高中数学 直线与平面垂直的判定 新人教A版必修

1、高中数学 直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修第1页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 必修2 第2页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四点、直线、平面之间的位置关系第二章第3页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.1直线与平面垂直的判定第4页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四高 效 课 堂2课后强化作业4优 效 预 习1当 堂 检 测3第5页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四优 效 预 习第6页，共54页，2

2、022年，5月20日，9点8分，星期四1在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：等腰三角形底边上的中线_底边；菱形对角线互相_；正方形对角线互相_；圆的直径所对圆角等于_.2在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分90第7页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四1直线与平面垂直自主预习定义如果直线l与平面内的_直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫

3、做平面的_，平面叫做直线l的_它们唯一的公共点P叫做_图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条垂线垂面垂足第8页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四破疑点(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线第9页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四2判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语

4、言la，lb，a，b，_l作用判断直线与平面_相交abP垂直第10页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四破疑点直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可第11页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四3直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面_，但不和这个平面_，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引_，过_和_的

5、直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角相交垂直交点垂线垂足斜足锐角第12页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四900第13页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四1直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直答案A解析直线l平面，l与相交，又m，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行预习自测第14页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四2直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是()Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直C

6、l在平面内 D不能确定答案D解析如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D第15页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四3.如右图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120答案A点评垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形第16页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四4如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：AC平面BDD1B1.分析转化为证明ACBD，ACBB1.第17页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四证明BB1AB，BB1BC，

7、BB1平面AC，又AC平面AC，BB1AC又四边形ABCD是正方形，BDAC又BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，BB1BDB，AC平面BDD1B1.第18页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四高 效 课 堂第19页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PC平面AEF.线面垂直的判定互动探究第20页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四探究本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是

8、否可利用如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、PAAC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PABC，联系已知，问题得证证明(1)PA平面ABC，BC平面ABC，PABCABC90，ABBC又ABPAA，BC平面PAB第21页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面PBC(3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPCAFPC，AEAFA，PC平面AEF.第22页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四规律总结：线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平

9、面垂直的步骤：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论第23页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法第24页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC(1)求证：SD平面A

10、BC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC探究题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，ABBC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用第25页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD，又ACBDD，所以SD平面ABC(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC，由(1)知SDBD，又因为SDACD，所以BD平面

11、SAC第26页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论第27页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四 在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角线面角第28页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四探究求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过A1

12、作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求第29页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四第30页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四规律总结：求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、

13、重心等第31页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四答案D第32页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四第33页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD，PB的中点(1)求证：EF平面PAB；线面垂直的综合应用探索延拓第34页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四探究(1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EFPB，EFAF，所以本题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得BP平面EFA故在BEF中，只

14、需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH平面EFA，GAH为所求角第35页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四解析(1)证明：连结BE，EP.EDCE，PDADBC，RtPDERtBCE，PEBE.F为PB中点，EFPBPD底面ABCD，DAAB，PAAB在RtPAB中，PFBF，PFAF.又PEBEEA，EFPEFA，EFFAPBAFF，EF平面PAB第36页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四第37页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四第38页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四规律总结：(1)中还可取AB中点Q，连结

15、EQ，FQ，证明AB平面EFQ，则ABEF，加上EFPB，则EF平面PAB(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角第39页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB探究根据PA平面ABM，证得BM平面PAM，再利用线面垂直的判定定理证明AN平面PBM.而证线线垂直，可先证线面垂直第40页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四证明(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA

16、，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，又AN平面PBM.第41页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.规律总结：证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件第42页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四已知四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，求证：四边形ABCD是矩形错解四边形ABCD中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，四边形ABCD是矩形错因分

17、析把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出结论 易错点一在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形误区警示第43页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四思路分析四边形ABCD有两种存在形式：平面四边形ABCD和空间四边形ABCD，需分类证明正解当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩形若四边形ABCD是空间四边形时，可设点C在平面ABD之外如图，过点C作CC1平面ABD，则AB面BCC1，ABC190.同理，ADC190.第44页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四第45页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四如图所示，ab，点P在a，b

18、所确定的平面外，PAa于点A，ABb于点B求证PBb.错解PAa，ab，PAb，PA平面，PBb.错因分析上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PAa，PAb，得PA，忽略了a与b不相交第46页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四正解PAa，ab，PAb.又ABb，且PAABA，b平面PAB又PB平面PAB，PBb.第47页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四当 堂 检 测第48页，共54页，2022年，5月20日，9点8分，星期四1若直线a与平面内的两条直线垂直，则直线a与平面的位置关系是()A垂直 B平行C斜交或在平面内 D以上均有可能答案D解析a与内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，a与可能平行、垂直、斜交或a在内第49页