分析05插值法上课件

1、分析05插值法上分析05插值法上第五章目录 1 拉格朗日（Lagrange）插值 1.1 插值多项式的存在性和唯一性 1.2 插值多项式的误差估计 1.3 Lagrange插值多项式 2 牛顿（Newton）插值 2.1 差商 2.2 Newton插值方式 2.3 差分 2.4 差距节点的插项公式3 Hermite插值 3.1 Hermite插值 3.2 误差估计 3.3 Hermite插值的一般方式4 多项式插值的缺陷 4.1 多项式插值的缺陷 4.2 分段多项式插值5 样条函数 5.1 样条函数的概念 5.2 三次样条函数2第章 第五章目录 1 拉格朗日（Lagrange）插插值法概述 函

2、数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 xi 上的值（包括函数值f (xi)，导数值f (xi)等,i = 0,1,2,n),虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。

3、3第章 插值法概述 函数常被用来描述客观事物变化的内插值法概述(续1） 如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,)观测到行星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据(ti,S(ti),i=1,2,)，而行星是在作连续运动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。又如：据资料记载，某地某年夏季时节间隔30天的日

4、出日落时间数据如下：4第章 插值法概述(续1） 如行星在太空中的定位问题：插值法概述（续2） 另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。 如在积分 中，当f (x)很复杂，要计算积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。 5月1日 5月31日 6月30日 日出: 5:51 5:17 5:10 日落: 19:04 19:38 19:50 如果我们希望知道从5月1日到6月30日这些天中，哪一天的日照最长，而这段时间大部分日子的情况并没有

5、数据记录，这就需要从上面数表中仅有的数据出发，构 造一个（近似）函数反映日出（日落）的规律，用以推测所需要的数据。5第章 插值法概述（续2） 另一方面，有些函数，虽然有解析表代数插值 解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点(xi,f (xi) (i = 0,1,2,n)，选定一个便于计算的函数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 0,12,n),由此确定函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（

6、数据）拟合法，将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。6第章 代数插值 解决上述问题的方法有两类：一类是对于代数插值（续1） 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其基本问题是： 已知函数f (x)在区间a,b上n+1个不同点x0,x1,xn处的函数值yi = f (xi) (i=0,1,n),求一个次数不超过n的多项式： 使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件： n(x

7、)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,n)称为插值节点，a,b称为插值区间。7第章 代数插值（续1） 用多项式作为研究插值的工具，代数插值（续2） 从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,n)，作一条多项式曲线y = (x)近似曲线y = f (x) :yxy0yny2x0 x1x2xny1（图5-1）因此，所谓插值，即是在x0,x1,xn中任意插入一个x，要求对应的f (x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以n(x)近似f (x)。 - - -8第章 代数插值（续2） 从几何上看（如图5-1所示代数插值（续3） 插值法是求函数值的一

8、种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。 假定 ： 设计给出的节点为xi = 2,4,6, 8, 10，施工设计拱架点为xi = 1.5, 3.5, 5.5, 8, 10,部分节点不重合，此时y = f (xi)如何求？这就是插值问题。246810 xy（图5-2）9第章 代数插值（续3） 插值法是求函数值的一种逼近方 又如在软土地区修建铁路，公路，将不可避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其工后沉降的大小

9、，沉降速率都直接影响铁路，公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进行严格控制。 通过对已建成路基面标高（路肩）进行测量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分析（包括作插值），可推算出： 某一时刻路基沉降（如3年，5年）的沉 降值； 不同时期路基沉降速率； 最终沉降值。 代数插值应用举例10第章 又如在软土地区修建铁路，公路，将不可代数插值1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多项式的存在性和唯一性 插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件（5-2）的插值多次式n(x)是否存在？如果存在，是否唯一？n次多项式n(x)有n +1个待定系数，利用给出的n+1个不同的节点x0, x1, ,

10、xn，由插值条件（5-2）可得关于系数a0,a1,an的n +1个方程 ：11第章 1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多项式的插值多项式的存在性和唯一性（续）其系数行列式 ：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：12第章 插值多项式的存在性和唯一性（续）其系数行列式 ：由唯一性的上关于唯一性证明的几点说明1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误差也一样。2：n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若n次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,

11、a1,an, an+1需确定，而n +1个组节点，只构成n +1个插值条 件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。13第章 关于唯一性证明的几点说明1：插值多项式的唯一性表明，对同一组 1.2 插值多项式的误差估计 插值多项式与被插函数之间的差： 称为截断误差，又称为插值余项。假定f (x)在区间a,b上n +1次连续可导，对a,b上任意点x，且x xi(i=0,1,n)，构造辅助

12、函数： 14第章 1.2 插值多项式的误差估计 插值多项式与被插函数之间的插值多项式的误差估计（续）在（a, b）内至少有一个零点，设为，即： 因为n(t)为至多n次多项， n+1(t)为最高次项系数为1的n +1次多项式，因而：又由插值条件（5-2），Rn(xi) = 0 (i=0,1,n)，故函数(t)在区间a,b内至少有n+2个零点x,x0,x1,xn。由罗尔（Rolle）中值定理，函数 在(a, b)内至少有n +1个零点。反复使用Rolle中值定理，可以得出：15第章 插值多项式的误差估计（续）在（a, b）内至少有一个零点，设插值多项式的误差估计（续）于是有：所以：当x = xi

13、(i=0,1,n)，时，上式自然成立，因此，上式对a,b上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。16第章 插值多项式的误差估计（续）于是有：所以：当x = xi (i插值余项定理定理5.1 设x0, x1, xn是区间a, b上的互异节点，n(x)是过这组节点的n次插值多项式。如果f (x)在a, b上n+1次连续可导，则对a,b内任意点x，插值余项为： 观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（Taylor）余项有相似之外。事实上，插值余项（5-4）的导出过程与Taylor余项的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研究用多项式近似一个函数的误差。只是Taylor多项式要求在同一点上各

14、阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不同点上函数值相等。 17第章 插值余项定理定理5.1 设x0, x1, xn是区间a插值余项定理（续） 另外，从余项Rn(x)中的n+1(x)知，当点x位于x0, x1, xn的中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度要差一点；若x位于x0, x1, xn的外部，一般称为外插，此时精度一般不理想，使用时必须注意。 为更好理解误差估计式（5-4），来看一下，若f (x)为一个n次多项式，对于区间a,b，从上选取n +1个点xi(i=0,1,2,n)，由yi =f (xi)可得一组点(xi,yi)(i=0,1,2,n)，由它们按插值条件（5-2）构成一

15、个n次插多项式n(x)，问f (x)（n次多项式）与n(x)之间相差多少(n(x)f (x)？ 18第章 插值余项定理（续） 另外，从余项Rn(x)中的n+1(x1.3 Lagrange插值多项式 对(xi,yi)(i=0,1,2,n)按插值条件（5-2）构造n次插值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下面从最简单的情形开始。 n =1时，只有两个节点，x0, x1，对应于y0, y1，由前所述，插值多项式应设为1(x) = a0+a1x，且满足插值条件 ：所以，n =1时两个节点的插值多项式为：（紧接下屏）19第章 1.3 Lagrange插值多项式 对(xLagrange插值多项式（

16、续1） 其几何意义，就是以过两点(x0, y0)，(x1, y1)的直线y = 1(x)近似曲线y = f (x)，故这种插值又称为线性插值，如图5-3所示 ：x图5-3 x0 x1由于1(x)为直线，由过两点的直线的点斜式可得：20第章 Lagrange插值多项式（续1） 其几何意义Lagrange插值多项式（续2） 显然，1(x)，N1(x)与L1(x)都是同一条直线，应相同，也可以验证1(x)，N1(x)和L1(x)满足插值条件（5-2）。 线性插值多项式的上述几种形式中，式（5-6）与式（5-7）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到n+1个节点的一般情况，分别得到牛顿插值多项式Nn

17、(x)和拉格朗日插值多项式Ln(x)。 为了将两点插值公式L1(x)推广到一般情况，引入插值基函数l0(x)，l1(x)，则： L1(x)是两个函数值的线性组合，组合系数为两个插值基函数：21第章 Lagrange插值多项式（续2） 显然，1 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值多项式表示为插值节点x0，x1对应的函数值y0，y1的线性组合，而组合系数就是插值基函数l0(x), l1(x)。所以插值问题可分解为基函数的插值问题。插值基函数这里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函数，应满足插值条件：当n =2时，已知函数表如下，,求满足插值条件L2(xi) = yi

18、(i=0,1,2,)的二次的插值多项式L2(x)xx0 x1x2y(x)y0y1y222第章 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即插值基函数（n =2）（续1） 按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，由于x1,x2为l0(x)的两个零点，故可设： 同理可得：23第章 插值基函数（n =2）（续1） 按此插值条件，插值基函数（续2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l1(x)y1+ l2(x)y2满足插值条件（5-2）由多项式插值的唯一性知，L2(x)即为所求的二次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线L2(x)近似曲线y = f

19、 (x)，如图5-4所示，故又称为抛物插值。 将上述利用插值基函数求插值多项式的方法推广到一般情况，当节点增多到n +1个时，对(xi,yi)(i=0,1,2,n) 设n次插值多项式：xx1x2x0y图5-424第章 插值基函数（续2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l插值基函数（续3）即li(x)有n个零点xj (j=0,1,n,j i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中li(x)为插值基函数(i = 0,1,2,n)，它们的次数不超过n，且满足：25第章 插值基函数（续3）即li(x)有n个零点xj (j=0,1,Lagrange插值多项式 代入（5-9）式，得:26第章

20、 Lagrange插值多项式 代入（5-9）式，得:28第章 Lagrange插值多项式（续）事实上，因为每个插值基函数 li（x)(i=0,1,n)都是n次多项式，故Ln(x)是至多n次多项式，由: 即Ln(x)满足插值条件（5-2），称式（5-10）为Lagrange插值多项式，具优点是形式对称，含义直观，便于在计算机上实现，式（5-4）为插值余项。 27第章 Lagrange插值多项式（续）事实上，因为每个插值基函数 插值举例例1 已知函数 y = ln x的函数表如下： 2.63912.56492.48492.39792.3026y=lnx1413121110 x解线性插值。取两个节点

21、x0=11，x1=12，插值基函数为:分别用Lagrange线性插值和抛物线插值求ln11.5的近似值，并估计截断误差。28第章 插值举例例1 已知函数 y = ln x的函数表如下： 2例1(续）抛物线插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值多项式为:29第章 例1(续）抛物线插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值举例（续）例2证明上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为1。 显然，函数f(x) 1在这n +1个节点取值为1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多项式为：对任意x，插值余项为：所以：30第章 插

22、值举例（续）例2证明上式的左端为插值基函数的线性组合，2 牛顿（Newton）插值 Lagrange插值多项式是从直线的对称式出发，利用插值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点斜式（5-6）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计算简单的插值公式呢？31第章 2 牛顿（Newton）插值 Lagra牛顿（Newton）插值（续1） 这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况如果能推广到n次多项式Nn(x)，则Nn(x)可写作为： 上述插值多项式的系数a0,a1,an如何求，是否有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件： 3

23、2第章 牛顿（Newton）插值（续1） 这是一个递推牛顿（Newton）插值（续2）33第章 牛顿（Newton）插值（续2）35第章 2.1 差商 定义5.1 类似于高阶导数的定义，称 一阶差商的差商:为f (x)关于点xi,xj,xk的二阶差商，记为f xi,xj,xk。 称为f (x)关于点x0,x1,xk的k阶差商。一般地：34第章 2.1 差商 定义5.1 类似于高阶导数的定义，称为f 差商计算35第章 差商计算37第章 差商的性质（1）各阶差商均具有线性性质，即若f (x)=a (x)+b (x)，则对任意常数k，都有： （2）k阶差商f x0,x1,xk可表成f (x0),f

24、(x1),f(xk)的线性组合：36第章 差商的性质（1）各阶差商均具有线性性质，即若f (x)=a差商的性质（续）（3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变，如:（4）若f (x)是n次多项式，则一阶差商f x,xi是n 1次多项式。 事实上，如果f (x)是n次多项式，则p (x) = f (x) f (xi)也是n次多项式，且p (xi) = 0, xi为其零点p (x)可分解为p (x) = (xxi) pn1 (x) ， 其中pn1 (x)为n 1次多项式，所以：为n 1次多项式。37第章 差商的性质（续）（3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置差商表的计算计算各阶

25、差商，可以按照下表进行：表5-1xif (xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0f (x0)x1f (x1)f x0,x1x2f (x2)f x1,x2f x0,x1,x2x3f (x3)f x2,x3f x1,x2,x3f x0,x1,x2,x3x4f (x4)f x3,x4f x2,x3,x4f x1,x2,x3,x4f x0,x1,x2,x3,x4x5f (x5)f x4,x5f x3,x4,x5f x2,x3,x4,x5f x1,x2,x3,x4,x5 38第章 差商表的计算计算各阶差商，可以按照下表进行：表5-1xif 2.2 Newton插值公式 由各阶差商的定义，依次可得:记

26、：（紧接下屏）39第章 2.2 Newton插值公式 由各阶差商的定义，依次可得:Newton插值多项式及其余项 显然，Nn(x)是至多n次的多项式。而由：即得f (xi)= Nn(xi) (i=0,1,n)。这表明Nn(x)满足插值条件（5-2），因而它是f (x)的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。所需差商为表5-1第一条斜线上的含x0的各阶差商。 Newton插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即： 因此便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。40第章 Newton插值多项式及其余项 显然，Nn(xNewton插值

27、多项式及其余项（续） 由插值多项式的唯一性可知，n次Newton插值多项式与n次Lagrange插值多项式是相等的，即Nn(x) = Ln(x)，它们只是表示形式不同。因此Newton余项与Lagrange余项也是相等的，即：由此可得差商与导数的关系：41第章 Newton插值多项式及其余项（续） 由插值多Newton插值多项式的计算 表5-2 Newton插值多项式可按表5-2计算。 xiyi= f (xi)一阶差商二阶差商n阶差商x0y01x1y1f x0,x1x-x0 x2y2f x1,x2f x0,x1,x2x3y3f x2,x3f x1,x2,x3xnynf xn-1,xnf xn-

28、2,xn-1,xnf x0,x1,xnn次Newton插值多项式Nn(x)为表5-2中对角线上的差商值与右端因子乘积的和。 42第章 Newton插值多项式的计算 表5-2 Newton插值多项Newton插值公式计算举例例3 用Newton插值公式计算例1中的ln11.5。 解 如果仍取点x0=11, x1=12, x2=13,作抛物线插值，按表5-2计算，结果如下： xiyi= lnxi一阶差商二阶差商112.39791122.48490.0870 x-11132.56490.0800-0.0035(x-11)(x-12)43第章 Newton插值公式计算举例例3 用Newton插值公式计

29、算Newton插值公式计算例3续 若加节点x=10,14, ln10=2.3026, ln14=2.6391，用ln x的四次Newton插值多项式近似,则: xiyi= f (xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商102.30261112.39790.0953x-10122.48490.0870-0.00415(x-10)(x-11)132.56490.0800-0.003500.00022142.63910.0742-0.002900.00020-0.00005按表5-2计算结果如下: 44第章 Newton插值公式计算例3续 若加节点x=10,14, 2.3 差分 上面讨论的是节点任意分

30、布的Newton插值公式，但在实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，这时，Newton插值公式的形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。 定义5.2 设有等距节点xk =x0+kh (k=0,1,n)，步长h为常数，fk = f (xk)，称相邻两个节点xk, xk+1处的函数值的增量fk+1 fk(k = 0,1,n-1)为函数f (x)在点xk处以h为步长的一阶差分，记为fk，称为向前差分：45第章 2.3 差分 上面讨论的是节点任意分布的N定义5.2（续）一般，以k阶差分定义k +1阶差分：常用

31、的差分还有两种： 向后差分：46第章 定义5.2（续）一般，以k阶差分定义k +1阶差分：常用的差差分的其它种类它们的m阶差分：对向后差分47第章 差分的其它种类它们的m阶差分：对向后差分49第章 差分计算造表计算时可分别造表计算 ：表5-3 向前差分表 xkfk=f(xk)fk2fk3fk4fkx0f0 x1f1f0 x2f2f12f0 x3f3f22f13f0 x4f4f32f23f14f048第章 差分计算造表计算时可分别造表计算 ：表5-3 向前差分差分计算造表（续1）表5-4xkfk=f(xk) fk 2fk3fk4fkx0f0 x1f1f1x2f2f22f2x3f3f32f33f3

32、x4f4f42f43f44f449第章 差分计算造表（续1）表5-4xkfk=f(xk) 差分计算造表（续2）表5-54f23f22f3f3f4x43f1 2f2f2f3x3 2f1f1f2x2ff1x1f0 x043 2 fk=f(xk)xk1|21|21|21|21|21|250第章 差分计算造表（续2）表5-54f23f22f3f表5-6 差分计算举例例4-0.1053610.9060.117783-0.015748-0.2231440.8050.0048720.133531 -0.002678-0.020620-0.3566750.7040.0024250.0075500.154151

33、 -0.003534-0.005103-0.028170-0.5108260.6030.0059590.0126530.182321 -0.011062-0.040823-0.6931470.5020.0237150.223144 -0.064538-0.9162910.4010.287682-1.2039730.30065432lnxixii向后线中心差线0.007550 注 ：（1）前差，后差，中心差之间是紧密联系的，都在一个表中，差分值所在的列数为差分的阶数。要确定某个差分值是哪个点的差分，则： 对向前差分：要看左上斜线上函数值对应的自变量值对向后差分：要看左下斜线上函数值对应的自变量值

34、对中心差分：要看左方水平线上的自变量值，若正好 是空档，则是相邻两个自变量值的算术 平均值。 作y = ln x的差分表，步长h = 0.1 向前线51第章 表5-6 差分计算举例例4-0.1053610.9060.1差分的性质差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：（2）各阶差分均可表成函数值的线性组合。（1）各阶差分均具有线性性，即若f (x)=a (x)+b (x)，则对任意正整数m，都有：52第章 差分的性质差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：（差分的性质（续1）（3）各种差分之间可以互化，这由差分表即可看出。向后差分与中心差分化成向前 差分的公式如下： （4）可用

35、差分表示差商。 53第章 差分的性质（续1）（3）各种差分之间可以互化，这由差分表即可差分的性质（续2）一般地有： 结合式（5-14），可得差分与导数的关系：54第章 差分的性质（续2）一般地有： 结合式（5-14），可得差分与 如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被插值点靠近数据表头时，当然考虑用表初的那些点作为插值点，而当被插值点接近数据表尾时，应先选用表尾的那些点作插值点，这样就有Newton向前及向后插值公式。2.4 等距节点插值公式 设已知节点xk =x0+kh (k=0,1,2,n)，将式（5-15）代入插值公（5-12），得：55第章 如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示Newton向前插值公式式（5-17）称为Newton向前插值公式，其余项为：若令x =x0+th，则上式又可变形为：56第章 Newton向前插值公式式（5-17）称为Newton向前插Newton向后插值公式 完全类似地，也可以用向后差分表示Newt