2013年高考文科数学试卷-四川卷(含答案)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I卷（选择题共50分）在每小题给出的四个选项中，只一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分有一项是符合题目要求的.1.设集合A=1,2,3，集合B=一2,2，则Ap|B=(A)0B)2(C)一2,2(D)2,1,2,32.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（A）棱柱（B）棱台（C）圆柱（D）圆台3.如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是（）A)AB)BC)CD)D4.p:3xeA,2xeBp:3x电A,2xeBp:3xeA,2x电Bp:Vx电A,2x电B5.抛物线y2二8x的焦点到直线x

2、-朽y二0的距离是(A)23B)2D)16.函数f（x）=2sin（ex+申）（30,2申）的部分图象如图所示，则e,p的值分别是()36(C)4,卡6（D）4乜7某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成0,5）,5,10），30,35）,35,40时，所作的频率分布直方图是（）0510152025303540人数(A)0510152025303540人数(B)010203040人数(C)0.02.0.01组距0.04.0.03.010203040人数(D)0731764430275543203S5430 x+y8,2y一x0,y

3、0,的值是（）（A）48B)30C)24D)16x2y29从椭圆药+右=1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点Fi，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/OP（O是坐标原点）,则该椭圆的离心率是（）A)（B）210.设函数f（x）二ex+xa（aeR，e为自然对数的底数）.若存在be0,1使f（f（b）=b成立，则a的取值范围是（）A)1,e(B)1,1+e(C)e,l+eD)0,1第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分.igJ5+igJ20的值是.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD=九

4、AO，则九=-13.已知函数f(x)二4x+-(x0,a0)在x=3时取得最小值，则a=.x兀14.设sin2a=sina，ag(一,兀)，则tan2a的值是.2在平面直角坐标系内，至U点A(1,2)，B(l,5)，C(3,6)，D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)在等比数列a中，a-a=2，且2a为3a和a的等差中项，n21213求数列a的首项、公比及前n项和.n17.(本小题满分12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3cos(A一B)cosB一sin(A一B)sin(A

5、+c)=-5求sinA的值；若a=4*2，b=5，求向量BA在BC方向上的投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生.分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P(i=1,2,3)；i甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行2次后，统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.幵跆/输人X/y=3/鞘半y/（览束甲的频数统计表（部分）乙的顷数统计表韶分）谢出*的臣为I的頼数葡出y的僅为2肘蘋靈输出y的苣为3肘顏蓝301461021001027.37

6、6697运纾输出y的僅为1肘烦萤葡出训j臣为2曲频数葡出y曲僅为3的濒萤301211721001051696.353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出Y的值为i（i=1,2,3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱AA丄底面ABC,AB=AC=2AA=2,1111ZBAC=120，D,D分别是线段BC,BC的中点，P是线段AD上异于端点的点.iii（I）在平面ABC内，试作出过点P与平面ABC平行的直线I，说明理由，并证明直线/丄1平面ADDA；11（II）设（I

7、）中的直线/交ac于点Q，求三棱锥a-QCD的体积.（锥体体积公式:11h为高）20（本小题满分13分）已知圆C的方程为x2+（y-4）2=4，点O是坐标原点.直线/:Y=kx与圆C交于M,N两点求k的取值范围；211设Q(m,n)是线段MN上的点，且=+.请将n表示为m的IOQ|2|OM|2|ONI2函数21(本小题满分14分)x2+2x+a,x01122该函数图象上的两点，且xx.12指出函数f(x)的单调区间；若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x1；221若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围.参考答案一、选择题1B2D3B4C5D6A7A8C9C10

8、A1111223614.15（2,4）16解：设a的公比为q.由已知可得naq一a=2,4aq=3a+aq2,11111所以ai(q一1)=2,q2一4q+3=0，解得q=3或q=1,由于ai(q-1)=2。因此q=1不合题意，应舍去，故公比q=3，首项a1=1.3n一1所以，数列的前n项和S=n212分173解：(I)由cos(AB)cosBsin(AB)sin(A+c)=-5得3cos(AB)cosBsin(AB)sinB=5，cosA=53则cos(AB+B)=5，即4又0Ab，贝AB，故B=.43根据余弦定理，有（4x/2）2=52+c2-2x5cx（5），解得c=1或c=7（负值舍去

9、），、，、一迈12分共有24种可向量BA在BC方向上的投影为BAcosB=.18解：（I）变量x是在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,当X从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1,故竹=2；当x从2,4,&10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2,故P=1；23当x从6,12,1&24这4个数中产生时，输出y的值为3故P=136所以输出y的值为1的概率为；，输出y的值为2的概率为；，输出y的值为3的概率为-.2366分(II)当n2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如

10、下,输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1027376697210021002100乙1051696353210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大12分19.解：(I)如图，在平面ABC内，过点P作直线l/BC，因为/在平面ABC夕卜，BC在平面片BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l/平面ABC由已知，AB=AC，D是BC中点，所以BC丄AD,则直线l丄AD，又因为AA丄底面ABC，所以AA1丄I,又因为AD，AA在平面ADD片内，且AD与AA1相交，所以直线l丄平面ADDA.7分(II)过D作DE丄AC于E，因为

11、*丄平面ABC，所以AA1丄DE，又因为AC,AA在平面AACC内,且AC与AA1相交，所以DE丄平面AA1C1C，由AB=AC=2,ZBAC=120，有AD=1,ZDAC=60,TOC o 1-5 h zJ3朽所以在AACD中，DE=AD=,22又S=1AC-AA=1,所以AAQC12111V=V=Lde-SAj-QCDD-AQC3AjQC因此三棱锥AQCD的体积为.11612分=+|oq|2|omI2|on12=+(1+k2)m2(1+k2)x2(1+k2)x212211所以=+=1-m2x2x2128k由(*)知x+x=121+k2(x+x)2-2xx124厶x2x21212xx=，12

12、1+k220解：(I)将y=kx代入x2+(y-4)2=4得则(1+k2)x28kx+12=0，(*)由=(-8k)24(1+k2)x120得k23.所以k的取值范围是(-8,-吕UG-3,+8).4分(II)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1)，(x2,kx2)，则|OM|2=(1+k2)x】2，ON2=(1+k2)x22，又OQ2=m2+n2=(1+k2)m2，211211由=+得，36可得5n2一3m2=36，5k2-3即me(J3,0)U(0,v3).依题意，点Q在圆C内，则n0，所以n=f-36+3m2x15m2+180，于是，n与m的函数关系为n=山加(m

13、e(-桓,0)U(0,朽)所以m2=,5k2-3n因为点Q在直线l上，所以k=，代入m2=m36由m2=及k23得0m23，5k2-313分21解：(I)函数f(x)的单调减区间为(-,-1),单调增区间为(-1,0),(0,+8)3分(II)由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为广(片)，点B处的切线斜率为f(x2),故当点A，B处的切线互相垂直时，有f(x1)fr(x2)=-1，当x0时，f(x)=2x+2因为xx0，所以(2x+2)(2x+2)=-1，所以2x+20，2x+20，121212因此xx=(2x+2)+(2x+2)(2x+2)(2x+2)=1，21212111231(当且仅当(2x+2)=2x2+2=1，即x1=且x2=一牙时等号成立)所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时有x-x1217分(III)当xx0或xx0时，f(x)丰f(x)，故x0 x.12211212当x10时，f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为y-lnx=-(x-x)2x2=2x+2x1，2，lnx一1=一x2+a2102，x2+(丄-1)21=-ln丄+丄(丄-2)21，2xx4x222令t=，贝V0t2，且a=t2tlntx42111(t1)