第六大数定律与中心极限定理演示文稿

1、第六大数定律与中心极限定理演示文稿第一页，共三十三页。优选第六大数定律与中心极限定理第二页，共三十三页。1.切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对任意的正数，不等式或成立.第三页，共三十三页。利用切比雪夫不等式可以估计一些随机事件的概率。例1 设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数为n=10000,p=0.7的二项分布，则有而用切比雪夫不等式估计E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(680

2、0X7200)=P(|X-7000|0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其较精确的概率呢？这就要用到中心极限定理第四页，共三十三页。2.大数定律 定义1 设Y1，Y2，Yn，, 是一随机变量序列，a为一常数. 若对任意给定正数0,有则称随机变量序列Y1,Y2 , Yn, , 依概率收敛于a 定义2 设X1，X2，Xn， 是一随机变量序列 .若存在常数列an使对任意给定的正数，恒有 , 则称随机变量序列Yn服从大数定律第五页，共三十三页。注意：第六页，共三十三页。切比雪夫大数定理 若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)= D(Xk)= 2 (k=1, 2

3、, )，则对任意的正数 0,有或第七页，共三十三页。注意第八页，共三十三页。证明:（利用切比雪夫不等式）根据已知条件由切比雪夫不等式，有又所以第九页，共三十三页。伯努利大数定理设nA为是n次独立重复试验中事件A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的正数 0,有或第十页，共三十三页。证：设由切比雪夫大数定理,有所以 即那么 相互独立，且服从参数为p的01分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p). 第十一页，共三十三页。辛钦大数定理 若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)= (k=1, 2, )，则对任意的正数 0,有或第十二页，共三十三页。第二节中心

4、极限定理设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为问这个和的极限分布是什么？第十三页，共三十三页。1.独立同分布中心极限定理 若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)= D(Xk)= 2 (k=1, 2, )，则随机变量标准化量的分布函数Fn(x)对于任意x满足第十四页，共三十三页。第十五页，共三十三页。例2 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解：设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：故

5、一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.第十六页，共三十三页。2.李雅普诺夫中心极限定理 若X1，X2，Xn，为独立随机变量序列, ，若存在正数，使当 时， 则随机变量标准化量Zn的分布函数Fn(x)对于任意x满足第十七页，共三十三页。说明：中心极限定理表明无论各随机变量Xk(k=1,2,)服从什么分布，只要满足定理的条件，那么他们的和当n很大时，就近似服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有非常重要地位的一个基本原因第十八页，共三十三页。3.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理定理表明：二项分布的极限分布是正态分布，即 设随机变量 服从参数为n,p的二项分布，则对任意x，有第十

6、九页，共三十三页。小结中心极限定理注第二十页，共三十三页。例3解：所以第二十一页，共三十三页。第二十二页，共三十三页。例4(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.7, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力15千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解 供电所至少要供给这个车间x千瓦的电力, 才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.以X记200台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件X服从参数为200，0.7的二项分布，于是由棣莫弗拉普拉斯中心极限定

7、理有第二十三页，共三十三页。即供电所至少要供给这个车间2392.6千瓦的电力.第二十四页，共三十三页。 例5 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长人数X超过450的概率； (2) 求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.第二十五页，共三十三页。解 (1) 以Xk记第k个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件Xk的分布率为Xk012P0.050.80.15可以计算E(Xk)=1.

8、1，D(Xk)=0.19，k=1，2，400.由独立同分布中心极限定理，得第二十六页，共三十三页。(2) 以Y记由一名家长参加会议的学生人数，则Y服从参数为400，0.8的二项分布. 于是由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，得从而有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率约为0.9938.第二十七页，共三十三页。例6在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.(1) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率. 设，k=1,2, 第二十八页，共三十三页。解（1）设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理第二十九页，共三十三页。欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95.第三十页，共三十三页。（2）在100次抽取中, 数码“0”出现次数为由中心极限定理,其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即第三十一页，共三十三页。=0.6826即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.第三十二页，共三十三页。思考题1.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择