最新高一数学必修一函数讲义

1、精品文档精品文档第二章、函数第一节、函数一、函数1、函数的定义： 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f ，都有唯一 确定的数 y 与它对应，这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作 y f x ， x A 。其中， x叫做自变量， 自变量的取值范围叫做函数的定义域。 所有函数值构成的集合， 即 y y f x ,x A叫做这个函数的值域。2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（ 1）定义域和对应法则是否给出；（ 2）根据给出的对应法则， 自变量 x 在其定义域中的每一个值， 是否都能确定唯一的函数值 y 。例 1、下列图形中，能表示 y 是

2、 x 的函数的是（ ）ABCD例 2、下列等式中，能表示y 是 x 的函数的是（A. y x B.2y x 1 C.)y 1 x2D.y 1 x23、如何判断函数的定义域：1）分式的分母不能为零；2）开偶次方根的被开方数要不小于零；3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； 4）函数 x0中 x 不为零。例 3、求下列函数的定义域1) f (x)3 2x3 2x2) f (x)2x 1 ；(3) f (x) (x2 4)0 ；例 4、求下列函数值域(1) f (x) 2x 1,x 1,2,3,44)f (x)x2 4 1x22)f (x)2x2 2x 1,x 0,33)f

3、 (x)1x,x (x1,4) f (x) 2x 1,x 1, x14、函数的 3 要素： 定义域、值域和对应法则。这时就约定这个函数的定义域就是判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。例 5、下列各对函数中，是相同函数的是A. f(x)x2 ,g(x)B.f(x)x ,g(x)C. f(x)x2 ,g(x)D.f(x)x ,g(x)5、区间：设 a， b R，且 a b，满足 axb的全体实数 x 的集合，叫做闭区间，记作a,b ；满足 axb的全体实数 x 的集合，叫做开区间，记作

4、a,b ；满足 axb或 aa,x a,x 0，f x在D 上单调递增，若 y0, 直接得出函数为增函数；(4)结论： f ( x)与- f (x)具有相反的单调性；f(x)与 f(x) c (c为常数)具有相同的单调性； a0时， af(x)与 f (x)具有相同的单调性， a 0，二次函数 f( x) ax2 bx c 的图象可能是( )三、待定系数法一般的，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般式，可先把所求函数写为一般形式，其中 系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式 的方法叫做待定系数法。例 6、已知一次函数的图像经过 (5, 2)和(

5、3,4) ，求这个函数的解析式。4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：1) ax2bxc0 恒成立的充要条件是a002) ax2bxc0 恒成立的充要条件是a0 0例 5、设 f (x ) x2 2ax 2 ，当 x 1,) 时， f (x) a 恒成立，求 a 的取值范围。例 7、已知二次函数 y f(x) 的图像过 A(0,5),B(5,0) 两点，它的对称轴为直线 x 2，求这个二次 函数的解析式。精品文档第三节、函数与方程一、函数的零点1、函数零点的概念： 对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x) 0成立的实数 x 叫做函数y f(x)(x D )的零点。即函数 f(x) 的图

6、像与 x轴交点的横坐标叫这个函数的零点。例 1、下列函数中没有零点的是()A. f(x) x2 B. f (x) x C. f(x) 1 D. f (x) x2 xx2、零点存在定理 ：如果函数 y f (x) 在区间 a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b) 0 ，那么函数 y f(x)在区间 (a,b)内至少有一个零点。既存在x0 (a,b) ，使得f x0 0，这个 x0 就是方程的根。例 2、若方程 2ax2 x 1 0在(0,1) 内恰有一解，则 a的取值范围是( )A. a 1 B. a 1 C. 1 a 1 D. 0 a 1 3、函数零点的性质：( 1)对于二

7、次函数，图像是连续的，那么当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，这 种零点叫变号零点；当函数通过二重零点时，函数值的符号不改变，这种零点叫不变号零点；( 2)如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。4、二次函数零点个数：2()，方程 ax2 bx c 0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次 函数有两个零点；()，方程 ax2 bx c 0 有两相等实根(二重根) ，二次函数的图象与 x 轴有一个 交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；() ，方程 ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点。二、二分法1、二

8、分法的定义： 每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下其中一个小区间 精品文档精品文档精品文档的方法叫做二分法。 注：二分法只能判断变号零点，不能判断不变号零点。例 3、函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )2、给定精确度 ，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1)精确区间 a,b D，使 f (a)f(b) 0；12)取区间 a,b 的中点 x0(a b),计算 f(x0), f(a), f(b)，如果 f(x0) 0,则x0就是 f(x) 的零点, 计算终止，如果 f (a) f(x0) 0 ,则零点位于区间 a,x0 ,如果 f (x0)f (b) 0 ,则零点位于区间 x0,b ；判断是否达到精确度,即如果 a b ,则得到零点近似值 a或 b；否则重复上述步骤。例 4、设 f(