初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数二次函数中等腰三角形的存在性问题

1、二次函数中等腰三角形的存在性问题教学设计绵阳外国语实验学校 刘丽琼教学目标：1、能用待定系数法确定二次函数的解析式，渗透“数形结合”的思想；2、探究二次函数中等腰三角形存在性问题，培养学生“分类讨论”的思想；3、能用距离公式求出两点间的距离，提高学生分析问题，解决问题的能力，培养学生良好的数学学习品质.教学重难点：探究出二次函数中等腰三角形存在性问题的一般解题方法；分类讨论思想.教学过程：1、复习旧知师：如图， 平面内有A，B两点，请同学们在平面内找到一点P，使得PAB是等腰三角形，这样的点P你可以找到几个？生：无数个。师：这里没有明确哪一条边是底，哪一条边是腰，因此我们要进行分类讨论，那需要

2、分哪几种情况来讨论呢？生：三种。分A，B，P为顶角顶点进行讨论。第一种情况：当A为顶角顶点时，AB=AP，点P在以A为圆心，AB为半径的圆上；第二种情况：当B为顶角顶点时，BA=BP，点P在以点B为圆心，BA为半径的圆上；第三种情况：当P为顶角顶点时，PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上。师：很好，也就是我们所说的“两圆一线”。这“两圆一线”上的点除了与直线AB的交点以外的任意一点都会与A，B两点构成等腰三角形。2、引入新课师：我们学习了二次函数，经常会遇见二次函数中等腰三角形的存在性问题，今天我们一起来探究这个问题。3、例题精讲例1：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点C，抛物线经过点A、

3、C，与轴交于另一点B，且.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使ACM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；师：请同学们做好第1小题，求抛物线的解析式。生：先由直线解析式得到A点，C点的坐标，再把A，B，C三点的坐标代入抛物线得到关于，的三元一次方程组，解方程组得到抛物线解析式为：。 师：第2小题，请同学们找到这样的点M在哪里？并思考怎么去求点M的坐标。请同学们小组讨论，得出结果。（讨论）师：怎么找到这个点M？生：首先点M在“两圆一线”上，点M又要在抛物线的对称轴上，所以“两圆一线”与抛物线对称轴的交点就是点M，可以找到5个这样的点。师：那点M的

4、坐标怎么求呢？生：因为抛物线的对称轴是直线，所以可以设点M的坐标为，利用两点间的距离公式，根据等腰三角形的腰长相等列出方程，求出m，从而得到点M的坐标。师：非常好！【解答】A，C，M， = 1 * GB3 当A为顶角顶点，即AC=AM时，解得： = 2 * GB3 当C为顶角顶点，即CA=CM时，解得： = 3 * GB3 当M为顶角顶点，即MA=MC时，解得：所以，点M的坐标为，。【拓展1】在上题中， 若点M是直线上的一动点，是否存在点M，使ACM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。师：这样的点M存在吗？点M会在哪里呢？生：“两圆一线”与直线的交点即为点M。师：怎样求

5、出点M的坐标呢？生：设M，利用两点间的距离公式，根据等腰三角形的腰长相等列出方程，求出m，从而得到点M的坐标。师：（总结）动点M只要是在一条确定的直线上，比如说在抛物线的对称轴上，或者坐标轴上，或者一次函数的图像上，我们都可以用这个方法来解决。即先设坐标，再用两点间距离公式，根据腰长相等，列出方程求解。【拓展2】在上题中，若点P是y轴上一动点，Q是平面直角系内一点，是否存在点P，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形菱形？若存在，求出点P的坐标。师：要解决这个问题，请同学们分小组讨论，菱形与等腰三角形有怎样的联系？生：等腰三角形沿着底边翻折可以得到菱形。 （等腰三角形沿着底边翻折得到菱形）师：点

6、P的坐标怎么求？生：“两圆一线与”y轴的交点就是点P，设P点坐标，利用两点间的距离公式，根据等腰三角形的腰长相等列出方程，从而得到点P的坐标。师：如果还要求Q点的坐标呢？生：求出P点的坐标以后，利用对称性或者平移的方法即可以求出Q点的坐标。师：非常好！菱形的存在性问题我们可以转化为等腰三角形的存在性问题来解决。4、自主练习如图，直线与轴、轴分别交于点B、C，对称轴为的抛物线经过B、C两点，与轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作PE轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为t(1t3)（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；（2）求证：FGGE； （3）当FCG为等腰三角形时，求t的值。师：请思考以下3个问题：1、点F，G与点P有何关系？2、如何得到F，G的坐标？3、这些边的长度如何表示？请同学们带着这几个问题完成这道题。5