高中数学课程标准

1、高中数学课程标准第1页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四1第2章 数环与数域2.1 整数剩余类环2.2 整环的分式域2.3 素域与扩域2.4 素数的欧拉分解2.5 Hamilton四元数环2.6 Lagrange平方和定理第2页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四22.1 整数剩余类环定义1 整数剩余类运算定理2 Zm成为一个环例1 环Z2.第3页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四3环同构定义3 环同态 f: RS定义4 环同构 f: RS例2 环同态 f: ZZn第4页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四4剩余类环Z

2、p定理6 a、bZ，则a、b互素当且仅当存在s、tZ使sa+tb=1.定理7 若是p素数则剩余类环Zp是域.第5页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四5理想与剩余类环定义8 理想;剩余类环定理9(同态基本定理) 设有环同态:RR,则A=rR|=0=Ker(同态核)是R的理想;反之若R有理想A,则存在环同态:RR/A=R.第6页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四62.2 整环的分式域例 从整数环Z到有理数域Q.定义1 整环例 整数环Z;Zn是整环当且仅当n=p是素数.定义2 环嵌入第7页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四7整环的分式域定理

3、3 每个整环都可以嵌入一个域(分式域).证明 分3步 第1步 定义2元集A,得商集F. 第2步 验证F是一个域. 第3步 整环R嵌入域F.第8页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四8整环的分式域定理4 如果一个非零环R含在一个域F中,那么F含R的分式域,说明分式域是包含环的最小域.定理5 同构的环分式域也同构.例 Fx的分式域F(x).第9页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四9 分式域:问题思考问题:整数环与偶数环有相同的分式域.一般地,问一个无零因子交换环R与它的子环S在什么条件下有相同分式域?第10页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期

4、四10 问题思考典型事实观察:以下的环与子环有相同分式域:Z与nZ; Zx与Qx; 设R是没有零因子的交换环，S是它的子环，对R记S=u | uS . 猜想:R与S有相同分式域当且仅当每R都有SS0.第11页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四11 问题思考定理 无零因子交换环R与它的子环S有相同分式域当且仅当每R都有SS0.第12页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四122.3 素域与扩域复习和问题:从任何整环可以获得分式域反过来,任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢?答:域扩张的方法第13页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四13

5、素域定义两个已知的域:Q与Zp特点:最小域问题:是否还有其他最小域?第14页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四14 素域定义定义1 素域定理2 (无零因子环的特征) 设R是一个没有零因子的环,则(1)na=0,0aRn=0,这时记charR=0.或者(2)存在素数p使每pa=0,这时记charR=p. 第15页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四15 素域与扩域定理3 设F是素域,则 (1) char F = 0, FQ,或者 (2) char F = p, FZp.注 由定理3知道,任一个域或者是Q的扩 域或者是一个p元域Zp的扩域.第16页，共21页，

6、2022年，5月20日，9点32分，星期四16 素域与扩域定理4 域上的n次多项式最多有n个根.证明 利用带余除法第17页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四17 2.4 素数的欧拉分解本节证明下面的欧拉定理：定理2.4.3(欧拉)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p1(4)第18页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四18素数的欧拉分解定理1(Fermat)设p是素数,pa则ap-11(p)证 记b=a-1则ap(b+1)pbp+1(a-1)p+1 (a-2)p+2a(p)故ap-11(p).第19页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四19素数的欧拉分解定理2(Wilson)设p是素数,则(p-1)!-1(p).证 由定理1, 1,2,3,p-1(p)是方程xp-1-10(p)的根,由定理此方程仅有这p-1个根,由根与系数关系(p-1)!-1(p).第20页，共21页，2022年，5月20日，9点32分，星期四20 欧拉定理定理3(欧拉)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p1(4).证由本节第一段的说明,只需证方程有解.若有解则x、y一奇一偶, p1(4).现设p1(4),记a=(p-1)