1点切应力为零，代表一个主平面(第一主平面)。A1点横坐标为一个主应力D2代表y面， A2点切应力为零，也代表一个主平面(第二主平面)。A2点横坐标为一个主应力另一个主应力1）主应力大小x-y2tan(-2 0)=x=x-y2xtan(2 0)=x-y-2x根据2倍角关系，x面顺时针转0角到第一主平面位置。D1代表x面

9、， D2代表y面， 或OCD1D2B2B120A1A22）主平面方向例 求图示单元体主应力的大小和主平面的位置。6MPa3MPa1.公式法解：6MPa3MPa分子为正，分母为负，在第二象限。主应力单元体为O2.应力圆求解6MPa3MPa20D1D2CA1A2思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一定为零？O20D1D2CA1A2FF5-3 基本变形杆件的应力状态分析分析单向受拉杆件中任一点的应力状态OCD1D2E45o一、拉压杆件应力状态分析FFOCD1D2E45o则主应力1.当=0o时，表明拉压杆件的最大正应力发生在横截面上，该截面上不

10、存在切应力。 2.当=45o时，表明拉压杆件的最大切应力发生在45o斜截面上，该斜截面上同时存在正应力。FFOCD1D2E45o3.当=90o时，表明拉压杆件纵截面上不存在任何应力。TTOCD2D1分析受扭圆轴表面任一点的一应力状态45o二、扭转杆件应力状态分析TTOCD2D145o则主应力表明扭转圆杆的最大切应力发生在横截面上，该截面上不存在正应力。当=0o时，当=45o时，三、梁的应力状态分析ABqFmmabcde单向应力状态aa点a二向应力状态bbb点b二向应力状态ddd点d单向应力状态ee点e纯切应力状态c点c1133011330=45o11330(3)(3)(1)(1)ABqFmma

11、bcde33 a11330 b11330=45o c11330 d11 e四、主应力迹线的概念 主应力迹线是两组正交的曲线：其中一组曲线是主拉应力迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另一组曲线是主压应力迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主压应力方向。33 a11330 b11330=45o c11330 d11 e特点：1.主拉、主压应力迹线正交2.中性层处（纯切应力状态）主应力迹线与轴线成45o。3.剪力为零的截面上（单向应力状态），主应力迹线与轴线平行或正交4.梁顶或梁底（单向应力状态），主应力迹线与轴线平行或正交5-4 三向应力状态下的最大应力一、三向应力

12、状态下的最大应力 1. 平行于3的截面上的应力,只由1和2决定。O1AE2故这些截面与由1和2所作的应力圆上的各点相对应。 2. 平行于2的截面上的应力只由1和3决定。 1. 平行于3的截面上的应力,只由1和2决定。3. 平行于1的截面上的应力只由2和3决定。故这些截面与由1和3所作的应力圆上的各点相对应。故这些截面与由2和3所作的应力圆上的各点相对应。F3max=1min=3max=1-32max的发生位置：4. 任意一个斜截面上的应力，与上述三个应力圆所决定的阴影区域中的一个点相对应。故，一点处最大正应力、最小正应力、最大切应力分别为为平行于2的斜截面，与1、3主平面成45o夹角。O1AE

13、2F3max(max)40MPa60MPa45o40MPa60MPa45omax= 1= 40MPamin= 3= -60MPa2= 0max=1-32= 50MPamax发生位置max= 1= 60MPamin= 3= 02= 40MPamax=1-32= 30MPamax发生位置分析最大正应力、最小正应力、最大切应力例 作图示单元体三向应力圆。300MPa200MPa100MPa350MPa300MPa200MPa100MPa100MPa350MPa解：OD1D2C该单元体三向应力圆为1=350MPa2= 3 =0300MPa200MPa100MPax=300MPay=200MPax =1

14、00MPaOD1D2C该单元体三向应力圆为x=300MPay=200MPax =100MPa该单元体三向应力圆为300MPa200MPa100MPa100MPaOD1D2C如何求图示点的主应力及主平面?aaaa60oaabb60oxyD2D1OC240oA1A25-5 广义胡克定律 体积应变一、广义胡克定律单向应力状态下：=E 或 =E三向应力状态下：三个主应力1，2，3方向都存在正应变（线应变）主应力方向的线应变称为主应变。1，2，3都会产生1方向线应变1方向主应变：1， 2，3都会产生1方向线应变1产生的1方向线应变1 =1E2产生的1方向线应变1 = -2E3产生的1方向线应变1 =-3

15、E3= 3-v(1+2)E11= 1 + 1 + 1= 1-v(2+3)E1同理可求2= 2-v(1+3)E1 一般应力状态下，单元体各面上有正应力也有切应力，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽略，因此x= x -v(y +z)E1y= y -v(x +z)E1z= z -v(x +y)E1广义胡克定律yxxyyxzxzzxyzzy切应力与切应变的关系：xy =xyGyz =yzGzx =zxGyxxyyxzxzzxyzzy 例 已知1方向1=240，3方向3=-160，E=2.1105MPa, v=0.3。求1， 2，3和2。131= （1-v3）E1

16、3= （3-v1）E12= - （1+3）Ev 1= （1+v3）E1-2或 3= （3+v1）E1-22 =0解：13 1= （1+v3）E1-2 3= （3+v1）E1-22 =01=2403=-160E=2.1105MPav=0.32= - （1+3）Ev 例 如图所示,在一槽型钢块内，放置一边长为10mm的立方铝块，铝块与槽壁间无空隙。当铝块上受到合力为F = 6kN的均布压力时，试求铝块内任一点的应力，铝块的泊松比为v= 0.33。xyz思考题？ 例 直径d=80mm的圆轴，表面一点与母线成45o方向测得正应变-45 =260，已知E=2.0105MPa, v=0.3，求T。oTT45o解：由于二、体积应变受到压强p的静水压力作用 或 K体积模量或压缩模量 体积应变 5-6 应变能和应变能密度一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度Fll 1F1dFFFoABld(l)l1Fll 1F1dFFFoABld(l)l1应变能应变能密度二、三向应力状态的应变能和应变能密度