新高考一轮复习苏教版 第8章 第3节 圆的方程 学案

1、 10/10圆的方程考试要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)，半径eq f(1,2)eq r(D2E24F)提醒：当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示一个点eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)；当D2E24F0时，

2、方程x2y2DxEyF0没有意义，不表示任何图形2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.eq o(常用结论)1圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线2以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误

3、的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程x2y24mx2y0不一定表示圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A(2,3)，3B(2,3)，eq r(3)C(2，3)，13D(2，3)，eq r(13)D圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径req r(13).2已知点A(1，1)

4、，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22Bx2y2eq r(2)Cx2y21Dx2y24A法一：AB的中点坐标为(0,0)，|AB|eq r(112112)2eq r(2)，所以圆的方程为x2y22.法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为(x1)(x1)(y1)(y1)0，即x2y22.3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24C设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1

5、)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2y22x0设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，eq blcrc (avs4alco1(F0，,2DEF0，,42DF0，) 解得eq blcrc (avs4alco1(D2，,E0，,F0.) 圆的方程为x2y22x0. 考点一圆的方程1若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(

6、x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252A直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，6)，可得直径长为2eq r(13)，则半径长为eq r(13)，所以所求圆的方程是(x2)2(y3)213.2若不同的四点A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为_7设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，分别代入A，B，C三点坐标，得eq blcrc (avs4alco1(255DF0，,1DF0，,993D3EF0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D4，,Ef(25,3)，,F5.)所以A，B，C三点确定的圆的方程为x2y24xeq f(25,

7、3)y50.因为D(a,3)也在此圆上，所以a294a2550.所以a7或a3(舍去)即a的值为7.3已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x7y80上，则圆C的方程为_.(x3)2(y2)213法一：(几何法)kABeq f(50,16)1，则AB的垂直平分线方程为yeq f(5,2)xeq f(7,2)，即xy10，联立方程eq blcrc (avs4alco1(xy10，,2x7y80，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2，)req r(632022)eq r(13)，故圆C的方程为(x3)2(y2)213.法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(

8、xa)2(yb)2r2.由题意可得eq blcrc (avs4alco1(6a20b2r2，,1a25b2r2，,2a7b80，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b2，,r213，)故所求圆C的方程为(x3)2(y2)213.4已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆求圆的方程的两种方法 考点二与圆有关的最值问题斜率型、截距

9、型、距离型最值问题 eq 典例11已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求eq f(y,x)的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，eq r(3)为半径的圆(1)eq f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq f(y,x)k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得keq r(3)(如图)所以eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小值为eq r(3).图图图(2)yx可看作是直线yxb在y

10、轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6)(如图)所以yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为eq r(202002)2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).建立函数关系求最值 eq 典例12设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2,0

11、)，B(2,0)，则eq o(PA,sup8()eq o(PB,sup8()的最大值为_12由题意，知eq o(PA,sup8()(2x，y)，eq o(PB,sup8()(2x，y)，所以eq o(PA,sup8()eq o(PB,sup8()x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以eq o(PA,sup8()eq o(PB,sup8()(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，所以当y4时，eq o(PA,sup8()eq o(PB,sup8()的值最大，最大值为641212.1与圆有关的最值问题的三种几

12、何转化法(1)形如eq f(yb,xa)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2建立函数关系式求最值问题的解题策略根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值eq o(跟进训练)1(1)(2018全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8Ceq r(2)，3eq r(2)D2eq r(2)，

13、3eq r(2)(2)一束光线从点A(3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路径的长度是()A4B5C5eq r(2)1D2eq r(6)1(3)已知点P(x，y)为圆C：x2y24x30上一点，C为圆心，则eq o(PC,sup8()eq o(PO,sup8()(O为坐标原点)的取值范围是()A3,1B1,1C1,3D1,3(1)A(2)C(3)C(1)圆心(2,0)到直线的距离deq f(|202|,r(2)2eq r(2)，所以点P到直线的距离d1eq r(2)，3eq r(2)根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2eq

14、 r(2)，所以ABP的面积Seq f(1,2)|AB|d1eq r(2)d1.因为d1eq r(2)，3eq r(2)，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,6(2)根据题意，设A 与A关于x轴对称，且A(3,2)，则A 的坐标为(3，2)，又由A Ceq r(2525)5eq r(2)，则A 到圆C上的点的最短距离为5eq r(2)1.故这束光线从点A(3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路径的长度是5eq r(2)1，故选C(3)将圆C的方程x2y24x30化为(x2)2y21，所以圆心C的坐标为(2,0)所以eq o(PC,sup8()(2x，y)，而eq

15、 o(PO,sup8()(x，y)，所以eq o(PC,sup8()eq o(PO,sup8()x2y22x.因为x2y24x30，所以x2y24x3，所以eq o(PC,sup8()eq o(PO,sup8()4x32x2x3.因为(x2)2y21，所以(x2)21，所以1x21，即1x3.因此12x33，从而eq o(PC,sup8()eq o(PO,sup8()(O为坐标原点)的取值范围为1,3故选C 考点三与圆有关的轨迹问题典例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程四字解题读想算思A(1,0)，

16、B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程ACBCkACkBC1转化化归直角三角形的性质斜边的中线等于斜边的一半解(1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kACeq f(y,x1)，kBCeq f(y,x3)，所以eq f(y,x1)eq f(y,x3)1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：(定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|eq f(1,2)|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三

17、点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xeq f(x03,2)，yeq f(y00,2)，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4

18、)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解eq o(跟进训练)2如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是_x2y2a2如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设P(x，y)，因为PAPB，所以eq f(y,xa)eq f(y,xa)1(xa)化简，得x2y2a2(xa)当xa时，点P与A或B重合，此时y0，满足上式故点P的轨迹方程是x2y2a2.2.阿波罗尼斯圆如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|PB|.则1时，动点P的

19、轨迹为直线；当0且1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证明：设|AB|2m(m0)，|PA|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(m,0)，B(m,0)又设P(x，y)，则由|PA|PB|得eq r(xm2y2)eq r(xm2y2)，两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12)当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当0且1时，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(21,21)m)eq sup12(2)y2eq f(42m2,212)，轨迹为以点eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,21)m，0)为圆

20、心，eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m,21)为半径的圆 eq 典例3(1)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点P，使得|PA|eq r(2)|PB|，|PC|PD|，则实数a的取值范围是_(2)如图，已知圆O：x2y24，点A(4,0)，在x轴上是否存在B(不同于点A)，满足对于圆O上任意一点P，都有eq f(PB,PA)为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由(1)2eq r(2)1,2eq r(2)1(1)设P(x，y)，则eq r(x12y2)eq r(2)eq r(x32y2)，

21、整理得(x5)2y28，即动点P在以(5,0)为圆心，2eq r(2)为半径的圆上运动另一方面，由|PC|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动，因而问题就转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点所以|a1|2eq r(2).故实数a的取值范围是2eq r(2)1,2eq r(2)1(2)解假设存在这样的点B(s,0)，使得eq f(PB,PA)k.设P(x，y)是圆O上任意一点，由PB2k2PA2，得(xs)2y2k2(x4)2y2注意到y24x2，化简得(8k22s)xs220k240对x2,2恒成立所以eq blcrc (avs4alco1(8k22s0，,s220k240，)解得eq blcrc (avs4alco1(s1，,kf(1,2)或eq blcrc (avs4alco1(s4，,