初中数学人教八年级上册（2023年更新）第十三章 轴对称 含30°角的直角三角形的性质

1、第2课时 含30角的直角三角形的性质【知识与技能】1.熟练掌握含30角的直角三角形的性质.2.会利用性质解题.【过程与方法】通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。【情感态度】本节课使学生经历了“实验猜想证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【教学难点】巧妙运用性质解题.一、情境导入，初步认识用两个全等的含30角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.

2、（1）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1 在RtABC中，C=90,BAC=60,BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.解：在RtABC中，C=90,BAC=60,B=30.AM平分BAC,CAM=BAM=30.B=BAM,AM=BM=15cm.在RtAC

3、M中，CAM=30.CM=AM=.BC=CM+BM=+15=.【教学说明】在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.例2 在RtABD中，ADB=90,A=60,作DCAB,且DBC=BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm. （1）求CBD的度数；（2）求AB的长.【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知DBA的度数，再由DCAB及等腰三角形的性质即可计算CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分DCB,由此可知BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4

4、.再证明ADE是等边三角形即可.解：（1）在RtADB中，A=60,ADB=90,ABD=30.又ABCD,CDB=ABD=30.CBD=CDB=30.（2）过点C作CMBD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,EDB=EBD=30.CDM=30,CMD=90,CM=CD=2.又EBM=CBM=30,BM=BM,EMB=CMB=90,CBMEBM(ASA),EM=CM=2.DE=2EM=4.DEA=EDB+EBD=60,A=60,AD=DE=4.又ADB=90,ABD=30,AB=2AD=8.【教学说明】直角三角形30角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证

5、明线段间倍分问题的重要依据.例3 如图所示，在ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DEAB,DFAC,垂足分别为E、F，BAC=120.求证：DE+DF=BC.【分析】AB=AC,BAC=120,B=C=30.又DEAB,DFAC,可以构造两个含30角的直角三角形.【证明】AB=AC,BAC=120,B=C=(180-120)=30.又DEAB,DFAC,BED=CFD=90.在RtBDE中，B=30,DE=BD.同理，在RtCDF中，DF=CD.DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,A=30,ADC=120,试求CD的长

6、. 【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.解：延长AD、BC交于点E,在RtABE中，E=180-90-30=60,又CDE=180-120=60,DCE=60.CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在RtABE中，A=30,AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.三、运用新知，深化理解1.若三角形的三个内角的比为123,则它的最短边与最长边的比为（ ）.32342.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60,那么这个三角形是_.【答案】 2.等边三角形四、师生互动，课堂小结特殊直角三角形，运用性质先判断，30所对的直角边，长度恰为斜边一半.1.布置作业：从教材“