发散级数和正交级数的探讨

1、高等数学小论文发散级数和正交级数的探讨 June 26, 2008 4/4发散级数和正交级数的探讨刘海伟 PB07210219信息学院0702班在初步学习完级数这章后，深深被里面所体现的深刻的数学思想所吸引，也很好的体现出哲学方法论。比如始终贯穿科学研究的方法，化未知的为以已知，用已知去估计未知。即使一个相当复杂的函数都可以通过三角或者幂级数等等简单函数的和形式来表达，真的是很精彩。但是总感觉这里还有很多的东西书上未做出合适的解释或者分析，不痛不痒，吊足了胃口。鉴于本人目前的知识水平，文章中有很多尚未解决的问题，还望老师和亲爱的同学们能够给以指导。正交级数导入：高等数学导论第462页，定义2

2、：若对于在区间a,b上可积且平方可积的任意函数f(x),贝塞尔不等式成为等式k=1ak2=abfx2dx就称函数系nx是完备的标准正交系，等式即为广义的巴赛瓦尔等式，这样，只有nx是完备正交系时，才能得出Snx平方收敛于f(x)，因为这时有limnabSnx-fx2dx=0即函数f(x)可以表示成函数系nx的线性组合fx=n=1annx其中an=abf(x)nxdx这里，教材引入了一个新的定义，函数空间L2:区间a,b上可积且平方可积的复值函数的全体。并且定义了空间的内积和模.如同n维 Euclid空间一样，函数空间L2的完备标准系nx就是这个空间的标准基，anx就是系数。称广义的巴赛瓦尔等式

3、就是函数空间的勾股定理。 仔细分析这里的定义，不难发现，这里的定义其实我们都见过，并不新。见高等数学导论的第12页，有n维欧氏空间的相关定义。将直角坐标系的R3中的点距离公式和向量的模的公式推广到Rn中，设x=(1,2,3,n),，y=(1,2,3,n),为Rn中任意两个元素，称x,y=i=1ni-i2为x和y的距离，称x=i=1ni2为x的模，显然x,y=x-y并且给出了欧氏空间X的3个性质。正定性，对于X中的任意一对元素x和y，都有x,y0；又x,y=0当且仅当x=y；对称性，即对于X中的任意一对元素x和y，都有x,y=y,x.三角不等式成立，即对于任意x,y,zX，都有x,yz,x+z,

4、y这些东西的证明参见教材，在此不再赘余。只是联想到前面级数涉及到的正交系可以模仿此处再定义些东西,并就此推导出一些相关的性质。如距离 f,g=(Ef-g2dx)12内积f,g=Efgdx模f=f,0=Ef2dx12=f,f;另方面，任何复数总可以表示成a+ib的形式，函数应该也可以。这里，fx=ux+ivx; 那么模又可以定义为 f(x)=u(x)2+v(x)212可以证明函数空间也是满足欧氏空间的3条性质的。并且仿照Cauchy不等式设 1,2,3,n,1,2,3,n, 为2n个实数，则有i=1niii=1ni2i=1ni2可类比出一个新的不等式，EfgdxEf2dx12Eg2dx12姑且成

5、为函数空间的Cauchy不等式。证明如下： 若f,g中有一个是0，那么等式两边都是0，等式显然成立。下面就可以假设f,g都非零，那么，Ef2dx120, Eg2dx120有均值不等式ab12a+b;代入有fgEf2dx12Eg2dx1212f2Ef2dx+g2Eg2dx两边积分就得到要证明的不等式。对于性质中前2条的证明直接根据定义基本就能解决，但是第3条如下f,g=(Ef-g2dx)12Ef-h+h-g2dx12 (Ef-g2dx)12+(Ef-g2dx)12 (*)=f,h+g,h其中（*）式还是不知道如何过渡。权且放在这里，待以后解决。 另，这里是两个函数的关系，姑且记为2维，猜想应该也

6、是可以推导出n维的函数空间的，正如欧氏空间一样，只要符合前面所说的3条性质就可以了。发散级数 教材在一引入级数这个概念之后，很快的就将我们的注意力引到了收敛级数上，似乎级数一旦发散就是毫无用处的。事实上，真的是这样吗？看如下级数n=0anxn大家都知道这里取an=1，x=-1,会得出结论limx1-(1-x+x2-x3+) =limx1-(1+x)-1=1/2.这个结论是相当有趣的，右端的级数是发散的，但是求和也得出一个结果，尽管我们这个是不正确的，但是这个究竟是什么。查阅了相关书籍，才知道在Cauchy之前的数学家在分析级数时是不分发散或是收敛的。Abel定义fx=n=0anxn有收敛半径r

7、,且x=r时收敛则有limx1-fx=n=0anxn但若n=0an不收敛而limxr-fx在r=1时存在，就是发散级数和的定义。这个定义就是将发散级数和收敛级数的定义统一了，特别的彰显了数学的大统一的美学观。在热学的学习过程中，遇到一系列的积分。如20e-2d等，热学教材上称该式为误差函数，并且制成了误差函数表了。 显然这个函数是不能被分解为收敛函数的，但是距具体计算而已，我们不妨仍然将其展开。只是做下适当的变形，利用分部积分就可以得到，te-2d=e-t22t1-12t2+132t22-1352t23,显然级数收敛的是非常快的，可以很好的进行逼近，因为在实验物理上不需要严格的准确值，只要足够

8、逼近达到一定精度就可以了。发散级数在此起到很大的作用。对于其他的函数，如tne-2d,其中n=1,2,3,4,等，这里利用了0ne-2d通过广义积分可以求出结果，而0ne-2d可以又上面2者做差得出。很好的解决了热学中的实际问题。初等函数级数教材给出了指数函数的泰勒展开式ex=1+x1!+x22!+x33!+, -x同时又给出sinx和cosx的展开，其实是没有必要的。令上式x=-x,有e-x=1+-x1!+x22!+-x33!+, -x 做差有shx=x+x33!+x55!+, -x做和有ch(x)= 1+x22!+x44!+, -x 再令x=ix有eix=1+ix1!+-x22!+-ix3

9、3!+x44!, -x令x=-ix有e-ix=1+-ix1!+-x22!+ix33!+x44!, -x做差有sinx=eix-e-ix2i=x-x33!+x55!-, -x做和有cosx=eix+e-ix2=1-x22!+x44!-, -x 而且在sinx中令x=ix还能得出等式shx=(-i)*sin(ix)利用以上的结论再进行变化和组合，如赋值、换元、导数积分、四则运算（如除以x的n次方等）可以解决很多相关的与阶乘在分母上有关的级数求和问题。相信大家对此都已经相当的熟悉了。那么阶乘在分子上的级数求和问题呢？即 Y(x)= 1+x+2!x2+3!x3+这里的形式满足微分方程 x2d2ydx2+x-1y=-1显