高等代数第一章

1、高等代数第一章第1页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四4 最大公因式5 因式分解6 重因式10 多元多项式11 对称多项式3 整除的概念2 一元多项式1 数域7 多项式函数9 有理系数多项式8 复、实系数多项式 的因式分解第一章 多项式第2页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、数域二、数域性质定理1.1 数域第3页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q；（

2、注意：自然数集N及整数集Z都不是数域）定义第4页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域第5页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四是一个数域例1证明：数集证： 又对 设 则有 设于是也不为0第6页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四或 矛盾） （否则，若则于是有为数域是数域.类似可证Gauss数域第7页，共175页，2022年，5月2

3、0日，17点34分，星期四例2设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数0）仍属于P，则P为一一个数域有证：由题设任取所以，P是一个数域时,时,第8页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四二、数域的性质定理任意数域P都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域证明： 设P为任意一个数域由定义可知，于是有第9页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四进而 有而任意一个有理数可表成两个整数的商，第10页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设P为非空数集，若则称P为一个数环附:例如，整数集Z 就作成一个数环数环第11页，共17

4、5页，2022年，5月20日，17点34分，星期四练习判断数集 是否为数域？为什么?第12页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 作业S是数域吗？证明：集合是一个数环1若 为数域，证明： 也为数域第13页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、一元多项式的定义二、多项式环1.2 一元多项式第14页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四1定义个非负整数，形式表达式设 是一个符号（或称文字）， 是一 称为数域P上的一元多项式其中等表示常用一、一元多项式的定义第15页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四系数，n 称

5、为多项式 的次数，记作 若，即，则称之为零多项式零多项式不定义次数区别：零次多项式多项式中，称为i次项，称为i次项系数 注： 若 则称 为 的首项， 为首项零多项式第16页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四2多项式的相等若多项式 与 的同次项系数全相等，则称 与 相等，记作即， 第17页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四3多项式的运算：加法（减法）、乘法加法：若 在 中令则 减法：第18页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四中s 次项的系数为 注: 乘法：第19页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四4多

6、项式运算性质1) 为数域 P上任意两个多项式，则 仍为数域 P上的多项式 2) 若 则 且 第20页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四的首项系数的首项系数 的首项系数. 3) 运算律第21页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例1设 (1) 证明: 若 则 (2) 在复数域上(1)是否成立？第22页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四(1) 证：若 则 于是 为奇数. 故 从而 从而 但 为偶数. 这与已知矛盾.第23页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四(2) 在 C上不成立如取 从而必有又 均为实系数

7、多项式 ，第24页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域 P上的一元多项式环，记作P称为 的系数域 二、多项式环定义第25页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、带余除法二、整除1.3 整除的概念第26页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四对 一定存在 使 成立，其中或 一、带余除法定理并且这样的 是唯一决定的 称 为 除 的商，为 除的余式第27页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 若 则令 结论成立 若 设 的次数分别为 证：当 时， 结论成立 显然取 即有 下

8、面讨论的情形，假设对次数小于n的 ，结论已成立先证存在性对 作数学归纳法 次数为时结论显然成立第28页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设 的首项为 的首项为 则 与 首项相同，因而，多项式 的次数小于n或 f1为0若 令 即可 若 由归纳假设，存在 使得 现在来看次数为n的情形第29页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四其中 或者 于是即有使成立的存在性得证 由归纳法原理，对第30页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四再证唯一性若同时有其中其中和则 即第31页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四但 矛盾

9、 所以从而 唯一性得证第32页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四) 附：综合除法的商式 和余式可按下列计算格式求得：这里，若 则 除第33页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四去除 求一次多项式 的商式及余式 把 表成 的方幂和，即表成的形式说明：综合除法一般用于第34页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例1求 除 的商式和余式解: 由 ) 有 第35页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四4解: 1例.把 表成 的方幂和 =232345=136361441110=5=10=第36页，共175页，2022

10、年，5月20日，17点34分，星期四二、整除1定义设若存在 使 则称 整除 记作 时， 称 为 的因式， 为 的倍式 不能整除 时记作： 第37页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 允许 ，此时有 即区别：零多项式整除零多项式，有意义除数为零，无意义 当时， 如果 则 除 所得的商可表成第38页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理1 2整除的判定第39页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四3整除的性质1) 对 有 对 有 即，任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式时， 与 有相同的因

11、式和倍式2) 若 ，则第40页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四3) 若则 证： 若 则 使得 使得 若 则 第41页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四皆为非空常数4) 若 （整除关系的传递性）成立 故有 第42页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四5) 若 则对 有 注：反之不然如 但 第43页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四6) 整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变 例3求实数 满足什么条件时多项式整除多项式第44页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四附：整

12、数上的带余除法对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数q、r，使 aqbr，其中第45页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四作业P441. 2)2. 2) 3. 2) 4. 2)第46页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法1.4 最大公因式三、互素 四、多个多项式的最大公因式第47页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四i) 1公因式:若满足:且2最大公因式:若满足：ii) 若 ， 且 ，则则称 为 的最大公因式 则称 为 的公因式 一、公因式 最大公因式 第48页，共175页，2

13、022年，5月20日，17点34分，星期四 的首项系数为1的最大公因式记作:注： ， 是 与零多项式0的最大公因式 两个零多项式的最大公因式为0 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.若 为的最大公因式，则 ，c为非零常数 若 不全为零，则第49页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 引理：第50页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理2对 ，在 中存在一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 第51页，共175页，2022年，5月20日，17点3

14、4分，星期四若 有一为0，如 ，则 就是一个最大公因式且 考虑一般情形： 用 除 得： 其中 或 . 若 ，用 除 ，得： 证：第52页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 ，用 除 ，得 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0设 其中 或 即 于是我们有一串等式 第53页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四第54页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到第55页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四说明: 定理中

15、用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法 定理中最大公因式 中的 不唯一. 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式. 第56页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四如: ，则 取 ，有 取 ，也有 取 ,也有 成立事实上,若 则对 ，第57页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 若 ，且则 为 的最公因式设 为 的任一公因式，则证：从而即 为 的最大公因式 第58页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例1求 ，并求 使 第59页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四解: 且由 得 第60页，共175页，2

16、022年，5月20日，17点34分，星期四例2. 设 求 ，并求 使 第61页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四因式，即就可以)，这是因为 和 具有完全相同的若仅求 ，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数第62页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四则称 为互素的(或互质的)1定义:三、互素 若互素 除去零次多项式外无说明: 由定义，其它公因式 第63页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理3 互素 ，使 2互素的判定与性质证：显然设为 的任一公因式，则从而又故第64页，共175页

17、，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理4若 ，且 ， 则证：使于是有又第65页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论 若 ，且 又，则证:，使于是 ，使而由定理4有从而第66页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 满足: 定义i) 则称 为 的最大公因式 ii)若则 四、多个多项式的最大公因式 第67页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四注： 表示首1最大公因式 ，使 的最大公因式一定存在互素 使第68页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四附:最小公倍式设 ，若 i) ii) 对 的任一公倍

18、式 ，都有则称 为 的最小公倍式 注: 的首项系数为1的最小公倍式记作:第69页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理1.5 因式分解定理第70页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引入（在实数域上）（在复数域上）第71页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设 ，且 ，若不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的 定义：乘积，则称 为数域P上的不可约多项式.说明： 一个多项式是否不可约依赖于系数域. 一次多项式总是不可约多项式. 一

19、、不可约多项式第72页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 多项式 不可约的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或 多项式 不可约，对有证：设 则 或即 或第73页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四不可约. ，若 则 或 证：若 结论成立 .若 不整除 ，则 定理5：不可约， 则必有某个使得 推论：第74页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 ，则 可唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式 1. 定理：则 ，且适当排列因式的次序后，有 其中 是一些非零常数 二、因式分解及唯一性定理第

20、75页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四证：对 的次数作数学归纳. 时，结论成立下证的情形.设对次数低于n的多项式结论成立（一次多项式都不可约） 若 是不可约多项式. 若 不是不可约多项式，则存在 且 使 结论显然成立由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 第76页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四再证唯一性 .可分解为一些不可约多项式的积.都是不可约设 有两个分解式多项式.对 作归纳法 若 则必有 第77页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四假设不可约多项式个数为 时唯一性已证. 由()不妨设 则 使得 (1)两边消去由

21、归纳假设有 即得第78页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四总可表成 对其中为 的首项系数， 为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式，的标准分解式.称之为2. 标准分解式：第79页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四说明 若已知两个多项式 的标准分解式,则可直接写出就是那些同时在 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数中较小的一个第80页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例如，若的标准分解式分别为则有第81页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 虽然因式分解定

22、理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的第82页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、k 重因式二、重因式的判别和求法1.6 重因式第83页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、k 重因式设 为数域P的不可约多项式， 则称 为 的 重因式.若 1, 则称 为 的重因式.（若 =0， 不是 的因式) 若 ，但 定义若 1, 则称 为 的单因式.第84页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四1. 若 的

23、标准分解式为： 则 为 的 重因式 . 时， 为单因式 ;时, 为重因式 .二、重因式的判别和求法第85页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四2. 定理6 若不可约多项式 是 的 重因式证:假设 可分解为其中则它是 的微商 的 重因式.第86页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四令是 的 重因式且 ,为 的 重因式，但未必是的 重因式. 注意定理6的逆命题不成立，即第87页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论1若不可约多项式 是 的 重因式则 是 的因式，但不是 的因式.推论2不可约多项式 是 的重因式 是 与 的公因式.

24、第88页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论3推论4多项式 没有重因式 ，若 其中 为不可约多项式， 则 为 的 重因式. 第89页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四根据推论3、4可用辗转相除法，求出说明来判别 是否有重因式若有重因式 ，还可由的结果写出来. 例1. 判别多项式 有无重因式. 第90页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论5注:不可约多项式 为 的 重因式 为 的 重因式. 与 有完全相同的不可约因式， 且 的因式皆为单因式. 第91页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、多项式函

25、数与根 二、多项式函数的有关性质1.7 多项式函数第92页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、多项式函数与根 1. 多项式函数设数 将的表示式里的用代替，得到P中的数称为当时 的值，记作这样，对P中的每一个数，由多项式 确定P中唯一的一个数 与之对应，于是称 为P上的一个多项式函数第93页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若多项式函数 在 处的值为0，即 则称 为 的一个根或零点 2. 多项式函数的根(或零点) 易知，若则，第94页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四（余数定理）：用一次多项式 去除多项式 所得余式是一个常

26、数，这个常数等于函数值 二、多项式函数的有关性质1. 定理7 是 的根 推论:第95页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 例1 求 在 处的函数值. 法一：把 代入 求 用 去除 所得余数就是 法二：答案：第96页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 是 的 重因式， 则称 为 的重根.当 时，称 为 的单根 当 时，称 为 的重根 2. 多项式函数的k重根定义第97页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四注： 是 的重根 是 的重因式 有重根 必有重因式反之不然，即有重因式未必 有重根例如，为 的重因式，但在R上 没有根 第

27、98页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四3. 定理8 (根的个数定理)任一 中的 次多项式 在 中的根 不可能多于 个，重根按重数计算 4. 定理9且 若有 使 则 第99页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四证：设 若 即时，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可约多项式的乘积，由推论， 的根的个数等于 分解式中一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 此时对 有即 有0个根.定理8第100页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四证：令 则有 由定理，若 的话，则 矛盾所以，即 有 个根，即定理9第101页，共175页，2022年

28、，5月20日，17点34分，星期四解：例2求 t 值，使有重根第102页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若即则此时，有重根，为 的三重根若即则此时，有重根，为 的二重根第103页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例3举例说明下面命题是不对的 解：令 则但 是 的2重根， 不是 的根，从而不是 的3重根 第104页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例4 若 求 解：从而，1为 的根 于是有， 1为 的重根，第105页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、复系数多项式 二、实系数多项式 1.8 复系数

29、与实系数多项式的因式分解第106页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四1. 代数基本定理一、复系数多项式 若 则 在复数域上必有一根 推论1若则存在使即，在复数域上必有一个一次因式第107页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则 可约 2. 复系数多项式因式分解定理若 则 在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积 第108页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论1推论2若 则 在 其中 是不同的复数， 上具有标准分解式复根（重根按重数计算） 若 ，则 有n个第109页，共175页，2

30、022年，5月20日，17点34分，星期四二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根 若 为根，则两边取共轭有 也是为 复根 证：设第110页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四实系数多项式因式分解定理 ，若 ， 则 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 证：对 的次数作数学归纳 时，结论显然成立. 假设对次数n的多项式结论成立设 ，由代数基本定理, 有一复根 若 为实数, 则 ，其中 第111页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 不为实数，则 也是 的复根，于是 设 ，则 即在R上 是 一个二次不可

31、约多项式从而 由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积由归纳原理，定理得证 第112页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四在R上具有标准分解式推论1其中且 ，即 为R上的不可约多项式. 第113页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例1求 在 上与在 上的标准分解式. 1)在复数范围内 有n个复根，次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约. 解：第114页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 2)在实数域范围内这里 第115页，共175页，2022年，5月20日，

32、17点34分，星期四当n为奇数时 当n为偶数时 第116页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解 1.9 有理系数多项式第117页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：对 则 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积.但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法. 第118页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四2. 我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约 多项式；在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；但在 上有任意次

33、数的不可约多项式如 如何判断 上多项式的不可约性呢? 第119页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商事实上，设 则可选取适当整数 使 为整系数多项式若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即 其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于 的公因子 第120页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、本原多项式 设 定义若 没有则称 为本原多项式异于 的公因子，即是互素的，第121页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四有关性质1 使其中 为本原多项式

34、（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的） 2Gauss引理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式第122页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设 是两个本原多项式若 不是本原的，则存在素数 证：又 是本原多项式，所以 不能整除 的每一个系数反证法第123页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四令 为 中第一个不能被 整除的数，即 同理， 本原，令 为 中第一个不能被 整除的数，即 又矛盾在这里 故是本原的第124页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一

35、定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积二、整系数多项式的因式分解 第125页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设整系数多项式 有分解式其中 且 证：令 这里， 皆为本原多项式， 于是 由定理10， 本原，即从而有 得证 第126页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四设 是整系数多项式，且 是本原推论的，若 则必为整系数多项式 第127页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四令 本原，即 为整系数多项式 证：于是有，第128页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理12 设是一个整系数多项式，而 是它的一

36、个有理根， 其中 是互素的，则必有 第129页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四是 的有理根，从而 又 互素，比较两端系数，得 证： 在有理数域上，由上推论，有本原所以， 第130页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件例1求方程 的有理根.可能有理根为用综合除法可知，只有1为根 注意解：第131页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例2 证明: 在 上不可约 若 可约， 但 的有理根只可能是所以 不可约证：则 至少有一个一次因式，也即有一个有理根而 矛盾 第132页

37、，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法设 是一个整系数多项式，若有一个素数 使得则 在有理数域上是不可约的第133页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若 在 上可约，由定理11，可分解为两次数较低的整系数多项式积 证：又不妨设 但 或不能同时整除 第134页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四另一方面，假设 中第一个不能被 整除的数为 比较两端 的系数，得 上式中 皆能被整除， 矛盾故不可约第135页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例3证明： 在 上不可约

38、证：（令 即可） (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)例4判断（为素数）在 上是否可约第136页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四令 则 为整系数多项式 但 解：在 上不可约，从而 在 上不可约即第137页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件注意也就是说，如果一个整系数多项式不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的 有些整系数多项式 不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足Eisenstein判别法条件

39、，从而来判定原多项式不可约第138页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四有理系数多项式 在有理系数上不可约命题在有理数域上不可约多项式第139页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四例5证明： 在 上不可约 取 证：作变换则在上不可约，所以 在上不可约由Eisenstein判别法知，第140页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的多项式无论作怎样的代换都不能 使 满足爱森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数 说明：办法，但未必总是凑

40、效的也就是说，存在 上的如， 第141页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四练习P 为素数， 证明: 在上不可约第142页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、n 元多项式的概念二、有关性质1.10 多元多项式三、齐次多项式四、n 元多项式函数 第143页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四一、n 元多项式概念设 为一个数域， 是 个文字, 形式 1.n元多项式时，称此单项式中各文字的指数之和称为数域上的一个单项式；为这个单项式的次数； 第144页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四有限个单项式的和 n元

41、多项式中系数不为零的单项式的最高次数称称为数域 上的一个 元多项式；为这个多项式的次数如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为同类项；第145页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四的集合称为数域 上的 元多项式环，记作 4.n元多项式环数域 上关于文字 的全体 元多项式加法减法乘法2.n元多项式的运算3.n元多项式的相等第146页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四中的两个单项式任取n元多项式5.n元多项式的字典排列法若有某个 使（1）第147页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四（此时也称数组 先于 记作 则在多项式（

42、1）中，把单项式 写在 的前面 将n元多项式中各单项式按当n1时，字典排列法即为降幂排列法 这种先后次序排列的方法称为字典排列法 按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项 第148页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四注意：例如， 的次数为5，首项为 多元多项式的首项未是最高次项 第149页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四定理14 当 时, 积 的首项等于 的首项与 的首项的积 推论1若 则积 的首项等于 的首项的积二、有关性质推论2若 则 第150页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四若多项式 为m次齐次

43、多项式 中每个单项式全是m次的，则称 三、齐次多项式定义第151页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四1两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式； 积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和 2任一 次多项式 都可唯一地表成其中 是 次齐次多项式，称之为 的 次齐次成分性质第152页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四特别地， 4 积的次数因子的次数之和3 设 的 次齐次成分为 则积第153页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四四、n 元多项式函数 与一元多项式一样我们可以定义n元多项式函数、 函数值等概念第154页，共175页，2022

44、年，5月20日，17点34分，星期四一、一 元多项式根与系数的关系二、n元对称多项式1.11 对称多项式三、一元多项式的判别式第155页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四韦达定理设 若 在 上有 个根 ，则 把展开，与比较，即得根与系数的关系： 一、一 元多项式根与系数的关系第156页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四（所有可能的 i 个不同的 的积之和），特别地 ， 为其根，则有第157页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四二 、n 元对称多项式定义设 ，若对任意 ，有则称该多项式为对称多项式 如，第158页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四下列n个多项式称为 个未定元 的初等对称多项式第159页，共175页，2022年，5月20日，17点34分，星期四1对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式则是 元对称多项式特别地，初等对称多项式的多项