2.2.2对数函数及其性质(二)

1、2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个,1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数_表示.124y=2xy=2x,xN* 根据指数式和对数式的关系可将指数式y=2x,xN转化为对数式x= ，输入细胞个数y可以计算出分裂次数x，那么这个关系可不可以看成一个新的函数关系呢？ 现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些问题吧！一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是探究1：对数函数的定义注意:（1）对数函数定义的严格形式;

2、（2）对数函数对底数的限制条件：y=logax(a0,且a1)（0，+）与指数函数对底数的要求一样思考.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？提示：对数函数的解析式具有以下三个特征 ：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1；(3)logax的系数是1.探究2：对数函数的图象和性质（1）作y=log2x的图象列表作图步骤: 列表, 描点, 用平滑曲线连接.作函数图象的通法描点连线21-1-224Oyx31同样的方法在同坐标系中作出函数 的图象，并指出二者的关系描点连线21-1-2124Oyx3x124 2 1 0 -1 -2 -2 -1

3、0 1 2 14这两个函数的图象关于x轴对称,知道其中一个函数图象能否作出另一个函数图象？观察函数y=log2x 的图象填写下表21-1-2124Oy x3图象特征代数表述定义域:(0,+) 值 域:R增函数在(0,+)上是图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升图象特征代数表述定义域:( 0,+) 值 域:R减函数在(0,+)上是图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降观察函数 的图象填写下表21-1-2124Oyx3对数函数 的图象.猜一猜: 21-1-2124Oyx3由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质图 象 性 质a 1 0 a 1定义

4、域: 值 域:过定点:在(0,+)上是在(0,+)上是对数函数y=logax (a0,且a1) 的图象与性质(0,+)R(1,0), 即当x1时,y0增函数减函数y X O x =1 (1,0) y X O x =1 (1,0) 例1：求下列函数的定义域：（1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x). 解题关键：利用对数函数y=logax的定义 域为（0，+）求解.（1）因为x20,所以函数y=loga(4-x)的定义域是所以函数y=logax2的定义域是（2）因为4-x0,xx4. 即x0且 ,解：（1）因为1-x0,即x1,所以函数y=log5(1-x)的定义域为x|x0,且x

5、1.即x0且x1,所以函数 的定义域为 . 所以函数 的定义域为（3）因为 ，即 ,（4）因为x0且 ,即 由具体函数式求定义域,考虑以下几个方面： （1）分母不等于0； （2）偶次方根被开方数非负； （3）零指数幂底数不为0； （4）对数式考虑真数大于0； （5）实际问题要有实际意义.【总结提升】1.判断下列函数是对数函数的是_. 42.函数y=log2（x-a）的定义域为（1，+），则（）Aa1 B0a1Ca0Da=1【解析】要使函数y=log2（x-a）的解析式有意义,则x-a0，即xa，又因为函数y=log2（x-a）的定义域为（1，+），故a=1.D3.已知全集U=R，集合A=y|y

6、=log0.5x，x2，B=y|y=2x，x2，则 U（AB）等于（）A.（-，4 B.-1，4C.（-1，4） D.1，+）【解析】因为A=y|y=log0.5x，x2=y|y-1，B=y|y=2x，x2=y|y4，所以AB=y|y-1或y4所以 U（AB）=y|-1y4=-1，4.B4. 函数yloga(x1)2 (a0, a1) 的图象恒过定点 . 5.在y=log（a-2 ）（5-a）中，实数a的取值范围是_ 2a3或3a56.求函数的定义域。所以函数的定义域为对数函数数形结合图 象性 质概 念解析式具有严格形式注意底数与1的大小关系2.2.2 对数函数及其性质(二)第二章基本初等函数

7、（）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 .一般地，我们把函数对数函数的定义复习：a10a0且a1） (2) （a0且a1） (3) （3）要使函数有意义，则 函数的定义域为 例1. 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 25 和 log 27(2) log 0.35 和 log 0.37(3) log a5 和 log a7 (a0且a1)解：考察对数函数 y = log 2x,xy0157（1）log 25 与log 27得到：log 25log 27log 27log 25底数21,所以在(0,+)上是增函数,由图象观察：（2）log 0.35 与 log 0.37解：考

8、察对数函数 y = log 0.3 x, 底数为0.3, 即00.31,所以在(0,+)上是减函数, 由图象观察：57yx01y = log 0.3 xlog 0.37log 0.35得到：log 0.35log 0.37 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大?（3）log a5 与log a7 ( a0 且 a1 ) 因此需要对底数a进行讨论: 当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,故 log a5log a7 当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,故 log a5log a7yx01xy012.当底数不确

9、定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.总结1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小.例2:比较下列各组数中两个值的大小： log 7 6 log 7 7 log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8总结当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法”常需引入中间值0或1(各种变形式).log 6 7 log 6 6 log 3 2 log 3 1 log 2 0.8 log 2 1 = 1= 1= 0= 0例3：比较下列各组数中两个值的大小：log 2 7 与 log 5 7解: 1 log 7 5 log 7 2 0 log 2 7 log 5 7总结1.利用换底公

10、式的运算，取倒数后转化为同底问题.xoy17log 5 7log 2 72.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小. （一）同底数比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。（三）若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。小结：两个对数比较大小（二）同真数比较大小 1.通过换底公式； 2.利用函数图象。你能口答吗？变一变还能口答吗？小试牛刀 练习1: 比较下列各题中两个值的大小: 例4：函数yloga(x1)2 (a0, a1)的图象恒过定点 . 例5：求下列函数的值域：（1） （2）（3）y=loga(a-a

11、x)(a1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616,又-x2-4x+120, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.求值域：（1）y=log2(x2-4x+

12、6); （2） .(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又y=log2x在(0,+)上是增函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是1,+).(2) -x2+2x+2=-(x-1)2+33, 0知- x0得(2x+1)(x-3)0，得x3.易知y=log0.1是减函数，=2x2-5x-3在 上为减函数，即x越大，越小，y=log0.1u越大；在(3,+)上函数为增函数，即x越大，越大，y=log0.1越小.原函数的单调增区间为 ，单调减区间为(3,+).【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.已知

13、f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性.（1）由ax-10得ax1，当a1时，x0;当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0,+); 当0a1时，设0 x1x2，则1 ,故0 -1 -1, 即loga( -1)loga( -1). f(x1)1时，f(x)在(0,+)上是增函数.同理，当0a0 =4-4a0，（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+).当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需 a0 =4-4a0综上所述，0 a1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.

14、（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立，当a1时，因为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以1a2.当0a1,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a1.综上，可知a的取值范围为a（ ,1）(1,2).例9：解方程(2)32x+1-133x-10=0(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1X=4/3X=log35利用对数的性质，注意函数的定义域利用指数的性质换元转化为二次方程来求化

15、归思想：转化为熟悉的方程来解利用函数的单调性，结合函数的图象考虑先将数字用对数形式表示，再利用函数的单调性求解(1/2,1)1/3a1要注意数形结合(1)1ab (2)0ab1(3)0b10)例11：对数的综合应用已知函数f(x)= .（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数.【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.【解析】（1）由 0解得f(x)的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)= = = = -f(x),f(x)是奇函数.（2）证明:设x1,x2(1,+)，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即u(

16、x1)u(x2)0,y=log u在(0,+)上是减函数,log u(x1)log u(x2),即log log ,f(x1)0 x - 10 p - x0当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1).探 究: 在指数函数 中， 为自变量， 为因变量。如果把 当成自变量， 当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。y=2x 指数函数y=2x(x R)与对数函数y=log2x (x(0,+) 互为反函数一般地，指数函数y=ax(x R)与对数函数y=logax (x(0,+) 互为反函数 XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1

17、-1-2同底指数函数与对数函数的关系与 的图象关于对称。 直线函数与其反函数的关系?(1)函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。(2)函数与其反函数的定义域，值域互换。 (4)反函数也是函数，因为它是符合函数定义的,不是任意函数都有反函数 的.(3) 函数与其反函数的图象关于y=x轴对称。反函数已知a0,且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（ ）【分析】分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系.B【解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的

18、增减性正好相反，又可排除D，故只能选B.解法二：若0a1，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件.解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.若函数f(x)=ax (a0，且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a= . 反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过(-1,2),得a-1=2,a= . 例6 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过pH刻画的。 pH的