新高考一轮复习苏教版 第10章 命题探秘6　高考中的概率与统计问题 学案

1、 12/12高考中的概率与统计问题 考点一决策型问题 eq 典例1(2021新高考卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计

2、得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由四字解题读想算思(1)小明先回答A类问题，回答正确则回答B类问题；否则比赛结束.(2)求小明的累计得分X的分布列X的所有可能取值X每个取值所对应的概率分类讨论累计得分的期望最大小明先回答B类问题累计得分Y的分布列E(X)、E(Y)转化化归解(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100，P(X0)10.80.2，P(X20)0.8(10.6)0.32，P(X100)0.80.60.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)00.2200.321000.485

3、4.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，P(Y0)10.60.4，P(Y80)0.6(10.8)0.12，P(Y100)0.60.80.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48则Y的期望为E(Y)00.4800.121000.4857.6.因为E(Y)E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题答题模板第一步审清题意，理清事件间的关系第二步依据事件间的关系，建立概率模型第三步计算相应事件的概率第四步依据期望方差对实际问题作出判断第五步反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范性eq o(跟进训练)1(2021

4、河南六市二模)面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行咽拭子核酸检测，检测结果呈阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的咽拭子核酸是否呈阳性相互独立(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者咽拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的咽拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，咽拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的咽拭子核酸混在一起进行

5、检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？(参考数据：0.9850.904,0.98110.801)解(1)设事件A为 “核酸检测呈阳性”，事件B为“患疾病”，由题意可得P(A)0.02，P(B)0.003，P(A|B)0.98，由条件概率公式P(A|B)eq f(PAB,PB)得：P(AB)0.980.003，即P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(0.980.003,0

6、.02)0.147，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.(2)设方案一中每组的检测次数为X，则X的取值为1,6.P(X1)(10.02)50.9850.904，P(X6)10.9850.096.所以X的分布列为X16P0.9040.096所以E(X)10.90460.0961.48，即方案一检测的总次数的期望为111.4816.28.设方案二中每组的检测次数为Y，则Y的取值为1,12，P(Y1)(10.2)110.801；Peq (avs4alco1(Y12)10.8010.199.所以Y的分布列为Y112P0.8010.199所以E(Y)10.801120.1993.189，即

7、方案二检测的总次数的期望为3.189515.945，由16.2815.945，则方案二的工作量更少 考点二数据分析型问题典例2(2021辽宁考前模拟)中国制造2025提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：甲乙(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲

8、、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为seq oal(2,1)，seq oal(2,2)，试比较seq oal(2,1)，seq oal(2,2)的大小(只需给出答案)；(2)若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标及小概率值0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异质量无人机合计甲乙优质产品不是优质产品合计1001002002eq f(nadbc2,abcdacbd)，nabcd.0.0500.0100.001x3.8416.63510.828(3)由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正

9、态分布Neq (avs4alco1(，2).其中近似为样本平均数eq o(x,sup8()，2近似为样本方差seq oal(2,2)，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于11.6,35.4的架数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2eq r(142.75)11.9；若ZNeq (avs4alco1(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解(1)a0.010，且seq oal(2,1)seq oal(2,2).(2)甲种无人机中优质率为0.250.10.350.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无

10、人机中优质率为0.30.20.10.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架列联表如下：质量无人机合计甲乙优质产品7060130不是优质产品304070合计100100200零假设H0: 甲、乙两种“无人机”的优质率有差异，2eq f(2007040603022.203.841x0.05，故依据小概率值0.05的独立性检验，不能推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异(3)计算得：eq o(x,sup8()50.15150.25250.3350.2450.123.5，由条件ZN(23.5,142.75)，从而P(11.6Z35.4)0.682 7，故

11、从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于11.6,35.4的概率是0.682 7，根据题意得XB(10,0.682 7)，E(X)100.682 76.827.数据分析主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论该类问题常以科技、生活中的热点为载体，将收集到的数据信息通过图表(频率分布直方图、饼形图、条形图等)展现在考生面前，重在考查数据提取能力和应用统计概率的知识分析数据解决问题的能力eq o(跟进训练)2(2021芜湖模拟)为更好地了解某地区的经济收入变化情况，统计了该地区从2016年到2020年的经济收入变化以及2016年和2020年经济收入的构

12、成比例，得到如下列表和饼图：年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代号x12345经济收入y(单位：百万元)8131725322016年经济收入构成比例2020年经济收入构成比例(1)若该地区第三产业收入2020年是2016年的20倍，求2020年经济收入中第三产业收入和其他收入所占百分比m，n的值；(2)求经济收入y关于x的经验回归方程，并预测2025年该地区的经济收入参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据eq (avs4alco1(xi，yi)(i1,2,3，n)，其回归直线 eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()xeq o(a,sup8()的斜率和截距

13、的最小二乘估计分别为：eq o(b,sup8()eq f(eq isu(i1,n,x) (avs4alco1(xio(x,sup8()(avs4alco1(yio(y,sup8(),eq isu(i1,n,x) (avs4alco1(xio(x,sup8()eq sup12(2)， eq o(a,sup8()eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()eq o(x,sup8().解(1)由表格及饼图可得：m322086%，解得m30%，n134%30%30%6%.(2)由表格数据可得：eq o(x,sup8()eq f(1,5)eq (avs4alco1(12345)3，eq o(y,

14、sup8()eq f(1,5)eq (avs4alco1(813172532)19，eq isu(i1,5,x)eq oal(2,i )1222324252 55，eq isu(i1,5,x)iyi18213317425532345，则eq o(b,sup8() eq f(isu(i1,5, )(avs4alco1(xi o(x,sup8()(avs4alco1(yi o(y,sup8(),isu(i1,5, )(avs4alco1(xi o(x,sup8()eq sup12(2) eq f(isu(i1,5,x)i yi 5o(xto(x) o(xto(y),isu(i1,5,x)oal(2

15、,i )5xto(x)2) eq f(3455319,55532) 6，eq o(a,sup8()eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()eq o(x,sup8()1，则经济收入y关于x的经验回归方程为eq o(y,sup8()6x1，当x10时，eq o(y,sup8()61，则2025年时该地区的经济收入大约为61百万元 考点三知识交汇型问题 eq 典例3(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一

16、轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)

17、，cP(X1)假设0.5，0.8.(i)证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解(1)由题意可知X所有可能的取值为：1,0,1.Peq (avs4alco1(X1)eq (avs4alco1(1)；Peq (avs4alco1(X0)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)；Peq (avs4alco1(X1)eq (avs4alco1(1).则X的分布列如下：X101Peq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)(2)0.

18、5，0.8，a0.50.80.4，b0.50.80.50.20.5，c0.50.20.1.(i)piapi1bpicpi1eq (avs4alco1(i1，2，7)，即pi0.4pi10.5pi0.1pi1eq (avs4alco1(i1，2，7)，整理可得：5pi4pi1pi1eq (avs4alco1(i1，2，7) , pi1pi4eq (avs4alco1(pipi1)eq (avs4alco1(i1，2，7)，p1p0p10，pi1pieq (avs4alco1(i0，1，2，7)是以p1p0为首项，4为公比的等比数列(ii)由(i)知：pi1pieq (avs4alco1(p1p0

19、)4ip14i，p8p7p147，p7p6p146，p1p0p140.作和可得：p8p0p1eq (avs4alco1(404147)eq f(148,14)p1eq f(481,3)p11，p1eq f(3,481)，p4p4p0p1eq (avs4alco1(40414243)eq f(144,14)p1eq f(441,3)eq f(3,481)eq f(1,441)eq f(1,257)，p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4eq f(1,257)0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实

20、验方案合理真题衍生现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推(1)通过三次传球，球经过乙的次数为X，求X的分布列与期望(2)设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为an，求a1，a2；求an，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等解(1)由题意可知，X的可能取值为0,1,2，所以P(X0)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(8,27)，P(X1)eq f(1,3)1eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)1eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)e

21、q f(16,27)，P(X2)eq f(1,3)1eq f(1,3)eq f(1,9)，所以X的分布列为X012Peq f(8,27)eq f(16,27)eq f(1,9)X的数学期望是E(X)0eq f(8,27)1eq f(16,27)2eq f(1,9)eq f(22,27).(2)由题意可知，a10，a2eq f(1,3).由题意可知，aneq f(1,3)(1an1)(n2)，则aneq f(1,4)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(an1f(1,4)(n2)，所以aneq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(1,4)eq bl

22、c(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(n1)，则aneq f(1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(n1)，当n时，aneq f(1,4)，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数eq f(1,4).又因为第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，所以球落在每个人手上的概率都相等，所以球落在乙、丙、丁手上的概率为eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)3eq f(1,4)，故传球次数足够多时，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率都是eq f(1,4).1.本例以药效对比试验为载体，巧妙地将离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题融入一体，较好的考查了概率统计及数列的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高2由于随机变量对应的概率P0,1，故该类问题