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1、高等数学课件14高等数学课件14 本节主要讨论函数极限的性质，数列极限的性质可以平行地得到。函数极限的性质主要包括一、唯一性二、局部有界性三、局部保号性四、归并性本节要点 本节主要讨论函数极限的性质，数列极限的性质可以本节要定理1 (极限的唯一性)如果极限存在，则极限是唯一的.证 （仅证数列的情况，函数的极限性质的证明可以平行地得到.）设 且 假如因为 当取 时， 当 时，有定理1 (极限的唯一性)如果极限存在，则极限是唯一的.取 则当 时有，这是矛盾的，所以因为 当取 时， 当 时，有取 定理2 (局部有界性)如果极限 存在 ，那么在 的某个空心邻域内，函数 有界.即： 在 的某个空心邻域内

2、有界.证 设 ，由定义，对 存在 当，即 有定理2 (局部有界性)如果极限 局部有界的几何意义 从图中可以看出局部有界的含义：函数 在 处的极限为 ，则存在点x0的一个空心邻域 当点 在该邻域中，对应的函数图形在某一个带形区域中，而该邻域外的点所对应的函数图形，则可能呈现无规律的变化状态.xyoA+1A-1A局部有界的几何意义 从图中可以看出局部有界的含义：函数定理 (有界性)如果极限 存在 ，那么存在使得对所有的 ，有推论 若数列 无界 ，则极限 不存在.证 设 ，由定义，对 存在 当时，有 从而取 ，则对所有的 ，有 。定理 (有界性)如果极限 定理3 (极限的保号性)如果 ，则存在点 的

3、某个空心邻域内，使得在该领域中有：当 时，有证 设 ，由定义，对 存在xyo3A/2A/2A定理3 (极限的保号性)如果 推论 在 的某个空心领域中，有 且则例 时 但 注意：如果推论的条件改成 （严格大于），则不能推出 推论 在 的某个空心领域中，有 证 设 ，则存在 当 有设 存在，又设 是函数 定义域中的一个任意数列， 且则此数列相应的函数值数列 收敛，且定理4(函数极限的归并性)证 设 ，因而即 此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到两个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函数在这一点无极限.又因 故对 ，存在 ，当 时，有 即因而即 此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到高等数学课件14证 令则但所以 不存在.例 证明函数 在 时极限不存在.证 令则但所以 不存高等数学课件14 对于数列，相应的归并性定理为所以， 不存在.定理 设数列 存在，则对于 的任一子列有 用此定理，即可说明数列 的极限不存在。事实上： 对于数列，相应的归并性定理为所以， 则， 值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明的存在，但对数列，若数列 的两个子列 满足：则， 值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明 思考：对于数列而言，这个性质说明的本质问题是什么？ 你是否能给出一个一般结论并证明之

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