高等数学（上） 试题及答案

1、dxex x 0高等数学（上） 试题及答案一、 填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）21 、lim(1 3x) x _ . 。 x02 、当 k 时， f (x) 在x 0 处连续x 2 k x 03 、设y x ln x ,则 _ dy4 、曲线y ex x 在点（0，1）处的切线方程是 5、若 f (x)dx sin 2x C ， C 为常数，则 f (x) 。二、 单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）x1x 4x 2x1、若函数 f (x) ，则 lim f (x) （ ）x0A 、0 B 、 1 C 、12 、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. ln (x 0 ) B

2、. ln x(x 1)x2 (x 2)D、不存在C. cosx (x 0)3 、满足方程f (x) 0 的x 是函数y f (x) 的（ ）A极大值点 B 极小值点 C驻点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、 0 sin xdxB 、 0 e 2 x dx C 、 0 dxD.D 间断点D 、 0 1 dx x5 、设空间三点的坐标分别为 M （ 1 ，1 ，1）、A （2 ，2 ，1）、B（2 ，1 ，2）。则 AMB = x x21 2 x ln(1 t 2 ) d 2y 1 1A 、 B 、 C 、 D 、 3 4 2三、 计算题（每小题 7 分，本题共 56 分）1、求极限 lim 。

3、 x0 sin 2xx0 x ex HYPERLINK l _bookmark1 1cos x2、求极限 lim( ) e t2 dtx0 x3、求极限 lim4、设 y e5 ln(x ) ，求 y5 、设f y(x) 由已知 ，求 2 y arctan t dx6、求不定积分7、求不定积分 sin( 2 3)dx ex c o sxdx 1 8 、设f (x) 1 ex 1 1 xx 0， 求 0 f (x 1)dxx 0四、 应用题（本题 7 分）求曲线y x 2 与x y 2 所围成图形的面积 A 以及 A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。五、 证明题（本题 7 分）若f (x) 在

4、0,1上连续， 在(0,1)内可导， 且f (0) f (1) 0 ， f ( ) 1 ，证明： 2在(0,1)内至少有一点 ，使 f () 1。1 1 ex 1 x ex 1 ex 1d 2y d dy dx 2t2 1 t2x一。填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1 、e6 2 、k =1 3、 4 、y 1 5 、f (x) 2 cos 2x 1 x二单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1 、 D 2 、 B 3 、 C 4 、 B 5 、 A三计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）x0 sin 2x x0 sin 2x( 4 x 2) 2 x0 sin 2x( 4

5、 x 2) 8 2 x 1 2x 11.解： lim lim lim 7 分2. 解7 分3、解： 分4、解：x0 x ex 1 x0 x(ex 1) x0 ex 1 xe x x0 ex ex xe x 2： lim( ) lim lim lim cos x e t2 dt lim 1 x0 x 2 sin xe cos x 12 lim 7x0 2x 2e1 1y (1 ) .4 分x 1 x 2 1 x 21 1 x HYPERLINK l _bookmark3 21 5、解：dy 1 t 2 1 dx 2t 2t1 t 21dx2 dt (dx ) dt 2t 4t HYPERLINK

6、 l _bookmark2 31 t HYPERLINK l _bookmark4 26、解： sin( 3)dx sin( 3)d ( 3) cos( 3) C.7 分（4 分）（7 分）（7 分）7 、 解： ex cos xdx cos xdex2 1 100 e 1 10 ex cos x exsinxdx .2 分 ex cos x sin xdex . .3 分 ex cos x ex sin x ex cos xdx 5 分 ex (sin x cos x) C 8 、 解20f (x 1)dx 11 f (x)dx 01 f (x)dx 10f (x)dx 01 10 3 分x

7、 1 (1 1 ex )dx ln(1 x) 05 分 1 ln(1 ex ) ln 26 分 1 ln(1 e 1) ln(1 e)7 分四 应用题（本题 7 分）解： 曲线y x 2 与x y 2 的交点为（ 1，1），于是曲线y x 2 与x y 2 所围成图形的面积 A 为1 3A ( x 2 )dx 3 x 2 3 x 2 3A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为： 7 分：2 分11 1213a x a2 x2 dx1 cos 3x 9V 10 ( 2 y 4 dy 3 10五、证明题（本题 7 分）证明： 设F (x) f (x) x ， 2 分显然F (x) 在 ,1 上连续，

8、 在( ,1) 内可导，2 2且1 1F ( ) 0 ， F (1) 1 0 .2 2零点定理知存在x1 ,1 ，使F (x1 ) 0 .由F (0) 0 ，在0, x1 上应用罗尔定理知，至少存在一点 (0, x1 ) (0,1) 使F() f () 1 0 ，即 f () 1 4 分7 分一、 填空题（共 5 小题， 每小题 3 分，共 15 分）1）函数f x arcsin x 1 的定义域为 2 x 4或x 0 。2） lim 2 。 x0 x 2 3）设 y x xe ，则 y x ln exe 1 。4）设 y a 0 ，dy dx 。 a x a 二、 选择题（共 5 小题， 每

9、小题 4 分，共 20 分）5）若 a 0 , 2 2 arcsin x C 。1）极限lim （ D ） x 2x HYPERLINK l _bookmark5 3A、2 B、 2 C、 2 D、不存在2）下列函数f x 在 1 , 1 上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）A、f x B、f x x2 xdx cos t dx cos t1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 上连续，则dxdx2x2esinx ex cosxC、f x arccos x D、f x cot3）下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数（ C ）A、sin2 x B、 cos2 xC、 cos 2x

10、 D、5sin2 x 4 cos2 x4）设 P 12 ln xdx , Q 12 ln2 xdx , R 12 dx ，则下列不等式正确的是（ D ）A、P Q R B、Q R PC、R Q P D、Q P R5）设 f x 在 a , b d x f x dx （ A ）A、 f x dx B、bf b af a C、x f b f a f x dx D、 f x dx xf x 三、 计算下列各题（共 4 题， 每小题 6 分，共 24 分）x0 x1）计算极限lim 3x0 x x0 x x0 3x 3解： 原式 lim ex cosx lim lim 12）设参数方程 x ln si

11、n t ，求 d 2yy 2 sin t cos t解： dy sin t ， 。 3）计算不定积分 2x ln dx x 1 解：原式 x2 ln 1 x x2 1 x dx x2 ln 1 x 2x3 dx1 x2 arc cota 3 3y 121 a2 5 b x b x a x 1 x2 ln dx x ln 1 x 2x 1 x 1 x dx2 1 x 22 1 x 3 1 x ln x 3ln 1 x ln 1 x C四、 解答下列各题（共 2 题， 每小题 7 分，共 14 分）1）在曲线y x2 1上求一点M ，使它到点M0 5 , 0 的距离最小。解：设曲线y x2 1上一

12、点坐标为a , a2 1 ，它到点M0 5 , 0 的距离的平方为f a a 52 a2 12 ，我们只须在 , 求f a 得最小值f a 2 a 5 4a a2 1 4a3 6a 10 a 1 4a2 4a 10当a 1 时， f a 0 ，此时， f a 取最小值。所求点为 1 , 2 2） 设由 y cosx , y 0 , x 0 在第一象限围成的图形为D ，其面积为 S0 。又曲线 y asinx a 0 将D 分为左右两部分D1 , D2 ，其面积分别为 S1 , S2 ，求a 的值使 S1 : S2 2 :1。解： S0 02 cos xdx sin x 1又因为S1 S2 S0

13、 1 ，S1 : S2 2 :1所以S1 , S2 2 13 S1 0 cos x a sin x dxy cos xy a sin xarc cot a x sin x a cos x cot a sin arc cot a a cos arc cot a a a 1 a2 a a 五、 （本题 8 分）设 f x 有无穷间断点x1 0 ，有可去间断点x2 1，求 a , b 之值。解： 因为x1 0 是无穷间断点， 所以x 0 时， f x ，因此a 0 ，b 0 , b 1x 0f x f f x f x f x f x x 0 2xe2 x e2 x 1f x x x f x f x

14、x x0 又因为x2 1是可去间断点， 而x 1 时， x a x 1 0 ，所以， 当x 1 时，有 bx b 0 ，因此b 2 。 e2 x 1六、 （本题 9 分） 设 f x x 2，讨论 f x , f x 在x 0 x 0 处的连续性。x0 x0 xe2 h 1解：因为lim f x lim e2 x 1 2 f 0 ，所以 f x 在x 0 处的连续。h0 h h0 h h0 h h0 2hf 0 lim f h f 0 lim h 2 lim lim 2e2 h 2 2 2xe2 x e2x 1x0 x0 xf x x2 ，又因为 lim f x lim 2 2 ， 2 x 0

15、所以 f x 在x 0 处连续。（本题 10 分） 设f x 在 a , b 内连续，可导且f x 单调增， x0 a , b f x f x0 x x x0 f x0 x x0 x x0试证明： x 在 a , b 内也单调增。x0 x0 x x0证明： 因为lim x lim 0 f x0 x0 ，所以 x 在x x0 处连续。当x x0 时， x 在以x , x0 为端点的闭区间上对函数 x 运用拉格朗日中值定理， 至少存在x , x0之间的一点 使得 0 f f x f x0 f x x0 x x0当x x0 时， x ，当 x a , x0 时， f x f ，即 x x HYPER

16、LINK l _bookmark6 0 x 0 ；当 x x0 , b 时， f x f ，即 x 0 ，又因为 x 在x x0 处连续。所以 x 在 a , b 内也单调增。一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).2(D) xO）.f x0 （4）设f (x) 在x0 处可导， 则 h0 h 为（ A ）.y y x .f (x) f (x) 2.limy x 11a x1图 1- 1x2 b x1（1 ） x0lim(cos x)x1=_ e _.（ 2 ） 曲 线 y x lnx 上 与 直 线 x y 1 0 平 行 的 切 线 方 程 为_ _.（ 3 ） 已

17、知 f (ex ) xe x ， 且 f (1) 0 , 则(ln x)2_ _x 2 1 1（4）曲线 3x 1 的斜渐近线方程为 _ 3 9y 2y (x 1) y 2 (x 1) C (x 1)2 .（5）微分方程 x 1 的通解为_ 3二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 11 dx 0(C) dx (B) 11 dx 2 dx （2）函数f (x) 在a, b 内有定义， 其导数f (x) 的图形如图 1- 1 所示，则（ D ）.(A)x1 , x2 都是极值点.(B) x1 , f (x1 ), x2 , f

18、(x2 ) 都是拐点.(C) x1 是极值点. ， x2 , f (x2 ) 是拐点.(D) x1 , f (x1) 是拐点， x2 是极值点.（3）函数y C1ex C2e 2x xex 满足的一个微分方程是（yy f (x)D（A ）y y 2y 3xex .（C ）y y 2y 3xex .（B ）y y 2y 3ex .（D ）y y 2y 3ex .f x0 f x0 h (A) . (B) f x0 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）(A) ( f (x)dx) f (x).(C) d f (x)dx f (x).(C) 0. (D)不存在 .(B) df (x) f (x

19、).(D) f (x)dx f (x).三、 计算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） .30 1 t s i nt,2 sin t tan t t sin t.解 x1 x 1 ln x = x1 (x 1) ln x -1 分lim( ) lim3 xarctan x 11 ln x 1 ln xlim( )1 求极限 x1 x 1 ln x .x 1 x ln x x 1ln x x1 x 1= x -2 分x ln x lim= x1 x 1 x ln x -1 分lim = x1 1 ln x 1 2 -2 分x ln sin t dy d 2y2.方程y cos t

20、 t sin t 确定y 为x 的函数，求 dx 与 dx2 .dy y(t)解 dx x(t) -（3 分）d 2y (t sin t)dx x(t) -（6 分）3. 4. 计算不定积分 x (1 x) .解： arctan dx 2 arctan d 2分 dx x (1 x) (1 x)=2 arctan d arctan 2分=（arctan 2 C 2分4.计算定积分 0 1 1 x . dx解 3 dx 03 dx 03(1 - - （3分）32 5 3 (1 x)2 3 30（或令 t ）四、解答题（本题共 4 小题，- - （6 分）共 29 分） .1 （本题 6 分） 解

21、微分方程y 5y 6y xe2 x .2g 32 3bb21 1211解： 特征方程r2 - 5r 6 0 1分特征解r1 2,r2 3. 1分次方程的通解Y = C 1e2 x C2e3x . 1分令y* x(b0 x b1)e2 x 1分代入解得b0 ，b1 1.所以y* x( x 1)e2 x 1分2所以所求通解y C 1e2 x C2e3x x( 1 x 1)e2 x . 1分2（本题 7 分） 一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1）， 桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R ，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力解：建立坐标系如图P 0R 2gx dx 4分 g0R d（R2 x2）

22、1分 g （R2 x2）2 1分 3 R 1分 33. （本题 8 分） 设f (x) 在a, b 上有连续的导数，试求 a xf (x)f (x)dx .yxf (a) f (b) 0 ，且 a f 2 (x)dx 1 ，解： xf (x)f (x)dx xf (x)df (x) 2分 xdf 2 (x) 2分=xf 2 (x)EQ * jc0 * hps13 o(sup 8(b),a) f 2 (x)dx 2分=0 2分2 24. （本题 8 分） 过坐标原点作曲线y ln x 的切线， 该切线与曲线y ln x 及x 轴围成平 面图形 D.O 1 e x10 - 1 分y xV2 0 (e ey )2 dy1 2(1) (3) 求 D 的面积 A;(2)