数学建模实例人口预报问题

1、 /5数学建模实例：人口预报问题问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1美国人口统计数据年（公元）1790180018101820183018401850人口（百万）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百万）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）19301940195019

2、60197019801990人口（百万）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出.1假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.Xt）建立模型：记时刻t=0时人口数为x0时刻t的人口为，由于量大，Xt）x甸视为连续、可微函数t到t+At时间内人口的增量为：xC+At)-xC)=rxtJAt于是xQ满足微分方程：dxI=rx1）5dtIx(0)=x03模型求解：解微分方程（1）得x(t)=x0ert2）表明：tS时，x（t）（r0

3、）.4模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307.5模型检验：将x0=3.9，r=0.307代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4187038.6实际人口万）7.31.410.04.213.76.218.79.425.610.

4、335.010.847.8238指数增长模型预测人口（百|误差（）188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增

5、长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.阻滞增长模型（Logistic模型）1假设：(a：Q的函数Q(减函数)r(x)=r-sxr,s0，最简单假定线性函数），r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量xm2建立模型：x=x当m时，增长率应为0，r(xm)=0，于是r0=r-sx得.r1一r(x)=3）将（3）式代入（1）得：模型为：dx=rdtx(0)=x0l-上(xm丿4）5） /53模型的求解：解方程组（4）得1+%-1e-rtx0dx根据方程（4）作出云x曲线图，见图1-1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果

6、（5）作出xt曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r和xm拟合得：r=0.2072,xm=464.模型检验：将r=0.2072,xm=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得x（t+1）=x（t）+Ax=x（t）+r（1-）x（t）t=0,1,2,（6）xm用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较年实际人口阻滞增长模型公式公式（6） /5（百万）预测人口（百万）误差（）预测人口

7、（百万）误差（）17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.26140.00856.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.96870.38314

8、3.53290.1328189062.938.09860.394356.18840.1067190076.046.86990.383370.14590.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.287.26740.2917118.95090.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.79780.01261960179.3162.48350.0938170.27650.05031970204.0199.89190.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.