数学建模考查试题

1、 数学建模考查试题提醒注意：本次竞赛共有16道题，三人一组，请在16个题中，任选一题，题目自拟，请按时完成论文，A4纸打印上交，并同时上交电子档于 HYPERLINK mailto: .一、某公司计划在P旅游区的一条河上扩展游船业务。河流的旅游段从A地开始，经过景点B地到达C地结束。其中A地到B地的距离为70公里，B地到C地的距离为90公里。目前有A-B,B-C,A-C三种游船。近几年的数据表明，5月份每天购买A-B，B-C，A-C三种游船的乘坐人数服从正态分布，其中均值和方差由表1给出表1船次购票人数数学期望购票人数方差A-B250462B-C350852A-C6201452游船的票价为每公

2、里1元。根据估算，上座率65%可以保本。如果同时开通三种不同的游船，分析三种游船的最佳业务规模。(业务规模指船的最大载人数量)。为了管理方便和河道的畅通，公司考虑只开通由A至C的游船，而把B作为中间的停靠站。该船同时出售A-B，B-C，A-C三种船票。分析该游船的最佳业务规模。(3)设公司按照问题(2)中求出的最佳规模建造了游船并开始运营。当天票的售票时间为每天的上午8：00-8：30.也可以提前一天在网上订票。公司经理注意到，如果A-B,B-C的订票人数差距过大，会影响游船的上座率。例如，如果游船规模是800人，A-B订票150张，B-C订票530张，则A-C最多出售270张，A-B会空余3

3、80个座。请你给出一个订票策略，尽可能减少空座。二、某景区由5个海岛A,B,C,D,E组成。海岛之间及与大陆港口P的距离由表2给出表2岛屿及港口之间距离（km）ABCDE大陆港口A4621506070B303255115C485390D2195E85每个海岛的游览时间为半天。C,D两个岛屿有旅馆可供住宿。游览的过程为：游船凌晨由港口P出发，每半天游览一个景点。如果行程超过一天，则晚上选择岛屿C或D住宿。游览结束后回到港口P。景点每次接待游客的能力由表3给出表3景点旅游（半天）住宿（每晚）A240B470目前旅行社计划购买大、小两种游船用于旅游。大型可载乘客100人，小型40人。大型游船的每公里

4、客均费用是小型游船的85%，但景点E只能停泊小型游船。客均旅行费用正比于船的行程。游船少载一个人的损失相当于客均旅行费用的1.5倍。（1）旅行社经理希望你综合考虑景点的接纳能力，设计出不超过六种一日游和2日游套餐以及与之相配套的购船计划。使得游览总费用尽可能低。（不考虑游船购置费用）（2）据调查，有50%的游客希望在岛上过夜。但住宿容纳能力明显不足。因此，有人提议在B,C,D三个海岛之一兴建一个新的旅馆。试分析应该在哪一个海岛兴建，规模多大？旅游套餐是否应该作相应调整？三、住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是近几年住宅的价格上涨太快。买房还是租房，于是成了困扰很多人的问题。

5、从租售比的角度看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此对大部分年轻人来讲，比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别。那么到底应该买房还是租房呢？请你以长沙市为

6、背景，建立数学模型，解决下面问题：从一个居住者的角度，分析在长沙市租房和买房哪个合算。请从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素(如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等)，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。根据你们建模分析的结果，给正受到买房还是租房所困扰的人们写一份建议书。四、2011年9月，国家税务局公布了新的个税缴纳方案。网上盛传，年终奖在18000元时，多发1元钱，可能多收1000多元个人所得税。甚至有人以“新个税：年终奖多给1元到手收入或少8万”为标题写出了相关新闻来。(参考网址： HYPERLINK /china2011120

7、/106970.shtml /china2011120/106970.shtml)问题1.那么这样的新闻报到正确吗？请查找税务局关于年终奖个税缴纳计算方法，并加以验证。问题2.那么为什么会出现这样的情况呢？有没有什么方案可以避免上述情况的出现？请找出问题所在，并拟一封给税务局的信，给出你的合理化建议。问题3.在现行税收政策下，个人该如何规划，才能使效益最大化？给出不同情况下，你的不同方案。你的方案必须考虑到实际的可操作性。问题4.完成一篇可供报社发表的小短文，向普通大众介绍你们的研究成果。五、为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，

8、在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.现考虑一座林场，种植香樟树，其中的树木按高度划分成不同的等级，当这些树木被采伐出售时，不同的等级有不同的经济价值。取某一适合的时间作为初始时刻，此时所有的树木，给出一个分布，称之为初始分布。经过一个生长周期后，树木按高度的分布不同了，然而为了使林场能持续存在，要求经过采伐与栽种，树木的高度恢复成原来的初始分布。试建立模型得到既不破坏森林资源，又能给出最优收益的方案。六、太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为

9、这1小时支付80元。订购的食用油可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包食用油的库存成本为每星期11元。（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。（2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为2200元/桶。建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。七、一西部乡镇医院接到一个求救电话，该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故，需要紧急救援。上级领导要求该医院：派12名医护人员前往救援，并且要求医护人员在3小时内赶到。该乡镇距离医院40公里。该医院只有1辆小汽车，连同司机一

10、次最多拉5人（司机不是医护人员），汽车的速度为60公里/小时，试研究以下问题：1、一次一次接送，12名医疗人员能否全部按时赶到？2、为了节省时间，在汽车拉着4人走的时候，其余医护人员步行往前赶，这种方式能否赶到？假定人步行的速度为5公里/小时。3、在没有其它辅助条件的前提下，有没有更快、更保险的方案？八、近几年我国居民活水平有了显著提高，我校有越来越多的教师购置了汽车，为了解决停车问题，在图书馆前面造了一个地下车库。车库面积有限，问题是如何利用车库高效地停车，即在保证安全的情况下，尽可能多地停车。为简单起见，我们假设该车库是一个100 x100米的正方形，见下图出口入口教师的车都是标准的轿车2

11、x3米,车的最小转弯半径为4米，试设计一个最佳停车方案(只考虑平面)。九、随着科学技术的飞速发展，社会竞争日益激烈，创新在人类文明进步中已处于举足轻重的地位。当今时代，创新价值更是日益凸现，放眼全球，各国综合国力的竞争集中表现为科学与技术的竞争，而科学技术的竞争实质是知识的创新与运用能力的竞争。创新能力成为决定一个国家、民族前途和命运的重要因素，正如江泽民同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”，“一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界先进民族之林”。教育部文件明确指出“推进人才培养模式和机制改革，着力培养学生创新精神和创新能力”，并在国家中长期教育改革和发展规划纲要(

12、20102020)中提出了“牢固确立人才培养在高校工作中的中心地位，着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才.”培养和提高全民族的创新素质，已经成为时代对当今教育的新要求，也是提高教学质量的重点和难点.在此背景下，大学生科技创新活动已成为我国高校发展最快、潜力最大的一项学生活动，大力培养大学生的科技创新能力，是高等学校适应时代要求的全新人才培养模式的重要手段和内容，也是高校校园文化建设的新理念。长期以来，四川理工学院始终把培养和提高学生科技创新能力放到重要位置，实行了一些激励机制措施，充分调动了广大师生的积极性，取得许多优异的成绩。但是，校方主管部门也发现了

13、一些的问题，如竞赛活动出现一些“锦标主义”、“功利色彩”等不良现象，致使目前竞赛项目繁多，潜在的影响到正常的教学秩序.为此，校方想通过了解各项竞赛的影响力，对于培养学生创新能力的影响等因素，在经费及资源有限的情况下，拟重点参加20项科技竞赛活动。附件中列出目前学校参加的56项大学生科技竞赛及名称。请你回答如下几个问题：1、调查各项竞赛主管部门、主办单位、初次举办时间、竞赛规模、报名费用、设立奖项类别等信息。2、根据你的调查结果对各项竞赛进行定性、定量分析，并对此分类，根据影响力对各项竞赛进行排序。3、如果校方拟将竞赛控制在20项以内，建立数学模型，为校方提供有益的决策。十、现某民间小额借贷公司

14、，拥有流动资金2000万元，为了规避风险，主要进行有抵押的短期小额贷款，抵押实物主要有汽车（分全额付款与按揭汽车）和房产（分全额付款与按揭房产），它们的贷款利息如表1：表1：实物抵押贷款利息表抵押物产权形式贷款费用折价率月利息付息方式汽车全额付款资产评估与抵押公证等费用1200元，每天停车费20元。市场价70%3-5%月初付汽车按揭资产评估与抵押公证等费用1500元，每天停车费20元。市场价的60%*首付比率6-8%月初付房产全额付款资产评估与抵押公证等费用2400元，市场价80%4-6%月初付房产按揭资产评估与抵押公证等费用2800元，市场价的60%*首付比率7-9%月初付请查找资料，分析民

15、间贷款的现状，结合房产市场和二手汽车（抵押的汽车均为二手车）的价格走势，在贷款合同里已规避了国家规定的利息不高于银行利率4倍的问题，建立该公司风险评估模型，确定折价率和月利息，使得风险最小，收益最高。十一、一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的

16、能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。目前选拔队员主要考虑以下几个环节数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。下表列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况学生专业笔试班级排名听课次数其它情况思维

17、敏捷机试知识面S1数学9622ABAS2电子信息936过计算机三级ABBS3机械924CDCS4机械82104上过建模选修课BBAS5数学823BCBS6电子信息8236ABDS7化工与材料8075CBBS8数学794考过程序员ABAS9电子信息78124学过MATLABACCS10电子信息775学过MATLABABBS11化工与材料766CABS12化工与材料742ACAS13计算机782BADS14计算机765ABAS15计算机666CBB现在需要解决以下几个问题：1根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？2根据上表中

18、信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。3有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。4为数学建模教练组写1份10001500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。十二、某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表1），具体要求如下：1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；2、可用排课教室数为3个（D、D2、D3）;3、同一课程两次课之间至少相隔一天；4、每位教师每天

19、上课不超过四节；5、周四下午全校政治学习，不安排上课。表1：课程周学时班级教师班级教师班级教师班级教师B4ACACACAC111213141B4ACACACAC212223242B6ACACACAC313233444B2ACACACAC415263546B4ACACACAC5152635461）请给出你认为比较合理的班级课程安排表；2)如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解；3)如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解十三、某车间上午8:00开始加工十个零件,这些零件必须依次通过机床M1,M2,M3，其加工时间如下表(单位：分钟)。M1A13B10C20D8E9F19G1

20、1H16I15J13M2M315202018161510614132014161291812779试建立模型求出使总加工时间最短的加工顺序。写出各零件加工起止时间表，求出各机床的等待时间若零件加工还要满足下面条件，零件D必须在零件E之前加工；零件H与零件J的加工必须相连；机床M3加工每个零件等待时间不能超过5分钟，总等待时间不能超过30分钟。试建立模型，重新回答前面两个问题十四、现在有四大电脑品牌：联想，清华同方，惠普，戴尔。你要从上面的四大品牌中购置一台个人电脑。(1)考虑功能、价格、质量、售后服务等方面因素，如何作出决策；(2)如果你比较支持国产品牌，但也不排除选择国外品牌，那么你将如何作

21、出决策。质量：惠普、戴尔、联想、同方售后：联想，同方，戴尔，惠普价格：戴尔、惠普、联想、同方功能：联想、戴尔、同方、惠普十五、举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩和体重之间的关系吗？下面是一届奥运会的竞赛成绩，可供检验你的模型。组别最大体重(Kg)抓举(Kg)挺举(Kg)总成绩(Kg)154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.58991852354209108195235430101

22、08197.5260457.5十六、某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区A1,A2,A8中增设若干所小学，经过论证，备选校址有Bi,B2,，B6，它们能够覆盖的居民小区如下表:备选校址B1B2B3B4B5B6覆盖的居民小区A,A15A7A,A12A,A58A,A,13A5A,A24A8A,A36A,A46A8试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能覆盖所有的居民小区基本要求及说明：1）请注意数学建模的基本步骤、论文的基本格式和评阅标准。2）建立模型，可以不用求解（当然给出解是最好的）。3）论文提交文件名格式：姓名+年级专业.doc。例如：张三2010应数专业.doc。4）论

23、文严禁抄袭，所有选手独立参赛。要求在6月20日前将论文的word文档以附件方式发送至邮箱：oymath163com,同时交一份纸质版交实A-204，欧阳老师.附：数学建模的基本步骤、论文基本格式和评阅标准数学建模的建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术。成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。模型准备：在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据。归纳为一句话：深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。模型假设：在充分消化信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线

24、性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳为一句话：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。模型建立：用数学语言描述问题。根据变量类型及问题目标选择适当数学工具。注意模型的完整性与正确性。模型要充分简化，以便于求解；同时要保证模型与实际问题有足够的贴近度。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。模型求解：就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。模型检验与分析：模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。结果检

25、验：将求解结果“翻译”回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍”程度。误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：建驾建模论文的撰写及格單模型数cr3撰写数学建模论文和通常完成数学建模竞赛的答卷是类似的,都是在完成了一个数学建模问题的全部过程后,把所作的工作进行小结,以有清楚定义的格式写出解法论文,用于交流或给有关部门、人员汇报。数学建模论文的结构：一份完整的答卷应包含以下内容:论文题目摘要；问题的重述；模型的假设、符号约定和名词解释；模型的建立、模型的

26、求解、模型的结果和检验；模型的评价和改进；参考文献；附录。论文题目要能反映出该论文的实质,简单明了、字数不宜过多。1摘要一般为200400字；其内容主要包括建模思想、模型特点、求解方法、主要结果等,其既要概括全文,又要反映出本队的特点；竞赛数学建模的论文摘要极为重要,它是评委们首先看到的,如果摘要写不好,即使下面的内容写的再好也可能被提前淘汰。摘要应具有独立性和自含性,即只阅读摘要,不阅读论文全文,就能获得必要的信息。摘要中要有数据、有结论,是一篇完整的短文,可以独立使用,可以引用,可以用于工艺推广。摘要的内容应包含与论文同等量的主要信息,可供读者确定有无必要阅读全文,也可供文摘等二次文献选用

27、。摘要一般应说明研究工作的目的、实验方法,结果和最终结论等,重点是结果和结论。”对于大学生数学建模竞赛来讲,由于是对同一个问题给出的解答,为了使评阅人较快弄清作者的思路,我们认为摘要还是尽可能详细一些为好。特别是应写清条件、结论、基本过程、关键步骤、要领、所采用的方法以及有哪些特色等。(1)控制好论文摘要的字数,一般应在400字左右。(2)摘要应包括：a.数学模型的归类(在数学上属于什么类型)；b.所用的数学知识、建模的思想、算法思想、模型及算法特点；c.主要结果(数值结果，结论,回答题目所问的全部“问题”)(3)摘要表述要准确、简明、条理清晰、合乎语法。(4)摘要中不应引用正文中的结果，也不

28、应有所引用的参考文献出现，一般也不应有第一人称的语句出现.问题的重述和分析。重述是指对原问题的简要回顾，大多数情况下，问题的重述可以省略。分析则是通过对问题和所给数据的透彻理解，理出建模的清晰思路，明确正确的数学方法。一般情况下，问题的分析尤为重要，它可以使评阅者明晰答卷人的建模思想和所用方法，借以判断答卷人对问题的敏感性和数学建模素质假设。一要抓住实际问题的主要因素，忽略次要因素，为建立模型创造条件，有时候，假设是在建模的过程中才逐渐明确的；二要假设应当“合理”；三要假设确属“必要”；四是原题中已给的假设，一般不再写入。关于假设，公式和叙述的简明性问题。数学建模的假设是否合理是全文清晰叙述的

29、基础，所以一定要经过反复斟酌、挑选，将最重要、最基本的概念，用清晰而严格的语言加以界定或描述。但不少论文中假设太多，如有的论文模型假设条目达二十余条。还有些所作假设含义或界限不清，这就使整篇论文不可能成为层次分明、叙述清楚的好文章。数学建模论文应规范化,符号、公式和文字说明都要求简练而又能说明问题。有些文章使用数学记号达二十多个,而且符号前后也不统一。还有些论文中公式推导或表述过于繁冗,使人难以判断其正确性。有些文章,所给出的数学模型只是一些数学表达式的罗列而缺乏必要的文字说明,基本步骤和主要的推导过程不清楚,使人难以理解。(1)根据题目中条件作出假设;(2)根据题目中要求作出假设;(3)关键

30、性假设不能缺;假设要切合题意、合理。符号说明要注意整篇文章符号一致。模型的建立。一要通过对问题的分析引出建模的思路;通过主要的步骤导出所建的模型,也就是要有建模的过程。二要建成的模型有完整的数学表述,最好能在建成后集中写出来,以免评阅者找来找去。三要注意有时建模是分阶段完成的，即基础模型f中间模型f最终模型。四要注意有时所建的模型相当好,只是求解困难,这样的模型也要写出来。然后设法给出简化的模型以利求解。五要注意一个实际问题可以有多个模型，但不要贪多求全，抓一个或两个有代表性的或能反映本队特点的，建好、解好就足够了。六要注意不要片面地追求“建模的创造性“”模不惊人誓不休”，要知道评卷依据中的“

31、建模的创造性”并非仅指模型要有创造性，而是整个答卷要有一定的创造性，因此，对所建模型的要求是:起码“正确”，进而“更好”。七要注意模型的建立与求解可以分开来写，也可以合在一起写。即可以模型:问题，问题求解：问题，问题也可以问题：模型，求解；问题：模型，求解建立数学模型应注意以下几点：(1)分清变量类型，恰当使用数学工具。(2)抓住问题本质，简化变量之间的关系。(3)建立数学模型时要有严密的数学推理。(4)用数学方法建模，模型要明确，要有数学表达式。模型的求解和结果。一要有算法的设计或选择，给出算法的具体步骤或框图。二要注意计算机实现时，如果是自己编程，程序不一定要打印在附录中，如果是选用数学软

32、件，写出名称即可。三要注意在模型的建立和求解过程中，可能有必要的数学命题，如果是自己给出的命题，应当有证明；如果是引用他人的命题，应当注明出处(并列入参考献)。四要注意中间结果，除非必不可少的，一般不必写入答卷。五要注意最终结果至少要“答为所问”。七要注意有的赛题的最终结果可以甚至应当“超出”赛题的要求。八要注意结果的表述不仅有多样性(公式、表格、图、文字等)，也可有创造性结果的分析和检验。这是答卷中必须包含的一项内容,例如误差分析,稳定性分析等,检验不仅仅局限于数学领域,更要检验在实际中是否“合理可行”,这是数学建模的基本要求之一,切不可忽视。(1)对数值结果或模拟结果要进行必要的检验,若结果不正确、不合理、或误差大时,要分析原因,对算法、计算方法、或模型进行修正、改进;(2)必要时,要对模型进行稳定性分析、统计检验、误差分析,要对不同模型进行对比及实际可行性检验。模型的评价和改进。应当根据所建模型的特点提出中肯的评价,并提出切实可行的改进意见。总之,要实话实说,言之有物。(1)优点突出,缺点不回避。(2)推广或改进方向参考文献。一般只列出几种主要的即可。参考文献要书写规范,