安徽高考高中数学基础知识归纳及常用公式和结论

1、2022 年安徽高考高中数学基础学问归纳在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性第一部分集合6函数的单调性: 1. 懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的单调性的定义：取值？仍是曲线上的点？2 . 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决f x 在区间 M 上是增函数x 1,x2M,当x1x2时有f x 1f x2；f x 在区间 M 上是减函数

2、x 1,x2M,当x1x2时有f x 1f x 2；3. 1 元素与集合的关系：xAxC A ,xC AxA . 单调性的判定：定义法：一般要将式子fx 1fx2化为几个因式作积或作商的形式,以利于判（2）德摩根公式：C UAIBC AUC B C UAUB C AIC B. （3） AIBAAUBBABC BC AAIC BC AUBR断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法；7函数的周期性：留意：争论的时候不要遗忘了A的情形 . （4）集合a a2, L , a n 的子集个数共有2 n 2 个. n 2个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有2n

3、 1 个；1 周期性的定义：对定义域内的任意x ,如有fxTfx（其中 T 为非零常数） ,就称函非空真子集有数fx为周期函数, T 为它的一个周期； 全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有4是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；其次部分函数与导数（2）三角函数的周期：ysinx:T2；ycosx:T2；ytanx:T；1映射： 留意 : 第一个集合中的元素必需有象；一对一或多对一. 2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；yAsinx,yAcosx:T|2|；ytanx:T|利用均值不等式aba2ba22b2； 利

4、用数形结合或几何意义（斜率、距离、3 与周期有关的结论：肯定值的意义等） ；利用函数有界性（x a 、sinx、cosx等）；平方法；导数法fxafxa或fx2afxa0 fx 的周期为2 a3复合函数的有关问题: 8基本初等函数的图像与性质：（1）复合函数定义域求法：. 指数函数：yaxa0,a1 ；对数函数 :ylogaxa0 ,a1 ；如 fx 的定义域为 a,b, 就复合函数fgx的定义域由不等式a gx b解出如 fgx的定义域为 a,b,求 fx的定义域,相当于xa,b 时,求gx 的值域 . 幂函数：yx（R；正弦函数 :ysinx；余弦函数：ycosx；（2）复合函数单调性的判

5、定：第一将原函数yfgx 分解为基本函数：内函数ug x 与外函数yfu（6）正切函数：ytanx；一元二次函数：ax2bxc0（a 0）；其它常用函数：分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性正比例函数：yakxka0；反比例函数：ykk0；函数yxaa0依据“ 同性就增,异性就减” 来判定原函数在其定义域内的单调性. xx4分段函数： 值域（最值）、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；. 分数指数幂：mnm；am1（以上am nN ,且n1）. 0,nn5函数的奇偶性: man函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. abNlogaNb；logaMNlogaMlogaN；

6、fx是奇函数fxfx；fx是偶函数fxfx. logaMlogaMlogaN； logambnnlogab. 奇函数fx在 0 处有定义,就f0 0Nm. 对数的换底公式:logaNlogmN. 对数恒等式 :alog a NN . 特殊地： fa+x=fax （xR）y=fx图像关于直线x=a 对称 . yyf x 的图象关于点 , a b 对称faxfax2b. logam9二次函数：特殊地：yf x 的图象关于点 ,0对称faxfax. 解析式：一般式：fx ax2bxc；顶点式：fxa xh 2k,h,k为顶点；函数yf xa与函数yf ax 的图象关于直线xa 对称 ; 零点式：fx

7、axx 1xx2（a 0）. 函数yfax与函数yf ax 的图象关于直线x0对称；12函数零点的求法：二次函数问题解决需考虑的因素：直接法（求f x 0的根）；图象法；二分法. 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；二次函数yax2bxc的图象的对称轴方程是xb,顶点坐标是b,4acb2；4 零点定理：如y=fx在a,b上满意 fa fb0,b0 ）的渐近线：x2y20；4求解线性规划问题的步骤是：a2b2a2b2（1）列约束条件； （2）作可行域,写目标函数；（3）确定目标函数的最优解；共渐进线ybx的双曲线标准方程可设为x2y2为参数, 0 ）；5两个公式 : aa2

8、b2点 P（x 0,y 0）到直线 Ax+By+C=0的距离：dAx0A2By02C；B双曲线为等轴双曲线e2渐近线相互垂直；两条平行线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离dC12C22焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解；3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；AB6圆的方程：留意以下问题：联立的关于“x ” 仍是关于“y ” 的一元二次方程？直线斜率不存在时标准方程：xa2yb2r2；x2y2r2；考虑了吗？判别式验证了吗？一般方程：x 2y 2Dx Ey F 0（D 2E 24 F 0 注： Ax 2+

9、Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C 0 且 B=0且 D 2+E 24AF0 7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；8点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离）设而不求（点差法-代点作差法）： -处理弦中点问题步骤如下：设点 Ax 1, y1 、Bx 2,y 2 ；作差得 k AB y 1 y 2；解决问题；x 1 x 24求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法； （5）消参法；（6）交轨法；（ 7）几何法；第七部分平面对量n=1累乘法

10、（an1cn型）；待定系数法（an 1ka nb型）转化为an1xkanx 1. 平面上两点间的距离公式:dA Bx 2x 12y 2y 12,其中 Ax 1,y 1,Bx2,y2. an2. 向量的平行与垂直：设 a =x 1,y 1, b =x2,y2,且 b0 ,就：（6）间接法（例如：an1an4anan11a114）；（7）（理科） 数学归纳法； a bb = ax y 2x y 10；annab a0 a b =0 x x2y y 20. 4前 n 项和的求法： 分组求和法；错位相减法；裂项法；3. a b=| a| b|cos= x 1x 2+y1y 2；5等差数列前n 项和最值

11、的求法：注：| a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；S 最大值an100或S n最小值an100；利用二次函数的图象与性质；anana b 的几何意义： a b 等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积；4. cos=|ab|；第九部分不等式a|b1均值不等式：aba2ba222 ba ,b0 5. 三点共线的充要条件：P,A,B三点共线uuur OPuuur xOAuuur yOB 且xy1；第八部分数列留意：一正二定三相等；变形：aba2b2a22b2a ,bR；1定义：2极值定理： 已知x,y都是正数,就有

12、：1 等差数列a na n1andd 为常数,nN）ana n1d n2 2 anan1an1n,2nN*anknbS nAn2Bn1 假如积 xy是定值 p ,那么当xy时和xy有最小值2p；等比数列anan1qq0an2an1-an1n2,nN2 假如和xy是定值 s ,那么当xy时积 xy 有最大值1 s . 4a n3. 解一元二次不等式ax2bxc0 或0: 如a0, 就对于解集不是全集或空集时, 对应的2等差、等比数列性质：解集为“ 大两边,小中间”. 如: 当x 1x2,xx 1xx20 x 1xx2；等差数列等比数列xx 1xx 20 xx2 或xx 1. 通项公式a na1n

13、1 dana 1qn14. 含有肯定值的不等式：当a0时,有：xax2a2axa；前 n 项和S nn a 12anna 1n n1d.1q1 时,Snna1;qnxax2a2xa 或 xa . 5. 分式不等式：.2q1 时,Sna1 1（1）fx0fxgx0；（ 2）fx0fxgx0；21qgxgxa1anq（3）fx0fxgx0；（4）fx0fxgx0. 1qgx0gx0gxgx性质an=am+ n md, a n=amq n-m; 6. 指数不等式与对数不等式m+n=p+q时 am+an=ap+aq m+n=p+q时 aman=apaq f x 0S k,S 2kS k,S 3kS 2

14、k,成 AP S k,S 2kS k,S 3kS 2k,成 GP 1 当a1时,af x ag x f x g x ；logaf x logag x g x 0. ak,a km,a k2m,成 AP,dmdak,akm,ak2m,成 GP,qqmf x g x f x 03常见数列通项的求法：2 当 0a1 时,af ag xf x g x ；logaf x logag x g x 0定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（an1ancn型）；公式法：an= S1f x g x SnSn-1 n2 3不等式的性质：0古典概型：PA A包含的基本领件的个数；abba；ab,bcac；abacb

15、c；ab,cd基本领件的总数acbd；ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0 ,cd几何概型：PA 构成大事 A的区域长度（面积或体积等）等）；试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积acbd ; ab0anbn0nN; ab0nanbnN第十二部分统计与统计案例第十部分复数1抽样方法：1概念：简洁随机抽样：一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量；z=a+bi Rb=0 a,b Rz= z z2 0 ；z=a+bi 是虚数b0a,b R；为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简洁随机抽样；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0a,b Rz

16、 z 0（z 0 ）z20 时,变量x,y正相关； r 0 （1）fxfxa ,就fx的周期 T=a；1. 容斥原理：card AUBcardAcardBcard AIBIC. （2）fxafx ,或fxa f1fx0,或f xa 1 0, xf x card AUBUCcardAcardBcardCcard AIB就fx 的周期 T=2a；card AIBcard BICcard CIAcard AIB11. 等差数列an的通项公式 :ana1n1d, 或anamnmddanam. 2. 从集合Aa1,a2,a3,an到集合Bb 1,b2,b 3,bm的映射有n m 个 . nm3. 函数的

17、的单调性：前 n 项和公式 : s nn a 12a nna 1n n1dd n 22a 11d n . 1 设x 1,x2a ,b,x1x2那么22x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx20fx在a,b上是增函数；12. 设数列a n是等差数列,S 奇是奇数项的和,S 偶是偶数项的和,S 是前 n 项的和,就x 1x20,前 n 项的和SnS 奇S 偶；x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx在a,b上是减函数 . 当 n 为偶数时,S偶S奇nd,其中 d 为公差；x 1x 222 设函数yfx在某个区间内可导,假如fx0,就fx为增函数；假如fx当 n 为奇数时,就

18、S 奇S偶a 中,S 奇n21a 中,S偶n21a中,S奇n1,就f x为减函数 . S偶n14. 函数yf x 的图象的对称性: S 奇SnS 偶S 奇S偶n（其中a中是等差数列的中间一项）yf x 的图象关于直线xa 对称f axf axf2axf x ；S 奇S偶yf x 的图象关于直线xa2b对称f a x f b x f a b x f x ；13. 如等差数列an和b n的前2n1项的和分别为S2n1和T 2 n1,就an2 =S 2n1. kS 2k. b nT 2n,14. 数列a n是等比数列,S 是其前 n 项的和,nkN*,那么（S2kS k1S 3yf x 的图象关于点

19、 ,0对称fxf2axfaxfax0）S kyf x 的图象关于点 , a b 对称fx2 bf2 axfaxfax2 b. 15. 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款xab1b n元 贷款 a 元, n 次仍清 , 每期利率为 b . . 就其重心的坐标是Gx 1x 2x 3,y 1y2y 3. . n1331b26. 点的平移公式xxhxxh,uuur OPuuur OPuuur PP 图形 F 上的任意一点16. 裂项法：n111n11；2 n112n1111211；nn22 nnyykyyky ,且uuur PPa1ba1bab；nn1.1n11. 的坐标为 , ；Px ,y 在平移后的图

20、形F 上的对应点为 P xn.函数yfx按向量ah ,k平移后的解析式为ykfxh. 17常见三角不等式: （1）如x0,2,就 sinxxtanx . 27. “ 按向量平移” 的几个结论（1）点P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点Pxh yk . 2 函数yf x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式2 如xx0,就 12|cos x | 1. sinxcosx2. 为yf xhk . |3 | sin3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x , 就 C 的函数解析式18. 正弦、余弦的诱导公

21、式：为yf xhk . nn4 曲线 C :f x y , 0按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 就 C 的方程为f xh yk0sinn 1 sins,n 为偶数；cosn 12cos ,n 为偶数. 5 向量 m= , x y 按向量 a= , 平移后得到的向量仍旧为m= , x y . n1,n 为奇数 1n1,n 为奇数22 12co2sin28.三角形四“ 心” 向量形式的充要条件：即: “ 奇变偶不变 , 符号看象限”. 如cos2sin,coscos. 设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为uuur 2 uuur 2 uuur 2（1）

22、O为 ABC的外心 OA uuur uuur OB uuur OC r . （2） O为 ABC的重心 OA uuur uuur OB uuur uuur OC 0 . uuur uuur（3） O为 ABC的垂心 OA OBuuur uuur OB OCuuur OC OAr（4） O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0 . a b c ,就：. 19. 万能公式 :sin 212tan2；cos21tan2；tan 212tan2（正切倍角公式）1tan2tantan20. 半角公式 :tan21sin1cos. cossin29. 常用不等式：1a bRa2b22ababa22b

23、2 当且仅当ab 时取“=” 号 21. 三角函数变换 : 相位变换 :ysinx的图象向左0或向右0平移个单位ysinx的图象；2a bRa2bababa2b2 当且仅当 a b 时取“=” 号 周期变换 :ysinx的图象横坐标伸长01或缩短1到原先的1倍ysinx的图象；振幅变换 :ysinx的图象纵坐标伸长A1或缩短0A1到原先的A 倍yAsinx的图象 . 3 a3b3c33abcabc3 abc 3 当且仅当abc时取“=” 号 22. 在 ABC中,有4 肯定值不等式：|a|b|ab|a|b| 留意等号成立的条件. ABCCABC2A2B2C22AB ；5111aba2ba22b

24、2a0,b0. 2absinAsinB（留意是在ABC 中） . ab23. 线段的定比分点公式：设P x y 1,P 2x2,y 2,P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,（6）柯西不等式：a2b2c2d2acbd2 , , , , a b c dR .且uuur PP 1uuur PP 2,就xx 1x 2uuur OPuuur OP 1uuur OP 2uuur OPuuur tOP 11uuur t OP 230. 最大值最小值定理: 假如fx是闭区间a,b上的连续函数 , 那么fx在闭区间a,b上有最大值1yy 1y 21和最小值 . 131.fx在x 处的导数（或变化率或微商

25、）fx 0yx x 0lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 0. （其中t1）. ,就 A 、 B 、 C 共线的充要条件是xy1. xx1 uuurxOBuuur 24. 如 OAuuur yOB32. 瞬时速度s t lim t0slim t0s tts t . tt25. 三角形的重心坐标公式: ABC三个顶点的坐标分别为Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y 33 , 33. 瞬时加速度av t lim t 0vlim t 0v ttv t . uuuur OZ 1uuuur OZ 2z 1z 的实部为零z 2为纯虚数|z 1z 22 |z 12 |z22 |

26、ttz 134.fx 在a,b的导数f ydydflim x0ylim x0f xx f x . |z 1z 22 |z 12 |z 22 |z 1z 2| |z 1z 2|acbd0z 1iz2dxdxxx 为非零实数 . 35. 函数yfx在点x 处的导数的几何意义：函数yfx在点0 x处的导数是曲线yf x 46. 对虚数单位 i , 有i4n1i,i4n21 ,i4n3i,i4n1. 在P x0,fx0处的切线的斜率f0 x,相应的切线方程是yy 0fx 0 xx 036. 导数与函数的单调性的关系：47. 共轭复数 : 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数互为共轭复

27、数. 如abi（1）fx0与fx为增函数的关系：fx 0能推出fx为增函数,但反之不肯定. 如函数与abia,bR互为共轭复数 . fx x3在,单调递增, 但f x 0,故fx0是f x为增函数的充分不必要条件. 48.3112101或13i. （2）f x 0与f x为增函数的关系：fx为增函数,肯定可以推出fx0,但反之不肯定,2249.AxByC0或0 所表示的平面区域：由于fx0,即为fx0或fx0. 当函数在某个区间内恒有fx0,就fx为常数,设直线l:AxByC0,就AxByC0或0 所表示的平面区域是：如B0,当 B 与 AxByC 同号时,表示直线l的上方的区域；当B与 Ax

28、ByC 异号时,函数不具有单调性. fx0是fx为增函数的必要不充分条件. 表示直线 l 的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 , 异号在下 . 如 B 0,当 A 与 Ax By C 同号时,表示直线 l的右方的区域；当A与 AxByC 异号时,37. 常见函数的导数: C0（ C 为常数）；xnnxn1nQ；sinxcosx；表示直线 l 的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左 . 50. 圆的方程的四种形式：cosxsinx；lnx1,logax1logae；x eex,axaxlna. （1）圆的标准方程:xa2yb 2r2. （2）圆的一般方程:x2y2DxEyF0D

29、2E24 F 0. xx38. 可导函数四就运算的求导法就: （3）圆的参数方程:xarcos. uvuv；uvuvu v,CuC u；uuvv2uvv0. ybrsin（4）圆的直径式方程:xx 1xx 2yy 1yy 20v39. 复合函数的求导法就：设函数 u x 在点 x 处有导数f u ,就复合函数 y f u x x ,函数yyfu在点 x 处的对 圆的直径的端点是A x 1,y 1、B x 2,y2. 应点U 处有导数uy在点 x 处有导数,且y u u ,或写作51. 圆中有关重要结论: x1 如 P0 x ,0y 是圆x2y2r2上的点 , 就过点 Px ,y 的切线方程为x

30、x 0yy 0r2. xf f x . 2 如Px ,y0 是 圆xa2yb2r2上 的 点 , 就 过 点Px0,0y 的 切 线 方 程 为40. 复数的相等：abicdiac bd . （a b c dR ）x 0axay0bybr2. 41. 复数 zabi 的模（或肯定值） ： |z =|abi =2 ab2. 42. 复数的四就运算法就：3 如 P0 x ,0y 是圆x2y22 r 外一点 , 由 Px ,y 向圆引两条切线, 切点分别为A、B,就直线1 abicdiac bd i ; 2 abicdiac bd i ; AB的方程为xx 0yy 02 r . 3 abicdiac

31、bdbcad i ; 4 如 P0 x ,y 是圆xa2yb2r2外一点 , 由 Px ,y 向圆引两条切线, 切点分别为4abicdiacbdbcadi cdi0. A、B,就直线 AB的方程为x 0axa y0b ybr2. c2d2c2d243. 复数的乘法的运算律：对于任何z z2,z 3C ,有：交换律 :z 1z2z 2z . 52. 圆的切线方程：结合律 :z 1z 2z 3z 1z 2z 3. 安排律 :z 1z 2z 3z 1z 2z 1z . 1 已知圆x2y2DxEyF044. 复平面上的两点间的距离公式：如已知切点x0,y0在圆上,就切线只有一条,其方程是d|z 1z

32、2|x 2x 12y 2y 12（z 1x 1y i ,z 2x2y i ）. x xy yD x 0 xE y0yF0. 45. 向量的垂直：abi ,2zcdi 对应的向量分别是uuuur OZ 1,uuuur OZ 2,就22非零复数1z当 x 0 , y 0 圆外时 , x x y y D x 0 x E y 0 y F 0 表示过两个切点的切点弦方程2 2过圆外一点的切线方程可设为 y y 0 k x x 0 ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线2 2 2 22 已知

33、圆 x y r ,过圆上的 P 0 x 0 , y 0 点的切线方程为 x x y y r . 53. 椭圆 x 22 y2 21 a b 0 的参数方程是 x a cos. a b y b sin2 2 254.1 椭圆 x2 y2 1 a b 0 的准线方程为 x a, 焦半径公式 PF a ex p；a b c2 2 22 椭圆 x2 y2 1 a b 0 的准线方程为 y a, 焦半径公式 PF a ey p . b a c55. 椭圆的切线方程：2 22P 是双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 上一点 ,F 1、F2是它的两个焦点 , F1 P F 2 = ,就a b P F

34、1 F 2 的面积 = b 2 cot . 2260. 抛物线 y 2 2 px 上的动点 P x 0, y 0 可设为 P y 0 , y 0 或 P 2 pt 2 , 2 pt . 2 p61.1P 0 x , 0y 是抛物线 y 22 px 上的一点 , F 是它的焦点 , 就 PF x 0 p；22 抛物线 y 2 2 px 的焦点弦长 l 2 p2 , 其中 是焦点弦与 x 轴的夹角；sin3 抛物线 y 2 2 px 的通径长为 2 p . 62. 抛物线的切线方程：1 抛物线y22px上一点P x 0,y0处的切线方程是y yp xx 0. 1 椭圆x2y21 ab0上一点P x

35、 0,y 0处的切线方程是x xy y1. 1. （2）过抛物线y22px外一点P x 0,y 0所引两条切线的切点弦方程是y yp xx 0. a2b2a2b2（3）抛物线y22px p0与直线AxByC0相切的条件是pB22AC . （2）过椭圆x2y21 ab0外一点P x 0,y0所引两条切线的切点弦方程是x xy y63. 圆锥曲线F x y , 0关于点P x0,y0成中心对称的曲线是F2x x- ,2y0y0. a2b2a2b264. 圆锥曲线的两类对称问题（3）椭圆x2xy2y1ab0与直线AxByCx0相切的条件是2 A a22 2B ba2 c .；（1）曲线F x y0关

36、于点P x 0,y0成中心对称的曲线是F2x x- ,2y 0y0. 2b 22a（2）曲线F x y0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是：21 a0,b0的准线方程为a2, 焦半径公式PFex p56.1 双曲线F x 2 A Ax2A65. “ 四线” 一方程：ByC,y2 B AxByC0. a2b2cB22 A2 B2 双曲线x2y21 a0,b0的准线方程为ya2,焦半径公式PFaeyp. 22对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0,用0 x x 代2 x ,用0y y 代2 y ,bac57.1 双曲线x2y21 a0,b0的渐近线方程为ybx；用x y2xy 代 xy

37、 ,用x 02x 代 x ,用y 02y 代 y 即得方程a2b2a2 双曲线x2y21 a0,b0的渐近线方程为yax. Ax xBx y2xy 0Cy yDx 02xEy 02yF0,曲线的 切线,切点弦,中点弦,b2a2b弦中点方程 均是此方程得到. uuur A、B、C,满意 OPuuur xOAuuur yOBuuur zOC,58. 双曲线的切线方程：1 双曲线x2y21 a0,b0上一点P x 0,y0处的切线方程是x xy y1. 66. 对空间任一点O和不共线的三点就四点 P、A、B、 C共面xyz1a2b2a2b2（2 过双曲线2 xy21 a0,b0外一点P x 0,y0

38、所引两条切线的切点弦方程是67. 空间两个向量的夹角公式:cosa,ba12a 1b 1aa2b2b 1a3b 322b 32,其中2a2ba2222b3x xy y1. a2b2aa 1,a2,a 3,bb 1,b 2,b 3. 异面直线所成角的求法：coscosa,b（3）双曲线x2y21 a0,b0与直线AxByC0相切的条件是2 A a22 B b22 c .a22 b68. 直线 AB 与平面所成角满意 :sincosAB,mABm, 其中 m 为面的法向量 . 59.1P是椭圆x2y21 ab0上一点 ,F 1、F2是它的两个焦点, F1 P F 2 = ,就a2b2ABm69.

39、二面角l的平面角满意 : coscosm,n, 其中 m 、 n 为平面、的法向量 . P F 1 F2的面积 =b2 tan2. 70. 空间两点间的距离公式: 如Ax 1,y 1,z 1Bx2,y 2,z2, 就aPA, 向量NCnCnnCn2nCnnCnmn. m 堆,其安排方法数共有dA,Bx2x 12y2mnmnmn2nn .m2z 12. yz212（2） 平均分组无归属问题 将相异的 m n 个物体等分为无记号或无次序的, 点 P 在直线 l 上, 直线 l 的方向向量1b271. 点 Q 到直线 l 的距离 :haabNCnCnnCn mn2n.CnCnmn. mnmn2nna

40、m .m .n .mb PQ . AB n72. 点 B 到平面 的距离 : d , n 为平面 的法向量 , AB 是面 的一条斜线 , A . n73.1 设直线 OA为平面 的斜线 , 其在平面内的射影为 OB,OA与OB所成的角为 1, OC 在平面内, 且与 OB 所成的角为 2, 与 OA 所成的角为 , 就 cos cos 1 cos 2 . 2 如经过 BOC 的顶点的直线 OA与 BOC 的两边 OB 、 OC 所在的角相等,就 OA在 BOC 所在平面上的射影为 BOC的角平分线；反之也成立 . 74. 面积射影定理 : S S 平面多边形及其射影的面积分别是 S 、S ,

41、所在平面成锐二面角 . cos75. 分类计数原理 : N m 1 m 2 L m n . 分步计数原理 : N m 1 m 2 L m n . 76. 排列恒等式 : A n m n m 1 A n m 1； A n m nA n m1； A n mnA n m1 1；n mn n 1 n m m m 1 nA n A n 1 A ； A n 1 A n mA n . 77. 常见组合恒等式 : C n m n m 1C n m 1; C n m nC n m1 ; C n m nC n m1 1; kC n knC n k1 1m n m mr r r r r 1 0 1 2 r n n

42、C r C r 1 C r 2 C n C n 1 . 6 C n C n C n C n C n 2 . 7 C n 1 C n 3 C n 5 C n 0 C n 2 C n 4 2 n 1. 8 C n 1 2 C n 2 3 C n 3 nC n n n 2 n 1m m78排列数与组合数的关系是：A n m C n79单条件排列 ：以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列 .m 1 m m 1（1）“ 在位” 与“ 不在位”：某（特）元必在某位有 A n 1 种；某（特）元不在某位有 A n A n 11 m 1 m 1 m 1（补集思想）A n 1 A n 1（着眼位

43、置）A n 1 A m 1 A n 1（着眼元素）种 . （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：定位紧贴：k k m n 个元在固定位的排列有 A kA kn mk k种. 浮动紧贴：n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 A n nk k1 1 A k k 种. 此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有 k、h 个（k h 1）,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨h k近的全部排列数有 A hA h 1种 . （3）两组元素各相同的插空： m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？n当 n m 1 时,无解；当 n m 1 时,有 A mn 1C m n1

44、 种排法 . A nn（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 C m n . 80安排问题：（ 1） 平均分组有归属问题 将相异的m n 个物件等分给m 个人,各得n 件,其安排方法数共有 非平均分组有归属问题 将相异的 PP=n +n + 1 2 L +n m 个物体分给 m 个人, 物件必需被分完,分别得到 1n ,2n , ,n m 件,且 n ,2n , ,n m 这 m 个数彼此不相等,就其安排方法数共有N C np1 C p n 2n 1 . C n nmm m . p . m . . n 1 . n 2 . n m .（4） 非完全平均分

45、组有归属问题 将相异的 PP=n +n + 1 2 L +n m 个物体分给 m 个人,物件必需被分完,分别得到 1n ,n , ,n 件,且 1n ,n , ,n 这 m 个数中分别有 a、b、c、 个相等,就其C np1 C np2n 1 . C n nm mm . p m .安排方法数有 N . a . b . c . n n 2 . n m . a b c . . .（5） 非平均分组无归属问题 将相异的 PP=n +n + 1 2 L +n m 个物体分为任意的 n ,n , ,n m 件无记号的 m 堆,且 1n ,n , ,n m 这 m 个数彼此不相等,就其安排方法数有 N p

46、 . n 1 . n 2 . n m .（6） 非完全平均分组无归属问题 将相异的 PP=n +n + 1 2 L +n m 个物体分为任意的 1n ,2 n , ,n m 件无记号的 m 堆,且 n ,n , ,n 这 m 个数中分别有 a、b、 c、 个相等,就其安排方法数有p .N . n 1 . n 2 . n m . a . b . c .（7）限定分组有归属问题 将相异的 p（p n 1+ n 2 + L + n m）个物体分给甲、 乙、丙, 等 m 个人,物体必需被分完,假如指定甲得 1n 件,乙得 n 件,丙得 3n 件, 时,就无论 n ,n , ,n 等m 个数是否全相异或不全相异其安排方法数恒有 N C p n 1C np 2n 1 . C n nm m p . . n 1 . n 2 . n m .n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n81二项式定理 : a b C n a C n a b C n a b C n a b C