数字信号处理复习

1、n=1.有一信号y(n),它与另两个信号关系是:x(n)和x(n)的12y(n)=x1(n+3)*x(一n+1)其中厂1、nf1)x(n)=u(n)x(n)=1L2J2L3J1Zanu(n)zl|anu(n)已知利用z变换性质求y(n)解：根据题目所给条件可得：=，1一az-1的z变换Y(z)。11-z-12111-z-13z311一z-121X(z-1)=-211z3z-11)11z3y(n)x(n+3)*x(一n+1)12所以Y(z)Ztx(n+3)Ztx(-n+1)1z3z-1=111一z-11z233z321(z一3)(z一一)2分析：(1)注意移位定理：x(n)分X(z)x(-n)分

2、X(z_1)x(n+m)分zmX(z)x(一n+m)Hz-mX(z-1)(2)y(n)=x1(n)*x2(n)则Y(z)=X1(z)X2(z)。2.求以下序列x(n)的频谱X(eje)。5(nn)(2)e_anu(n)0(3)e_(a+je0nu(n)(4)e_anu(n)cos(en)解：对题中所给的x(n)先进行z变换再求频谱得：(1).X(z)=ZL(n)=Z15(nn)0=z-n0X(eje)=X(z)|z=eje(2).X(z)=Z*e-anu(n)1_e_az_1X(eje)=X(z)1.z=ej11e_ae_je(3).X(z)=ZT_(a+je0)nu(n)1e-(a+je0)

3、z-1(4)X(eje)=X(z)|.X(z)=Zanu(n)cos(enJ.01-z-1e-acose=o1-2z-1e-acose+z-2e-2a0X(eje)=X(z)I.z=eje1一e_jee_acoseo1_2e_jee_acose+e_2jee_2a分析：0可以先求序列的Z变换X(z)再求频率X(eje)X(eje)=X(z)L=e乙=eje即X(eje)为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换X(ej)=兰x(n)e-jn3.若x(n),x(n)是因果稳定序列，求证：122证明:JX(ejro)X(ejro)dro12兀12nnJX(ejro)droJX(ejro)dro

4、12设y(n)=x1(n)*x2(n)则Y(z)=X1(z)-X2(z)/.Y(ej)=X(ej)X(ejro)121n2n一nJX(ejro)X(ejro)ejrondro122一J兀Y(ejro)ejrondroy(n)x(n)*x(n)122一X(ej)X(ej)d122兀一兀x(0)=12一X(ejro)dro1JX(ejro)dro22一2冗nX(ej)X(ej)dro12=x(n)*x(n)|12n=0nx(k)x(nk)12=x(0)x(0)122兀一兀.x(n)=丄JnX(ejro)ejro”dro-111fnx(n)=X(ejro)ejrondro221=2冗n2n_nx(n

5、)*x(n)12而x(n)*x(n)|12n1nJKX(ejro)X(ejro)ejrondro22nn10=x1(0)x2(0)1兀2n一nJX(ejro)X(ejro)dro,12再利用x(n)、x(n)的傅里叶反变换，代入n=0即可得所需结果。1221n一821n一84.设X(ej)是如下图所示的x(n)信号的傅里叶变换,不必求出x(ej)，试完成下列计算：(a)X(ej0)(b)f“X(ej)d一兀(c)2X(ej)d(d)dX(e)2d一兀一兀解：(a)X(ej0)乙x(n)e-j0nn=_gn二一(b)fX(ej)d=一冗X(ej)ej0d一兀x(0)4兀(c)由帕塞瓦尔公式可得:

6、为|x(n)|lx(n)28兀一冗(d)X(ej)乙x(n)e-jnn=-8dX(ej)寸乙(一jn)x(n)e_j”dn=-8d即DTFT(一jn)x(n)=X(%)由帕塞瓦尔公式可得：2兀乙I(-jn)x(n)I2兀n=_g2兀(9+1+0+1+9+64+25+0+49)316兀分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式5.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(b)求此系统的单位抽样响应；(C)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)

7、系统的单位抽样响应。解：(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：Y(z)=z-iY(z)+z-2Y(z)+z-1X(z)X(z)1-z-1-z-2(z-a/(z-aJ零点为Z=0，极点为z=a1=0.5+41)=1.62z-1z=a2=05JG)=-0.62因为是因果系统，所以lzl1.62是其收敛区域。(b)因为H(z)=(z-a)(z-a)2a-a12zaza12所以a-a1211-a1z-11-a2z-1g一乙anz-n2n=0乙anz-n1-n=0hn-a(n)-a122=-0.62的收敛区域不包括单位圆，故这是个不h(n)=a1a=1.62,a1H(z)a-a121(式中由于稳

8、定系统。(c)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选H(z)的0.62|z|1.62，贝I收敛区域为|a|za，即1中第一项对应一个非因果序列，1H(z)=a-a12z一az一a12而第二项对应一个因果序列。1H(z)=一a-a12贝U有h(n)=Cnu(-n-1)+anu(n)a-a1221r=-0.447xL(1.62)nu(-n-1)+(-0.62)nu(n)从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。所以-Xganz-n-Xanz-n12n=-gn=0分析：x(n)分X(z),h(n)分H(z),y(n)分Y(z)则H(z)=Y(z)/X(z)=Zh(n)，要求收敛域必须知道零

9、点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统(不一定稳定)，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统(不一定因果)。6.研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足y(n一1)y(n)+y(n+1)=x(n)3并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：10z_1Y(z)-Y(z)+zY(z)=X(z)3则：H(z)=Y(z)X(z)110z-1一+z31(z-3)(z-)3极点为为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取1/3Izl3。利用上题(c)的结果，a=3,a=1/312即可求得3(1)nh(n)=一一3nu(一n一1)

10、+u(n)813丿分析：在Z变换域中求出H(z)=Y(z)/X(z)然后和题12(c)一样分解成部分分式分别求Z反变换。7.令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换证明：如果x(n)满足关系式x(n)=一x(N一1-n),贝IX(0)=0;证明：当N为偶数时，如果x(n)=x(N一1-n),N贝IX()=0。2证明：N一1如果X(k)=工x(n)Wnk,0kN一1Nn=0当Ix(n)=一x(N一1一n)时X(k)=为一x(N一1一n)R(n)WnkNNn=0=x(N1n)R(n)Wk(N1n)Wk(N1)NNNNn=0=为x(n)WnkWk(N-1)NNn=0X(k)=X(一k)R(

11、k)Wk(N一1)NNN当k=0时X(0)=X(0)=X(0)X(0)=0仿照(a)当x(n)=x(N1n)时，可得：X(k)=土x(N1n)R(n)WnkNNNn=0=X(k)R(k)Wk(N1)NNNN当n=(N为偶数)时，2j(N1)X(廿)=X(N)R(廿)eN222NN2由N为偶数，则有ejN2(n1)=e-加(n-1)=1所以X(N)=X(N)=X(NN)=X()2222所以X(卄)=028.设有两序列0,其他n0n14其他nDFT相乘,再求乘积x(n),Iy(n),y(n)=各作15点的DFT,然后将两个0,的IDFT,设所得结果为f(n)，问f(n)的哪些点对应于x(n)*y(

12、n)应该得到的点。解：序列x(n)的点数为N=6,y(n)的点数为N=1512故x(n)*y(n)的点数应为：N=N+N一1=2012又f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L=15所以，混叠点数为N一L=20一15=5。用线性卷积结果以15为周期而延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个周期内在n=0到n=4(=N一L一1)这5点处发生混叠，即f(n)中只有n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。9.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。证明:QTOC o 1-5 h zF=0-02兀fQ HY

13、PERLINK l bookmark22 .II=4FQ00其中Q是以角频率为变量的频谱的周期sQ是频谱抽样之间的频谱间隔。0fQ=-=NFQ00.F0对于本题:f=8KHzN=512s.F08000=15.625Hz51210.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂假定没有采用任何殊数如果采用的抽样时间间(1)最小记录长度;50卩s问直拉据处理措施，要求频率分辨力10Hz,隔为0.1ms,试确定所允许处理的信号的最高频率;TOC o 1-5 h z(3)在一个记录中的最少点数。解：.T=而F丄s-PFp10:.最小纪录长度为0.1s11(2)f=x103=10KHzsT0.11

14、f2ffVf=5KHz.shh2s允许处理的信号的最高频率为5KHzT0.1(3)N亠=x103=1000,又因N必须为2的整数幕T0.1一个纪录中的最少点数为：N=210=102411.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需每次复加5卩s，用它来计算512点的DFTx(n),计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。解：直接计算：复乘所需时间：T=5x10-6xN21=5xx10-65122=1.31072s复加所需时间：T=0.5x10-6xNx(N1)2=0.5x106x512x(5121)=0.130816sT=T+T=1.441536s12用FFT计算：复乘所需时间：T=5x10

15、-6xnlogN122=5x10-6x5TTxlog51222=0.01152s复加所需时间：T=0.5x10-6xNxlogN22=0.5x10-6x512xlog5122=0.002304sT=T+T=0.013824s12分析：本题解题的要点：直接利用DFT计算：复乘次数：N2，复加次数：N(N-1)利用FFT计算：N复乘次数：ylog2N，复加次数：Nlog2N。12.已知X(k),Y(k)是两个N点实序列x(n),y(n)的DFT值，今需要从X(k),Y(k)求x(n),y(n)值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。分析：我们来组成一个新的序列X(k)+jY(k)则

16、有IDFTX(k)+jY(k)=IDFTX(k)+jIDFTY(k)=x(n)+jy(n)，它的实部即为实序列x(n)，虚部即为实序列y(n)。解:依据题意x(n)oX(k);y(n)oY(k)取序列Z(k)=X(k)+jY(k)对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n).又根据DFT性质：IDFTX(k)+jY(k)=IDFT(X(k)+jIDFTY(k)=x(n)+jy(n)由原题可知：x(n)，y(n)都是实序列，再根据z(n)=x(n)+jy(n)可得：x(n)=Rez(n)y(n)=Imz(n)综上所述，构造序列Z(k)=X(k)+jY(k)可用一次N点IFFT完成计算x(n),y(n

17、)值的过程。13.用直接I型及典范型结构实现以下系统函数H(z)=3*4.22*88亠2+0.6z-(0.3z-1+0.2z-2)一0.4z-2解：H(z)=1.5+2.1z-1+0.4z-21+0.3z-1一0.2z-21.5+2.1z-1+0.4z-2M乙bz-mnH(z)=N1-乙az-nnn=1a=0.3，a=0.212b0=1.5，b=2.1，分析：注意系统函数H(z)分母的b=0.4z0项的系数应该化简为1。分母z-i(i=1,2,)的系数取负号，即为反馈链的系数。14用级联型结构实现以下系统函数H(z)二4(z+1)(1.4z+D(z-0.5)(z2+0.9z+0.8)试问一共能

18、构成几种级联型网络。解：1+Pz-1+Pz-22k-1-az-1-az-21k2k4(1+z-1)(1-1.4z-1+z-2)(1-0.5z-1)(1+0.9z-1+0.8z-2)A=4p=1,11a二0.5,11由此可得：p=0,21a二0,21采用二阶节实现，p二一1.4,12a二一0.9,12还考虑分子分母组合成二阶P二122a二一0.8221-丄z-1+6zI2丿-2z-11+-z-1”-z-1)一阶)基本节的方式，则有四种实现形式。分析：用二阶基本节的级联来表达(某些节可能是一阶的)。15.给出以下系统函数的并联型实现。H(z)=m58z_+141z2-1，6z彳(10.5z-1)(

19、1+0.9z-1+0.8z-2)解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：H(z)=Xi58L+1，41z2-1z3(10.5z-1)(1+0.9z-1+0.8z-2)用横截型结构实现以下系统函数：=4+1-0.21+0.3z-10.5z-1+1+0.9z-1+0.8z-2.G=40a=0.5,a=0，a=-0.9,a=-0.811211222Y=0.2,Y=0，Y=1,Y=0.301110212分析：注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的，这是因为系统函数化为部分分式之和，分子的z-1的最高阶数比分母z-1的最高阶数要低一阶，如果分子、分母多项式的z-1的最高阶数相同,则必然会

20、分解出一个常数项的相加(并联)因子。解：1H(z)=(1z-1)(1+6z-1)(12z-1)21X(1+z-1)(1z-1)61=(1-z-1-2z-1+z-2)21x(1+z-1+6z-1+z-2)(1-zt)65=(1-z-1+z-2)237x(1+z1+z2)(1z1)68205205=1+z1z2+z3312128z-4-z-53分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。17.已知FIR滤波器的单位冲击响应为h(n)=5(n)+0.35(n-1)+0.726(n-2)+0.115(n-3)+0.125(n-4)试画出其级联型结构实现。解：N-1根据H(z)=乞h(n)z-n

21、得：n=0H(z)二1+0.3z-1+0.72z-2+0.11z-3+0.12z-4=(1+0.2z-1+0.3z-2)x(1+0.1z-1+0.4z-2)而FIR级联型结构的模型公式为：N_2_H(z)=n(卩+卩z-1+卩z-2)0k1k2kk=1对照上式可得此题的参数为：P=1,01B=0.211B=0.3P=1,02,B=0.112,B=0.4分析：2122级联型是用二阶节的因式乘积表示。18.设某FIR数字滤波器的系统函数为:1122H(z)=(1+3zj+5z-2+3z-3+z-4)5试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件可知：13h(n)=6(n)+6(n1)+5(n2

22、)5531+5(n3)+5(n一4)55,1则h(0)=h(4)=0.253h(1)=h(3)=0.65h(2)=1N1即h(n)偶对称，对称中心在n=22处,N为奇数(N=5)。分析：FIR线性相位滤波器满足h(n)=h(N-1-n)，即对n=(n-1)/2呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。19.用冲激响应不变法将以下H(s)变换为H(z)，抽样周期为Tas+aH(s)=a(s+a)2+b2(2)H(s)=,n为任意正整数a(ss)n解:(1)s+aH(s)=a(s+a)2+b211+e-(a-jb)tu(t)s+a+jbs+ajbh(t)a由冲激响应不变法可得：h(n)=Th(nT)(a

23、+jb)nT+e(a-jb)nT(n)H(z)=工h(n)z-n21eaTe-jbTz11eaTejbZ11-e-aTz-1cosbT1-2e-aTz-1cosbT+e-2aTz-2先引用拉氏变换的结论LC=n!可得：HA(s)=(s-s)n0则h(t)aAes0”tn-1u(t)(n-1)!h(k)=ThaAes0灯(kT)n-1(Tk)=T-(n-1)!u(k)1-az-1且kx(k)宀-zdX仪dz可得H(z)=乞h(k)z-kTn-1g=TAL(n-1)!k=1kn-1(z-1es0T)kATn(n-1)!(-z)n-1(-dz1-esoTz-J可以递推求得：AT1-es0Tz-1AT

24、neS0Tz-1n=2,3,(1-es0Tz-1)n分析：冲激响应不变法满足h(n)=h(t)|=h(nT)，at=nTT为抽样间隔。这种变换法必须H(s)先用部分分式展开。a第(2)小题要复习拉普拉斯变换公式n!Ltn=Sn+1ha(t)=a可求出Aes0ttn1u(t)oH(n1)!h(k)=Th(t)=Th(SS)n0(kT)，at=kTkx(k)ozdX(z)dz，则可递推求解。20.已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：H(s)=-1+1.4142136s+s2而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的h(s)中的s变量用2兀x50来代替9.8696044x10

25、4sH(s)=H()=aa100兀s2+444.28830s+9.8696044x104设系统抽样频率为f=500Hz，要求从这一低通模拟滤波器s设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。解:根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：1G(s)=H(s)asa9.8696044x104s(s2+444.28830s+9.8696044x104)1(s+222.14415)+222.14415s(s+222.14415)2+(222.14415)2由于Qo(s+a)2+Q20LC-a(sinQt)u(t)L0LC(cosQt)u(t)L0(s+a)2+Q20Lu(t)=s故g(t)=

26、L-1g(s)aa=1e-222.14415tsin(222.14415t)+cos(222.14415t)u(t)则g(n)=g(nT)a=1e-222-14415nTsin(222.14415nT)+cos(222.14415nT)u(n)利用以下z变换关系：Zx(n)=X(z)-naTx(n)LX(eaTz)zsinaTz22zcosaT+1z2一zcosaTz2一2zcosaT+1Zlu(n)=-z1且代入a=222.14415=2x10-3s11T=f500s可得阶跃响应的z变换G(z)=ZLg(n)J_zz20.30339071zz1z21.1580459z+0.411240700

27、.14534481z2+0.10784999z(z1)(z21.1580459z+0.41124070)由此可得数字低通滤波器的系统函数为：z1H(z)=G(z)z0.14534481z-1+0.10784999z-211.1580459z-1+0.41124070z-2分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，g(n)=g(t)=g(nT),at=nTa由模拟系统函数Ha(s)变换成数字系统函数的关系式为：z1ZL-1邑也st=nT还要用到一些变换关系式。21.设有一模拟滤波器抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数h(z)解：由变换公式及=T

28、T=2时：1一z-1s=c-1+z-1可得：1-z-1s=一1+z-1H(z)=H(s)|a1z1丄心s=1+z-11(1+z-1)23+z-2分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象,1z-1变换关系为s=c1+z-122.要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：1s2+1.4142136s+1则将s=乡；代入得出截止频率c为Q的模拟原型为c1TOC o 1-5 h zH(s)=-ass()2+1.4142

29、136()+1200兀200兀394784.18s2+888.58s+394784.18由双线性变换公式可得：H(z)二H(s)1a21z-1s=-0.064(1+2z-1+z-2)11.1683z1+0.4241z2T1+z-1394784.181z-11z-1(2X103)2+888.58X(2x103)+394784.181+z11+z1分析：双线性变换关系同上题，先要用归一化的巴特沃思滤波器(。=1)。利用s=s/。关系代入其中cc得到截止频率为的模拟巴特沃思滤波器，然后c变换成数字巴特沃思滤波器。23.令h(t),s(t)和H(s)分别表示一个时域连续的线性时不变滤波器的单位冲激响应

30、,单位阶跃响应和系统函数。令h(n),s(n)和H(z)分别表示时域离散线性移不变数字滤波器的单位抽样响应，单位阶跃响应和系统函数。(1)如果h(n)=h(nT)a是否s(n)=Zh(kT)？a(2)如果s(n)=s(nT)，a解：(1)是否h(n)=k=s?h(nT)？a因为s(n)=u(n)*h(n)其中u(n)=(k)k=-8故s(n)=X6(k)*h(n)=nXh(k)k=k=8又h(n)=h(nT)a所以有s(n)=Xh(kT)ak=8解:(2)由s(n)=为6(k)*h(n)k=8n=Xh(k),k=8有：s(n)s(n1)=h(n)若s(n)=s(nT)a则sa(nT)sa(n1

31、)T=h(n)(1)nT又s(nT)-s(n-1)T=Jh(t)dt(n-1)Ta2)nTh(t)dt丰h(nT)aa由(1),(2)两式可得：(n-1)T分析：本题解题关键知识点：由h(n)导出s(n):s(n)=u(n)*h(n)由s(n)导出h(n):h(n)=s(n)一s(n一1)24.判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期:(a)x(n)=Acos(b)x(n)=13Asin(冗n)3(c)x(n)解：(a)x(n)=Acos(n7/0=耸=T是周期的,周期为14。(b)x(n)=Asin(13兀n)32兀/=2兀/13兀03613是周期的，周期是6。j(c)x(

32、n)=en6-兀)=cos(一冗)+jsin(一冗66-cos2冗/0=12冗是非周期的。jsin66T是无理数25.试判断:(1)y(n)x(m)m=-gx(n)y(n)(3)y(n)x(n)sin是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?nEx(m)m=gTx(n)=1解：(1)Ex(m)y2()=Tx2()=1m=gEnx(m)2m=gay(n昇by(n)=Elax(m)+bx(n)1212m=gT(ax(n)+bx(n)=Eax(n)+bx(n)1212Tax(n)+bx(n)=ay(n)+by(n)1212:.系统是线性系统y(n)=Tx(n)=x(n)2y(n)=x(n

33、)2111y(n)=Tx(n)=x(n)2222ay(n)+by(n)=ax(n)2+bx(n)21211Tax(n)+bx(n)12=ax(n)+bx(n)212=ax(n)2+bx(n)2+2abx(n)x(n)1212即Tax(n)+bx(n)丰ay(n)+by(n)1212:.系统不是线性系统Tx(nm)=x(nm)2y(nm)=x(nm)2即Tx(nm)=y(nm)系统是移不变的解：(3)(2)移不变的？nTx(n)=工x(k)k=n0Tx(n)=ex(n)TOC o 1-5 h zy(n)-x(n)sin+(7)/、()$,/y(n)=xvn丿sm+-127)y(n)=xvn丿sm

34、+-2、丿297ay(n)(n)12ax(n)sin(2+)+97bx(n)sin(2+)97Tax(n)+bx(n)12lax(n)+bx(n)sin(2+)1297即有Tax(n)+bx(n)12二ay(n)(n)12系统是线性系统/Tx(n一m)=x(n一m)sin+y(n一m)=x(n一m)sin+9即TL(n一m)=y(n一m)系统是移不变的26.试判断以下每一系统是否是(1)线性,(1)Tx(n)=g(n)x(n)(2)Tx(n)=x(n一气)(4)解：( #)解：( )TLx(n)=g(n)x(n)TLax(n)+bx(n)12=g(n)ax(n)+bx(n)12=g(n)xax(n)+g(n)xbx(n)12=aTx(n)+bTx(n)12系统是线性系统。TLx(n-mg(n)x(n-m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)即TLx(n-my(n-m)系统不是移不变的。解：(2)Tx(n)=为x(k)k=nTtax(n)+