高中数学选择性必修一 模块检测A（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典选择性必修第一册 模块检测A 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单选题1如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（ ）A平行B相交C异面垂直D异面不垂直【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出与的坐标，即可判断位置关系.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，则，.，直线，的位置关系是异面垂直. 故选: C【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与直线之间的位置关系，属于基础题.2已

2、知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，.又为直线倾斜角，解得.故选：D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.3如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】先求出 ，再计算即可.【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，则 ，则故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.4点是正方体的侧面内

3、的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（ ）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】先根据条件与的面积之比等于2，可得，然后建立平面直角坐标系求出点的轨迹方程，即可判断.【详解】如图正方体中，可知平面，平面，则，即,以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设正方体棱长为，设，则，整理得，点的轨迹是圆的一部分，故选：A.【点睛】本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断.5已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】

4、D【解析】【分析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值【详解】如图，由双曲线第一定义得，又由三角形三边关系可得（当点为与双曲线的交点时取到等号），+得：，故，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，则，则故选：D【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题6我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设 ，在椭圆中，即在双曲线中 ，即，则所以，由题知，则椭圆

5、离心率，选A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7已知直线，其中，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线的充要条件是 或 故选A8若直线：被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A2B4CD【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线上，推出，利用基本不等式转化求解取最小值【详解】解：圆，即，表示以为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线上，故，即，当

6、且仅当，即时，等号成立，故选：B【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题二、多选题9如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案【详解】解：设正方体的棱长为2，则，设向量是平面的法向量，则取，得，则是平面的一个法向量，结合其他选项，检验可知只有B选项是平面的法向量，故选：ACD【点睛】本题主要考查平面的法向量的应用，属于基础题10如图

7、，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A直线与所成的角可能是B平面平面C三棱锥的体积为定值D平面截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【解析】【分析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1CDP的体积为定值；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设直线D1P

8、与AC所成的角为，故A错误；对于B，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，AA1ABA，A1D1平面A1AP，A1D1平面D1A1P，平面D1A1P平面A1AP，故B正确；对于C，P到平面CDD1的距离BC1，三棱锥D1CDP的体积：为定值，故C正确；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11下列结论正确的是（ ）A过点(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为xy5;B已知直线kx-y-k-10和以M（-3，1）

9、，N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;C已知ab0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2y2r2外一点，直线m的方程是axbyr2，则m与圆相交;D若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).【答案】CD【解析】【分析】A选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B选项中直线kx-y-k-10恒过点，计算即可求解；C选项中利用圆心到直线距离及点P在圆外即可判断；D选项根据以N为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解.【详解】A中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故错误；B中直线kx-y-k-10可化为，所以直

10、线恒过定点，直线与线段相交，所以或，故错误；C中圆心到直线的距离，而点P(a，b)是圆x2y2r2外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故正确.D中与点N（1，0）的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确.故选：CD【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题12已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）AB为等腰直角三角形C直线AB的斜率为D的面积为4【答案】AC【解析】【分

11、析】A根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.【详解】过点向准线作垂线，垂足为，设，如下图所示：A因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.

12、【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线焦点的直线的倾斜角为，焦点弦与抛物线的交点为(在轴的上方，在轴的下方)，此时，.三、填空题13如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则_.【答案】0【解析】【分析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，所以由题：所以即.故答案为：0【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.14圆与圆的公共弦所在的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】把两圆方程相减即得

13、两圆公共弦所在直线方程.【详解】两圆方程分别为：，相减得，即这就是两圆公共弦所在直线方程故答案为：【点睛】本题考查两圆位置关系，考查两圆公共弦所在直线方程，把两圆方程相减所得直线方程表示的直线，如果两圆相离，则为公共弦所在直线，如果两圆外切，则为公切线（两圆之间的公切线），两圆内切，则为公切线，15抛物线的焦点为，点和点，在抛物线上，且，则过点，的直线方程为_【答案】【解析】【分析】点在抛物线上，求出抛物线方程和焦点由，得点是三角形重心，求得中点由点差法 得 ，求得直线方程.【详解】点在抛物线上，所以抛物线方程 设设中点 ，是三角形重心， 解得由点差法 得 点，的直线方程为 即故答案为：【点睛

14、】本题考查抛物线方程及用点差法求中点弦直线方程，属于基础题.16双曲线的的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值_.【答案】【解析】【分析】首先求出双曲线方程，设、两点的坐标分别为，线段的中点为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解即可【详解】解：当时，所以，又，得所以双曲线的方程为设、两点的坐标分别为，线段的中点为，由，得（判别式， 点，在圆上，故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线相交问题及中点弦问题，属于中档题四、解答题17如图，在四棱锥中，平面ABCD，E为PD的中点，点F为PC上靠近P的三等分点（1）求二

15、面角的余弦值；（2）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由【答案】（1）；（2）直线AG在平面AEF内，理由见解析【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系并标点坐标，找出平面AEP的法向量，求出平面AEF的法向量，最后求二面角的余弦值即可；（2）先求点的坐标和的坐标表示，再求利用平面AEF的法向量，证明直线AG在平面AEF内即可.【详解】（1）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则平面AEP的法向量设平面AEF的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为（2）直线AG在平面AEF内，理由如下：点

16、G在PB上，且，平面AEF的法向量，故直线AG在平面AEF内【考点】本题考查线面的位置关系，利用空间向量求二面角，是基础题.18已知等腰梯形，如图（1）所示，沿将折起，使得平面平面，如图（2）所示，连接，得三棱锥.（1）求证：图（2）中平面；（2）求图（2）中的二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证面；（2）构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，即可得，可求得二面角对应的法向量，进而根据法向量夹角与二面角关系即可求得二面角的正弦值【详解】（1）等腰梯形，知：且，即Rt中，又面面，面，而面面

17、面（2）如下图示，构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，由题意知：，则，令为面ABD的一个法向量，则，若y=1，有令为面CBD的一个法向量，则，若y=1，有与的夹角为，则，故根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角的正弦值为【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，应用平面的法向量，结合向量数量积的坐标表示求法向量夹角的正弦值，进而可得二面角的正弦值19已知圆，圆，问：m为何值时，（1）圆和圆外切？（2）圆与圆内含？（3）圆与圆只有一个公共点？【答案】（1）或；（2）；（3）m的值为或或或2.【解析】【分析】把圆，圆的

18、方程化为标准方程，（1）根据圆心距等于半径之和即可求解.（2）根据圆心距小于半径之差即可.（3）根据两圆相切包含内切、外切即可求解.【详解】把圆，圆的方程化为标准方程，得圆，圆.（1）如果圆与圆外切，那么，即，解得或，即当或时，两圆外切.（2）如果圆与圆内含，那么，即，解得，即当时，两圆内含.（3）如果圆与圆只有一个公共点，那么两个圆相切，因此或，解得或或或，即当m的值为或或或2时，两圆只有一个公共点.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20如图，已知圆C1:与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O恰与圆C1相切.（1）求圆C2的方程.（2）若

19、圆C2上有一动点M，直线MO与圆C1的另一个交点为N，在平面内是否存在定点P，使得|PM|=|PN|始终成立？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且为【解析】试题分析：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圆C2过0，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：y=x，即x2y=0利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出；（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：y=kx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0可得M的坐标同理可得N的坐标设P（x，y），线段MN的中点E，利用kPEk=1即可得出详

20、解：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圆C2过O，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：y=x，即x2y=0直线C2O与圆C1相切，=，解得a=1，圆C2的方程为：（x+1）2+（y2）2=，化为：x2+y2+2x4y=0（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：y=kx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0 xM=，yM=代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2（8+4k）x=0 xN=，yN=设P（x，y），线段MN的中点E则k=1，化为：k（4y）+（3x）=0，令4y=3x=0，解得x=3，y=4P（3，4）与k无关系在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.21如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，左、右顶点分别为设点，连接交椭圆于点（1）求该椭圆的标准方程；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心