概率论与数理统计浙大版第四五章课件

1、1几种重要分布的数学期望 例：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。例：例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=1例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=1例数学期望的特性： 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：12例12：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求 （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立) 本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随

2、机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。 解：引入随机变量：例：2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定) 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。16我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度偏离的度量：平均偏离：绝对值（不好研究）17但是，绝对值（大 ） 平方（大)所以我们研究方差 定义 设X是一随

3、机变量， 为标准差或均方差。存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X)，即方差实际上是一个特殊的函数 g(X) =(X-E(X)2 的期望对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式(常用)：例1：设随机变量X具有数学期望例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：例3 解：例4：解：X的概率密度为：例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数方差的性质 证明： 例6：Xkpk011-pp 例7： 解：例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只

4、汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： 32协方差的计算证(2):注: X,Y相互独立 协方差的性质：思考题：34证明4)：利用35例、设(X,Y)的分布律为：0101-p010p求COV(X,Y).0101-p010p360101-p010p37易知:X01Y01E(X)=P E(Y)=P38例：设(X,Y)的概率密度为：39XY11D04041相关系数的性质线性关系42证明（1）4344相关系数的意义 相关系数是描述了X与Y线性相关程度X,Y不相

5、关(弱)X,Y相互独立(强)(没有线性关系）(没有任何关系）可能会有别的关系，如二次关系。45复习公式例：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|=|Y| )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？ 续例 2续4 矩、协方差矩阵 显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。 53n维正态变量具有以下四条重要性质：54第五章 大数定律和中心极限定理 关键词：大数定律中心极限定理 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科, 而随机变量的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来.研究大量随机现象的统计规律,常常

6、采用极限定理的形式去刻画,由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容非常广泛，本章主要介绍大数定律与中心极限定理.561 大数定律背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证弱大数定理(辛钦大数定理)说明60 随机变量序列依概率收敛的定义 辛钦大数定理（弱大数定理）依概率收敛于弱大数定理可叙述为下面介绍辛钦大数定理的一个重要推论贝努利大数定理伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。642 中心极限定理背景： 有许多随机变量，它们是

7、由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 本节只介绍三个常用的中心极限定理 若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序列, ，若存在正数，使当 时， 则随机变量标准化量Zn的分布函数Fn(x)对于任意x满足定理二.李雅普诺夫定理 说明：无论各随机变量Xk(k=1,2,)服从什么分布，只要满足定理的条件，那么他们的和当n很大时，就近似服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有非常重要地位的一

8、个基本原因.69二项分布和正态分布的关系例1: 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,20),它们相互独立且都在区间0,10上服从均匀分布,噪声电压总和V=V1+V2+V20,求PV105的近似值. 解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布N(0,1),于是71 例2 设一货轮在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 的概率为 。若货轮在航行中遭受了90000 次波浪冲击，问其中有 29500 至 30500 次纵摇角度大于 的概率是多少？ 解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在 90

9、000次波浪冲击中，纵摇角度大于3的次数记为X 72的二项分布，其分布律为则 X 为一随机变量，它服从所求概率为显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫佛拉普拉斯定理来求它的近似值。即有73将 代入有74例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。例: 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于600

10、00元，赔偿金至多可设为多少？解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%，设Y表示 保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于78例设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不小于2的概率。最后，我们指出大数定律与中心极限定理的区别： 因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更