大题专项训练17 立体几何（探索性问题）-2021届高三数学二轮复习 【含答案】

1、二轮大题专练17立体几何（探索性问题）1如图1，是以为直径的圆上两点，且，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的射影在上，如图2（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）证明：是圆的直径，平面，平面，又，平面，平面平面，又，平面（2）解：连接，平面，平面，在和中，由得，在中，由，得，在中，是的三等分点，且在线段上存在点，使得，则有平面，平面，平面故在线段上存在点，使得平面，此时2如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：（1）证明：在中，有

2、，可得，又，可得平面，即有，由四边形是边长为的正方形，可得，而，可得平面，又平面，则平面平面；（2）在线段上存在点，使得，且理由如下：由（1）可得，以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，0，1，0，0，设，所以，解得，所以，1，要使，则需，即，解得故线段上存在点，使得，且3如图，在三棱锥中，底面，是棱的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，且棱上有一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置，并求三棱锥的体积（1）证明：底面，又为的中点，、平面，平面，平面，平面平面（2）解：，底面，设点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，即，解得，点为的四等分点，

3、且，三棱锥的体积4等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足（如图（1），将沿折起到的位置，使面面，连接，（如图（2）（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1）证明：题图（1）中，由已知可得：，从而，故得，所以，所以题图（2）中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面（2）存在由（1）知，平面以为坐标原点，以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图：，0，0，0，0，0，所以，0，0，所以，所以5在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，且，（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的

4、值；如果不存在，说明理由；（3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行解：（1）证明：由平面平面，平面平面，且，可得平面；（2）线段上假设存在点，使得平面，设，以为坐标原点，所在的直线分别为，轴，过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，由四边形为直角梯形，且，可得，且，可得，0，0，2，1，3，1，设平面的法向量为，平面的法向量为，由可得，可取，则，由，可得，取，可得，由题意可得，解得，则，所以存在，且；（3）证明：假设与平行，取的中点，连接，由为的中位线，可得，可得过存在两条直线，与平行，这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，矛盾，故与一定不平行6如图，在正四棱柱中

5、，为的中点，为的中点，为的中点（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（1）证明：以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，0，0，0，0，即，又，平面（2）解：由（1）可知，为平面的一个法向量，设线段上存在点，使得平面，不妨设，又，平面，解得，线段上存在点，使得平面，且7如图，在三棱锥中，平面，是等边三角形，点，分别为，的中点，（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由解：（1）证明：平面，平面，平面平面，为的中点，又平面平面，平面，平面，又平面，平面平面

6、（2）解：平面，又点，分别为，的中点，所以，从而又由于平面，所以，两两互相垂直以为坐标原点，分别以，方向为，轴正方向建立如图坐标系由于，1，于是，设平面的法向量，则，取，则，于是，设，则由或（舍去）故存在满足条件的点，点是线段的中点8如图，四棱锥中，底面，四边形中，（）求证：平面平面；（）设若直线与平面所成的角为，求线段的长；在线段上是否存在一个点，使得点到点，的距离都相等？说明理由解：证明：平面，平面又，平面又平面，平面平面以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作交于点，则在中，设，则，0，0，由，得，所以，设平面的法向量为，由，得取，得平面的一个法向量为又，故由直线与平面所成的角为得即解得或（舍去，因为所以假设在线段上存在一个点到、的距离都相等由，得从而，即所以设，则，在中，这与矛盾所以在线段上不存在一个点，使得点到、的距离都相等从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、的距离都相等9如图，在三棱柱中，平面，（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的大小；（）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值解：（）证明：在三棱柱中，平面，平面，平面，平面（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0