等差等比数列中的子数列问题上课讲义

1、等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列bn是由数列 an的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列bn是数列an的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、 学生举例：（1）设an a（a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2） an n 中有子数列 bn 2n 1,bn 2n,bn 5n 等。391（3） ann 1中有子数列bn 3n 1, bnn 等222小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、 从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之 间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k ）

2、的项仍然成等差数列。（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3 证明结论：设an是等差数列，d是公差，若am, an是子数列的相邻两项，an am （n m）d ,当n m k为常数时，an am （n m）d kd也是常数。三、讨论等比数列是否存在等比子数列1、学生举例：（1）设an a（a为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2） an 2n中有子数列bn 22n 1和bn 25n等。1 n 1（3） an 2（3）n1中有子数列bn 2小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之

3、间的关系，从而得出结论：（1） 等比数列中下标成等差数列（公差为k ）的项仍然成等比数列。(2)新的等比数列的公比等于 k个原等比数列的公比的积。3证明结论：设an是等比数列，q是公比，若am, an是子数列的相邻两项，a nn mq ,a mn mk为常数时，亚qnm qk也是常数。am四、讨论等差数列是否存在等比子数列n 1n 11。学生举例：an= n中有子数列bn = 2 和bn = 3 等。(自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到)2 给出一个例子一起研究。例1 已知：等差数列 an ，且 an 3n 1 。问：等差数列 an 中是否存在等比子数列 cn

4、？(1) 写出 an 的一些项：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,，学生 尝试后找出结果有： 2,8,32,128,512，2 4n 1；2,14,98,686,4802,，2 7n 1 ; 2,20,200,2000, ， 2 10n 1; 5,20,80,320, ， 5 4n 1 ; 2,26,338,2 13n 1猜想： Cn2 4n 1 : Cn 2 7n 1 : Cn 210n1 :5 4n 1 :n1Cn 2 13n 1( 3)提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考： 通过演绎推理证明猜想为真, 或者找出反例说明此猜想

5、为假,从而否定或修正此猜想。( 4) 学生分组证明猜想分析： 2 4n 1 的项被 3除余 2,从而得出利用二项式定理证明的方法。证 1 ：(用二项式定理).2 4n 12 (3 1)n 12 (3k 1) 6k 2(k N)，即 2 4n 1 除以 3 余 2,-Cn是an的子数列。分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合,从而得出利用数学归纳法证明的方法。证 2：(数学归纳法) 当 n=1 时, C12311a1 假设当 n=k 时,Ck22k 13m1am(mN )，那么当n=k+1时，ck 122(k 1) 1 22k 1 422k14(3m1)3 (4m1) 1*4m 1 由、得Cn

6、是an 的子数列。( 5)同理证明 Cn27n 12 (61)n1 3k2,k N;Cn 2 10n 12(91)n 13k2,kN,Cn5 4n 15 (31)n 1 3k 2,n1k N;Cn 2 13n12(121)n13k2,kN.（6）引申：让学生找规律一一以 an中任一项为首项，以 3k 1（k N）为公比的等 比数列均是该等差数列的等比子数列（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步 证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在 等比数列？例2已知：数列

7、an是首项印 2,公差是d的等差数列。数列 bn是等比数列，且 bi ai,b2 a2。问：是否存在自然数 d，使得数列bn是数列an的子数列？如存 在，试求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。- a2是奇数，.公比 里 为分数，则bn 2 （皂）n1从第三项开始就不是自然数22取 d=2,a n :2,4 ,6,8,，bn:2,4, 8,16，an2n ,bn2n,2n是偶数，d=2时，数列bn是数列an的子数列取 d=4,an : 2, 6,10,14, 18，,bn:2,6, 18, 54, , an4n2,bnn 12 3n 12 (4 1)

8、2(4k 1)4 2k2( kN) , d=4时，数列bn是数列an的子数列。同理d=6时，数列bn也是数列an的子数列。由此猜想当d 2m(m N)时，数列 S 是数列a.的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法 证明。证 1 ：(用二项式定理)在an中，ai2,d2m, an 2(n 1) 2m.在bn中，bi =2,b22 2m,q 21 m,bn 2 (1 m)n 1。令 b k a n (k 3),则k 1k 1k 11k 22 (m 1)=2 (n 1) 2m. (m 1)1 (n 1) m,m Ck 1 mCk 12 m 1 1 (n 1) m，可解出 n 1 mk 2 C： 1

9、mk 3 C：；N,即 bk为an中的某一项。证2:(数学归纳法)当 n=1时，b1a1 ；假设bk是an的第p项，即2 (m 1)k 12 2m( p 1),则 bk 1 bk(m 1)2 2m( p 1) (m 1)=2+2mm(p 1) p 1 1即bk 1是a.中的第m( p-1 ) +p+1项。由、得，数列bn是数列an的子数列。二是子数列小结：这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定,并非要前面两项相同五、课后思考（1）例 2 中，若 a13 呢（d 3m, m N） ?-J（2）若a1不确定呢？ （ 一 N） ?ai（3）等比数列是否存在等差数列？奉贤区致远高级

10、中学高二数学竞赛试题(2006 年 5 月)一、填空题(本题16小题，每小题4分，共64分)函数f(x) log 1osx在x (0,2 )时的单调递增区间是 .2 一个等差数列共有 12项，前4项的和是10,后4项的和是4,则中间4项的和是 定义在R上的奇函数f(x)，在0,上是增函数，若f(1) f (x 1),则x的取值范围是 已知函数f(x) , x2 3x 2 . x2 5x 6，则函数f (x)的最大值与最小值之差是函数y cos(sin x)的值域是 已知n个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(3,4),则其余(n 1)个向量和的模是2f- 若sin 是方程x V3x 1

11、0的根，则sin 2()的值是4 若双曲线x2 y2 1的右支上有一点 P(a,b)到直线y x的距离为 2 ,则a b 如图，正四面体 ABCD的棱长为6cm，在棱AB,CD上各有一点 E,F，若AE 1cm,CF 2cm，则线段EF的长为cm10设正三棱锥底面的边长为 a,侧面组成直二面角，则该棱锥的体积等于 11如图所示，在两面竖直墙壁 AB和CD之间的一点P放一个梯子，梯子靠上AB 时，与地面成750角，靠上CD时，与地面成45角。已知墙 AB的高度为7m , 那么两墙之间的距离为m12.三角形的边长分别为J2, J3,4&则能将它完全覆盖的最小的圆的面积是 13.如果方程 x2 4x

12、 6 a有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是14定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且 3!2,公和为5，那么3!8的值为 ,这个数列的前n项和Sn的计算公式为 2 2一个正三角形 ABC内接于椭圆- y 1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A94的高在Y轴上，则此正三角形的边长为 对任意实数 x, y,函数 f(x)满足 f(x) f(y) f(x y) xy 1,若 f(1) 1 ,则对负整数n, f (n)的表达式为 二、(本题12分)已知数列an中，an 2an 1

13、n(n Z且n 1)，若an是等差数列，求 an的通项公式；an能否为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式，若不能，说明理由三、(本题12分)设f (x) ax2 bx，求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正数b，使f (x)的定义域和值域相同四、(本题12分)2设A(X1,yd B(X2, y2)两点在抛物线y 2x 上, l是AB的垂直平分线。 当且仅当捲 X2取何值时，直线I经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论；当直线I的斜率为2时，求I在y轴上截距的取值范围参考答案,亠，5172 . 3n为奇数时，Snn515.n 2231解：(1 )设公差为d，则由an16. f(n)n2

14、 3n 222an 1 n，得 al(n 1)d2a1 (n 2)d即 a-i 3d n(d1)0(n Z,n1) (?)当 d 10 且 a1 3d 0，即 d1,a13时，(？)恒成立，所以an的通项公1.(。2)；2. 7 ；3. x0或x2;4. 0;5. COS1,1 ;6.5;7.、214;18.-;9.-23;1310. a ;265n ,当11.7 ;12.3;13.a2 6,14. 3,当n为偶数时，Sn22式为 ana1(n 1)d(2)若an是等比数列，设公比为q，则由 an 2an 1 n 得2a12,2ag 2a1q 3 解得 a4,q2，但不满足ag2a1q 4，所

15、以不可解:若a 0，则对每个正数b , f (x) Jax2 bx的定义域和值域都是0,，故a0满足条件；若a0 ,则对正数 b ,f (x) vax2 bx 的定义域Dxax2 bx0 =,-0,，但f (x)的值域A 0,a，故DA,能是等比数列即a 0不符合条件;若a 0，则对正数b， f(x)ax2 bx的定义域Db0,-，由于此时(f(X) maxf ( ) b_，故 f(x)的值域是 0, b_2a 2、 a2、 ab ba 2、 aa 02、 a a a4，综上所述a 0或a 4四、解：（1） F lFA FBA, B两点到抛物线的准线的距离相等,抛物线的准线是 x轴的平行线,yi 0, y20,依题意，,丫2不同时为0,2 2上述条件yiy2XiX2(Xi X2)(X